Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος. Εμβαδόν βάσης πρίσματος: από τριγωνικό έως πολυγωνικό

ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΣε ένα μάθημα στερεομετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών ξεκινά συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - το πολύεδρο ενός πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογωνίων, αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα;

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια. Ένα άλλο όνομα για αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Ένα σχέδιο που δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα τα πιο σημαντικά στοιχεία που συνθέτουν ένα γεωμετρικό σώμα. Αυτά περιλαμβάνουν:

Μερικές φορές σε προβλήματα γεωμετρίας μπορείτε να συναντήσετε την έννοια της ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν σε ένα επίπεδο κοπής. Η τομή μπορεί να είναι κάθετη (τέμνει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, λαμβάνεται επίσης υπόψη μια διαγώνια τομή (ο μέγιστος αριθμός τμημάτων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι 2), περνώντας από 2 ακμές και τις διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Για να βρεθούν τα μειωμένα πρισματικά στοιχεία, χρησιμοποιούνται διάφορες σχέσεις και τύποι. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από το μάθημα της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sbas h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a²·h

Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την ανάπτυξή του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Posn h

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος, πρέπει να προσθέσετε 2 βασικές περιοχές στην πλευρική περιοχή:

Sfull = Πλαϊνό + 2 Smain

Σε σχέση με ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος μοιάζει με:

Συνολικό = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι τύποι μπορούν να προκύψουν:

• μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
• ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
• περιοχή βάσης: Sbas = V / h;
• περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλευρά / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει το διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός πρίσματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις δεδομένες σχέσεις, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε πολλές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Ακολουθούν ορισμένες εργασίες που βρέθηκαν σε κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 εκ. Ποιο θα είναι το επίπεδο της άμμου αν το μετακινήσετε σε δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με βάση διπλάσια;

Θα πρέπει να αιτιολογηθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να υποδηλώσετε το μήκος της βάσης με ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha² = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος της στάθμης της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², έχουμε:

Σαν άποτέλεσμα νέο επίπεδοάμμος θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα σωστό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη βάση υπάρχει ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει το ίδιο μέγεθος, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από μια γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για έναν κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετράγωνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Ο χώρος θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50·30 = 1500ρούβλια

Έτσι, για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Ποιος είναι ο όγκος ενός πρίσματος και πώς να το βρείτε

Ο όγκος ενός πρίσματος είναι το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του.

Ωστόσο, γνωρίζουμε ότι στη βάση του πρίσματος μπορεί να υπάρχει ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο ή κάποιο άλλο πολύεδρο.

Επομένως, για να βρείτε τον όγκο ενός πρίσματος, πρέπει απλώς να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε αυτήν την περιοχή με το ύψος του.

Δηλαδή, εάν υπάρχει ένα τρίγωνο στη βάση του πρίσματος, τότε πρώτα πρέπει να βρείτε την περιοχή του τριγώνου. Εάν η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο ή άλλο πολύγωνο, τότε πρώτα πρέπει να αναζητήσετε την περιοχή του τετραγώνου ή άλλου πολυγώνου.

Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το ύψος του πρίσματος είναι η κάθετη που τραβιέται στις βάσεις του πρίσματος.

Τι είναι ένα πρίσμα

Τώρα ας θυμηθούμε τον ορισμό του πρίσματος.

Ένα πρίσμα είναι ένα πολύγωνο, δύο όψεις (βάσεις) του οποίου είναι σε παράλληλα επίπεδα και όλες οι ακμές που βρίσκονται έξω από αυτές τις όψεις είναι παράλληλες.

Να το θέσω απλά:

Πρίσμα είναι κάθε γεωμετρικό σχήμα που έχει δύο ίσες βάσεις και επίπεδες όψεις.

Το όνομα ενός πρίσματος εξαρτάται από το σχήμα της βάσης του. Όταν η βάση ενός πρίσματος είναι τρίγωνο, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται τριγωνικό. Ένα πολυεδρικό πρίσμα είναι ένα γεωμετρικό σχήμα του οποίου η βάση είναι ένα πολύεδρο. Επίσης, ένα πρίσμα είναι ένας τύπος κυλίνδρου.

Τι είδη πρισμάτων υπάρχουν;

Αν κοιτάξουμε την παραπάνω εικόνα, θα δούμε ότι τα πρίσματα είναι ίσια, κανονικά και λοξά.

