13.10.2019

Όγκος ενός τύπου κανονικού τριγωνικού πρίσματος. Όγκος τριγωνικού πρίσματος: τύπος γενικού τύπου και τύπος κανονικού πρίσματος

ΑΜΕΣΟ ΠΡΙΣΜΑ. ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΚΑΙ ΟΓΚΟΣ ΑΜΕΣΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ.

§ 68. ΤΟΜΟΣ ΑΜΕΣΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τον όγκο ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος, το εμβαδόν βάσης του οποίου είναι ίσο με S και το ύψος είναι ίσο με η= AA" = = BB" = SS" (σχέδιο 306).

Ας σχεδιάσουμε χωριστά τη βάση του πρίσματος, δηλαδή το τρίγωνο ABC (Εικ. 307, α), και ας το φτιάξουμε σε ένα ορθογώνιο, για το οποίο σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή KM μέσω της κορυφής B || AC και από τα σημεία A και C χαμηλώνουμε τις κάθετες AF και CE σε αυτή την ευθεία. Παίρνουμε ορθογώνιο ACEF. Σχεδιάζοντας το ύψος ВD του τριγώνου ABC, βλέπουμε ότι το ορθογώνιο ACEF χωρίζεται σε 4 ορθογώνια τρίγωνα. Εξάλλου /\ ΟΛΟΙ = /\ BCD και /\ VAF = /\ VAD. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ACEF είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ABC, δηλαδή ίσο με 2S.

Σε αυτό το πρίσμα με βάση ABC θα προσαρτήσουμε πρίσματα με βάσεις ALL και BAF και ύψος η(Εικόνα 307, β). Λαμβάνουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση
ACEF.

Αν ανατέμνουμε αυτό το παραλληλεπίπεδο με ένα επίπεδο που διέρχεται από ευθείες γραμμές ΒΔ και ΒΒ», θα δούμε ότι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αποτελείται από 4 πρίσματα με βάσεις.
BCD, ALL, BAD και BAF.

Πρίσματα με βάσεις BCD και VSE μπορούν να συνδυαστούν, αφού οι βάσεις τους είναι ίσες ( /\ ВСD = /\ BSE) και οι πλευρικές τους ακμές είναι επίσης ίσες, οι οποίες είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο. Αυτό σημαίνει ότι οι όγκοι αυτών των πρισμάτων είναι ίσοι. Οι όγκοι των πρισμάτων με βάσεις BAD και BAF είναι επίσης ίσοι.

Έτσι, αποδεικνύεται ότι ο όγκος ενός δεδομένου τριγωνικού πρίσματος με βάση
Το ABC είναι το ήμισυ του όγκου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με βάση το ACEF.

Γνωρίζουμε ότι ο όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του, δηλαδή στην περίπτωση αυτή είναι ίσος με 2S η. Ως εκ τούτου, ο όγκος αυτού του ορθογωνίου τριγωνικού πρίσματος είναι ίσος με S η.

Ο όγκος ενός ορθογωνίου τριγωνικού πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης του και του ύψους του.

2. Όγκος ορθού πολυγωνικού πρίσματος.

Για να βρείτε τον όγκο ενός ορθού πολυγωνικού πρίσματος, για παράδειγμα ενός πενταγωνικού, με εμβαδόν βάσης S και ύψος η, ας το χωρίσουμε σε τριγωνικά πρίσματα (Εικ. 308).

Δηλώνοντας τα εμβαδά βάσης των τριγωνικών πρισμάτων με S 1, S 2 και S 3 και τον όγκο ενός δεδομένου πολυγωνικού πρίσματος με V, λαμβάνουμε:

V = S 1 η+ S 2 η+ S 3 η, ή
V = (S 1 + S 2 + S 3) η.

Και τέλος: V = S η.

Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ο τύπος για τον όγκο ενός δεξιού πρίσματος με οποιοδήποτε πολύγωνο στη βάση του.

Που σημαίνει, Ο όγκος κάθε δεξιού πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του.

Γυμνάσια.

1. Υπολογίστε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος με παραλληλόγραμμο στη βάση του χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα δεδομένα:

2. Υπολογίστε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος με ένα τρίγωνο στη βάση του χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα δεδομένα:

3. Υπολογίστε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος που έχει στη βάση του ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 12 cm (32 cm, 40 cm). Ύψος πρίσματος 60 cm.

4. Υπολογίστε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος που έχει ορθογώνιο τρίγωνο στη βάση του με σκέλη 12 cm και 8 cm (16 cm και 7 cm, 9 m και 6 m). Το ύψος του πρίσματος είναι 0,3 m.

5. Να υπολογίσετε τον όγκο ενός ευθύγραμμου πρίσματος που έχει στη βάση του τραπεζοειδές με παράλληλες πλευρές 18 εκ. και 14 εκ. και ύψος 7,5 εκ. Το ύψος του πρίσματος είναι 40 εκ.

6. Υπολογίστε τον όγκο της τάξης σας (αίθουσα φυσικής αγωγής, δωμάτιο σας).

7. Η συνολική επιφάνεια του κύβου είναι 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Υπολογίστε τον όγκο αυτού του κύβου.

8. Το μήκος ενός οικοδομικού τούβλου είναι 25,0 εκ., το πλάτος του 12,0 εκ., το πάχος του 6,5 εκ. α) Υπολογίστε τον όγκο του, β) Προσδιορίστε το βάρος του αν 1 κυβικό εκατοστό τούβλου ζυγίζει 1,6 γρ.

9. Πόσα κομμάτια οικοδομικά τούβλα θα χρειαστούν για να χτιστεί ένας συμπαγής τοίχος από τούβλα σε σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου μήκους 12 m, πλάτους 0,6 m και ύψους 10 m; (Διαστάσεις τούβλου από την άσκηση 8.)