Ασκηση

1. Ποιο πρίσμα λέγεται σωστό;
2. Γιατί λέγεται έτσι;
3. Πώς λέγεται ένα πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι κανονικά πολύγωνα;
4. Ποιο είναι το ύψος αυτής της φιγούρας;
5. Πώς λέγεται ένα πρίσμα του οποίου οι ακμές δεν είναι κάθετες;
6. Ορίστε ένα τριγωνικό πρίσμα.
7. Μπορεί ένα πρίσμα να είναι παραλληλεπίπεδο;
8. Ποιο γεωμετρικό σχήμα ονομάζεται ημικανονικό πολύγωνο;

Από ποια στοιχεία αποτελείται ένα πρίσμα;

Ένα πρίσμα αποτελείται από στοιχεία όπως μια κάτω και πάνω βάση, πλευρικές όψεις, ακμές και κορυφές.

Και οι δύο βάσεις του πρίσματος βρίσκονται σε επίπεδα και είναι παράλληλες ο ένας τον άλλον.
Οι πλευρικές όψεις της πυραμίδας είναι παραλληλόγραμμες.
Η πλευρική επιφάνεια μιας πυραμίδας είναι το άθροισμα των πλευρικών της όψεων.
Οι κοινές πλευρές των πλευρικών όψεων δεν είναι τίποτα άλλο από τις πλευρικές άκρες μιας δεδομένης φιγούρας.
Το ύψος της πυραμίδας είναι το τμήμα που συνδέει τα επίπεδα των βάσεων και είναι κάθετα σε αυτά.

Ιδιότητες πρίσματος

Ένα γεωμετρικό σχήμα, όπως ένα πρίσμα, έχει μια σειρά από ιδιότητες. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτές τις ιδιότητες:

Πρώτον, οι βάσεις ενός πρίσματος είναι ίσα πολύγωνα.
Δεύτερον, οι πλευρικές όψεις ενός πρίσματος παρουσιάζονται με τη μορφή παραλληλογράμμου.
Τρίτον, αυτό το γεωμετρικό σχήμα έχει παράλληλες και ίσες ακμές.
Τέταρτον, η συνολική επιφάνεια του πρίσματος είναι:

Τώρα ας δούμε το θεώρημα, το οποίο παρέχει τον τύπο που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας και της απόδειξης.

Το έχετε σκεφτεί ποτέ αυτό ενδιαφέρον γεγονόςότι ένα πρίσμα μπορεί να είναι όχι μόνο ένα γεωμετρικό σώμα, αλλά και άλλα αντικείμενα γύρω μας. Ακόμη και μια συνηθισμένη νιφάδα χιονιού, ανάλογα με τη θερμοκρασία, μπορεί να μετατραπεί σε πρίσμα πάγου, παίρνοντας το σχήμα μιας εξαγωνικής φιγούρας.

Αλλά οι κρύσταλλοι ασβεστίτη έχουν ένα τόσο μοναδικό φαινόμενο όπως το σπάσιμο σε θραύσματα και το σχήμα ενός παραλληλεπιπέδου. Και το πιο εκπληκτικό είναι ότι ανεξάρτητα από το πόσο μικροί κρύσταλλοι ασβεστίτη συνθλίβονται, το αποτέλεσμα είναι πάντα το ίδιο: μετατρέπονται σε μικροσκοπικά παραλληλεπίπεδα.

Αποδεικνύεται ότι το πρίσμα έχει κερδίσει δημοτικότητα όχι μόνο στα μαθηματικά, επιδεικνύοντας το γεωμετρικό του σώμα, αλλά και στον τομέα της τέχνης, καθώς αποτελεί τη βάση έργων ζωγραφικής που δημιουργήθηκαν από σπουδαίους καλλιτέχνες όπως ο P. Picasso, ο Braque, ο Griss και άλλοι.

Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε την περιοχή της βάσης του πρίσματος, θα πρέπει να καταλάβετε τι τύπο έχει.

Γενική θεωρία

Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν σχήμα παραλληλογράμμου. Επιπλέον, η βάση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε πολύεδρο - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτό που δεν ισχύει για τις πλαϊνές όψεις είναι ότι μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν συναντάται μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος. Μπορεί να απαιτεί γνώση της πλάγιας επιφάνειας, δηλαδή όλων των όψεων που δεν είναι βάσεις. Η πλήρης επιφάνεια θα είναι η ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.

Μερικές φορές τα προβλήματα περιλαμβάνουν ύψος. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Αν έχουν τις ίδιες φιγούρες στην επάνω και στην κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.

Τριγωνικό πρίσμα

Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Όπως γνωρίζετε, μπορεί να είναι διαφορετικό. Αν ναι, αρκεί να θυμάστε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.

Ο μαθηματικός συμβολισμός μοιάζει με αυτό: S = ½ av.

Για να μάθετε την περιοχή της βάσης σε γενική εικόνα, οι τύποι θα είναι χρήσιμοι: Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά έχει φτάσει στο ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Αυτή η σημείωση περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.

Δεύτερον: S = ½ n a * a.

Εάν πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή της βάσης τριγωνικό πρίσμα, που είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο αποδεικνύεται ισόπλευρο. Υπάρχει ένας τύπος για αυτό: S = ¼ a 2 * √3.

Τετράγωνο πρίσμα

Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράγωνα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.

Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = ab, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.

Όταν πρόκειται για ένα τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στα θεμέλια. S = a 2.

Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S = a * n a. Συμβαίνει να δίνονται η πλευρά ενός παραλληλεπίπεδου και μία από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν πρόσθετο τύπο: n a = b * sin A. Επιπλέον, η γωνία Α είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος n είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία.

Εάν υπάρχει ένας ρόμβος στη βάση του πρίσματος, τότε για να προσδιορίσετε το εμβαδόν του θα χρειαστείτε τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο (αφού είναι ειδική περίπτωση του). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.

Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα

Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να έχουν διαφορετικό αριθμό κορυφών.

Δεδομένου ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.

Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Χρησιμοποιώντας την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο της βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για την περιοχή βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο που θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.

Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 a 2 * √3.

Καθήκοντα

Νο. 1. Δεδομένης μιας κανονικής ευθείας γραμμής, η διαγώνιος της είναι 22 εκ., το ύψος του πολυέδρου είναι 14 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.

Λύση.Η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του είναι άγνωστη. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (h). x 2 = d 2 - n 2. Από την άλλη πλευρά, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 = a 2 + a 2. Έτσι αποδεικνύεται ότι a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 cm. Τώρα απλά μάθετε την περιοχή της βάσης: 12 * 12 = 144 cm 2.

Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε δύο φορές την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυεδρικού και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος αποδεικνύεται ότι είναι 960 cm 2.

Απάντηση.Το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι 144 cm 2. Ολόκληρη η επιφάνεια είναι 960 cm 2.

Νο 2. Δίνεται Στη βάση υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρά 6 εκ. Στην περίπτωση αυτή, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 εκ. Υπολογίστε τα εμβαδά: τη βάση και την πλάγια επιφάνεια.

Λύση.Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με το 6 στο τετράγωνο, πολλαπλασιαζόμενο με το ¼ και την τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.

Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 εκ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, απλώς πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του τραύματος αποδεικνύεται ότι είναι 180 cm 2.

Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.

Όγκος πρίσματος. Επίλυση προβλήματος

Η γεωμετρία είναι το πιο ισχυρό μέσο για να οξύνουμε τις νοητικές μας ικανότητες και να μας δίνει τη δυνατότητα να σκεφτόμαστε και να συλλογιζόμαστε σωστά.

Γ. Γαλιλαίος

Σκοπός του μαθήματος:

• διδάσκουν επίλυση προβλημάτων σχετικά με τον υπολογισμό του όγκου των πρισμάτων, συνοψίζουν και συστηματοποιούν τις πληροφορίες που έχουν οι μαθητές για ένα πρίσμα και τα στοιχεία του, αναπτύσσουν την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων αυξημένης πολυπλοκότητας.
• ανάπτυξη λογικής σκέψης, ικανότητας ανεξάρτητης εργασίας, δεξιοτήτων αμοιβαίου ελέγχου και αυτοελέγχου, ικανότητας ομιλίας και ακρόασης.
• αναπτύξτε τη συνήθεια της συνεχούς απασχόλησης σε κάποια χρήσιμη δραστηριότητα, ενισχύοντας την ανταπόκριση, τη σκληρή δουλειά και την ακρίβεια.

Τύπος μαθήματος: μάθημα για την εφαρμογή γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Εξοπλισμός: κάρτες ελέγχου, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση «Μάθημα. Prism Volume», υπολογιστές.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

• Πλευρικές νευρώσεις του πρίσματος (Εικ. 2).
• Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος (Εικόνα 2, Εικόνα 5).
• Το ύψος του πρίσματος (Εικ. 3, Εικ. 4).
• Ευθύ πρίσμα (Εικόνα 2,3,4).
• Ένα κεκλιμένο πρίσμα (Εικόνα 5).
• Το σωστό πρίσμα(Εικόνα 2, Εικόνα 3).
• Διαγώνιο τμήμα του πρίσματος (Εικόνα 2).
• Διαγώνιος πρίσματος (Εικόνα 2).
• Κάθετη τομή του πρίσματος (Εικ. 3, Εικ. 4).
• Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.
• Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος.
• Όγκος πρίσματος.

1. ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ (8 λεπτά)

Ανταλλάξτε σημειωματάρια, ελέγξτε τη λύση στις διαφάνειες και σημειώστε τη (σημειώστε 10 εάν το πρόβλημα έχει μεταγλωττιστεί)

Δημιουργήστε ένα πρόβλημα με βάση την εικόνα και λύστε το. Ο μαθητής υπερασπίζεται το πρόβλημα που έχει συντάξει στον πίνακα. Εικόνα 6 και Εικόνα 7.





Κεφάλαιο 2,§3
Πρόβλημα.2. Τα μήκη όλων των άκρων ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίσα μεταξύ τους. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η επιφάνειά του είναι cm 2 (Εικ. 8)



Κεφάλαιο 2,§3
Πρόβλημα 5. Η βάση του δεξιού πρίσματος ABCA 1B 1C1 είναι ορθογώνιο τρίγωνο ABC (γωνία ABC=90°), AB=4cm. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο ABC είναι 2,5 cm και το ύψος του πρίσματος είναι 10 cm. (Εικόνα 9).



Κεφάλαιο 2,§3
Πρόβλημα 29. Το μήκος της πλευράς της βάσης ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι 3 cm. Η διαγώνιος του πρίσματος σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο της πλευρικής όψης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος (Εικόνα 10).



2. Συνεργασία δασκάλου και τάξης (2-3 λεπτά).

Σκοπός: σύνοψη των αποτελεσμάτων της θεωρητικής προθέρμανσης (οι μαθητές βαθμολογούν ο ένας τον άλλον), μαθαίνοντας πώς να λύνουν προβλήματα σχετικά με το θέμα.

3. PHYSICAL MINUTE (3 λεπτά)
4. ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (10 λεπτά)

Σε αυτό το στάδιο, ο δάσκαλος οργανώνει μετωπική εργασία για την επανάληψη μεθόδων επίλυσης επιπεδομετρικών προβλημάτων και επιπεδομετρικών τύπων. Η τάξη χωρίζεται σε δύο ομάδες, άλλες λύνουν προβλήματα, άλλες δουλεύουν στον υπολογιστή. Μετά αλλάζουν. Οι μαθητές καλούνται να λύσουν όλα τα Νο. 8 (προφορικά), Νο. 9 (προφορικά). Στη συνέχεια χωρίζονται σε ομάδες και προχωρούν στην επίλυση προβλημάτων Νο 14, Νο 30, Νο 32.

Κεφάλαιο 2, §3, σελίδες 66-67

Πρόβλημα 8. Όλες οι ακμές ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίσες μεταξύ τους. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος εάν η περιοχή διατομής του επιπέδου που διέρχεται από την άκρη της κάτω βάσης και το μέσο της πλευράς της άνω βάσης είναι ίση με cm (Εικ. 11).



Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 9. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένα τετράγωνο και οι πλευρικές ακμές του είναι διπλάσιες από το μέγεθος της πλευράς της βάσης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος εάν η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται κοντά στη διατομή του πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από την πλευρά της βάσης και το μέσο της απέναντι πλευρικής ακμής είναι ίση με cm (Εικ. 12)



Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 14Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένας ρόμβος, μία από τις διαγώνιους του οποίου είναι ίση με την πλευρά του. Υπολογίστε την περίμετρο της τομής με ένα επίπεδο που διέρχεται από την κύρια διαγώνιο της κάτω βάσης, εάν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος και όλες οι πλευρικές όψεις είναι τετράγωνες (Εικ. 13).



Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 30Το ABCA 1 B 1 C 1 είναι ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, του οποίου όλες οι άκρες είναι ίσες μεταξύ τους, το σημείο είναι το μέσο της ακμής BB 1. Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στην τομή του πρίσματος από το επίπεδο AOS, εάν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος με (Εικ. 14).



Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 32Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το άθροισμα των εμβαδών των βάσεων είναι ίσο με το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος εάν η διάμετρος του κύκλου που περιγράφεται κοντά στη διατομή του πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από τις δύο κορυφές της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης είναι 6 cm (Εικ. 15).



Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές συγκρίνουν τις απαντήσεις τους με αυτές που δείχνει ο δάσκαλος. Αυτή είναι μια ενδεικτική λύση σε ένα πρόβλημα με αναλυτικά σχόλια... Ατομική εργασία δασκάλου με «δυνατούς» μαθητές (10 λεπτά).

5. Ανεξάρτητη εργασίαμαθητές που εργάζονται σε ένα τεστ στον υπολογιστή

1. Η πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίση με και το ύψος είναι 5. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

1) Ο όγκος ενός ορθογώνιου πρίσματος του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

2) Ο όγκος ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V = 0,25a 2 h - όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h το ύψος του πρίσματος.

3) Ο όγκος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσος με το μισό γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

4) Ο όγκος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V = a 2 h-όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h το ύψος του πρίσματος.

5) Ο όγκος ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V = 1,5a 2 h, όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h το ύψος του πρίσματος.

3. Η πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος ισούται με . Ένα επίπεδο διασχίζεται από την πλευρά της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης, η οποία διέρχεται υπό γωνία 45° ως προς τη βάση. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Η βάση ενός δεξιού πρίσματος είναι ένας ρόμβος, η πλευρά του οποίου είναι 13 και η μία διαγώνιος είναι 24. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος αν η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 14.

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά με 60-65 βαθμούς. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγοροι τρόποιλύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.