10. Το μήκος μιας καθαρά κομμένης σανίδας είναι 4,5 μ., πλάτος - 35 εκ., πάχος - 6 εκ. α) Υπολογίστε τον όγκο β) Προσδιορίστε το βάρος της αν ένα κυβικό δεκατόμετρο της σανίδας ζυγίζει 0,6 κιλά.

11. Πόσοι τόνοι σανού μπορούν να στοιβάζονται σε ένα άχυρο καλυμμένο με δίρριχτη στέγη (Εικ. 309), εάν το μήκος του άχυρου είναι 12 m, το πλάτος είναι 8 m, το ύψος είναι 3,5 m και το ύψος του κορυφογραμμή στέγης είναι 1,5 m; (Λάβετε το ειδικό βάρος του σανού ως 0,2.)

12. Απαιτείται σκάψιμο τάφρου μήκους 0,8 χλμ. σε τομή, η τάφρο πρέπει να έχει σχήμα τραπεζοειδούς με βάσεις 0,9 m και 0,4 m και το βάθος της τάφρου να είναι 0,5 m (σχέδιο 310). Πόσα κυβικά μέτρα γης θα πρέπει να αφαιρεθούν;

Όγκος πρίσματος. Επίλυση προβλήματος

Η γεωμετρία είναι το πιο ισχυρό μέσο για να οξύνουμε τις νοητικές μας ικανότητες και να μας δίνει τη δυνατότητα να σκεφτόμαστε και να συλλογιζόμαστε σωστά.

Γ. Γαλιλαίος

Σκοπός του μαθήματος:

διδάσκουν επίλυση προβλημάτων σχετικά με τον υπολογισμό του όγκου των πρισμάτων, συνοψίζουν και συστηματοποιούν τις πληροφορίες που έχουν οι μαθητές για ένα πρίσμα και τα στοιχεία του, αναπτύσσουν την ικανότητα επίλυσης προβλημάτων αυξημένης πολυπλοκότητας.
ανάπτυξη λογικής σκέψης, ικανότητας ανεξάρτητης εργασίας, δεξιοτήτων αμοιβαίου ελέγχου και αυτοελέγχου, ικανότητας ομιλίας και ακρόασης.
αναπτύξτε τη συνήθεια της συνεχούς απασχόλησης σε κάποια χρήσιμη δραστηριότητα, ενισχύοντας την ανταπόκριση, τη σκληρή δουλειά και την ακρίβεια.

Τύπος μαθήματος: μάθημα για την εφαρμογή γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων.

Εξοπλισμός: κάρτες ελέγχου, προβολέας πολυμέσων, παρουσίαση «Μάθημα. Prism Volume», υπολογιστές.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Πλευρικές νευρώσεις του πρίσματος (Εικ. 2).
Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος (Εικόνα 2, Εικόνα 5).
Το ύψος του πρίσματος (Εικ. 3, Εικ. 4).
Ευθύ πρίσμα (Εικόνα 2,3,4).
Ένα κεκλιμένο πρίσμα (Εικόνα 5).
Το σωστό πρίσμα (Εικ. 2, Εικ. 3).
Διαγώνιο τμήμα του πρίσματος (Εικόνα 2).
Διαγώνιος πρίσματος (Εικόνα 2).
Κάθετη τομή του πρίσματος (Εικ. 3, Εικ. 4).
Η πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.
Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος.
Όγκος πρίσματος.

ΕΛΕΓΧΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ (8 λεπτά)

Ανταλλάξτε σημειωματάρια, ελέγξτε τη λύση στις διαφάνειες και σημειώστε τη (σημειώστε 10 εάν το πρόβλημα έχει μεταγλωττιστεί)

Δημιουργήστε ένα πρόβλημα με βάση την εικόνα και λύστε το. Ο μαθητής υπερασπίζεται το πρόβλημα που έχει συντάξει στον πίνακα. Εικόνα 6 και Εικόνα 7.

Κεφάλαιο 2,§3
Πρόβλημα.2. Τα μήκη όλων των άκρων ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίσα μεταξύ τους. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η επιφάνειά του είναι cm 2 (Εικ. 8)

Κεφάλαιο 2,§3
Πρόβλημα 5. Η βάση του δεξιού πρίσματος ABCA 1B 1C1 είναι ορθογώνιο τρίγωνο ABC (γωνία ABC=90°), AB=4cm. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος αν η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται γύρω από το τρίγωνο ABC είναι 2,5 cm και το ύψος του πρίσματος είναι 10 cm. (Εικόνα 9).

Κεφάλαιο 2,§3
Πρόβλημα 29. Το μήκος της πλευράς της βάσης ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος είναι 3 cm. Η διαγώνιος του πρίσματος σχηματίζει γωνία 30° με το επίπεδο της πλευρικής όψης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος (Εικόνα 10).

Συνεργασία δασκάλου και τάξης (2-3 λεπτά).

Σκοπός: σύνοψη της θεωρητικής προθέρμανσης (οι μαθητές βαθμολογούν ο ένας τον άλλον), μελέτη τρόπων επίλυσης προβλημάτων σε ένα θέμα.

PHYSICAL MINUTE (3 λεπτά)
ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ (10 λεπτά)

Σε αυτό το στάδιο, ο δάσκαλος οργανώνει μετωπική εργασία για την επανάληψη μεθόδων επίλυσης επιπεδομετρικών προβλημάτων και επιπεδομετρικών τύπων. Η τάξη χωρίζεται σε δύο ομάδες, άλλες λύνουν προβλήματα, άλλες δουλεύουν στον υπολογιστή. Μετά αλλάζουν. Οι μαθητές καλούνται να λύσουν όλα τα Νο. 8 (προφορικά), Νο. 9 (προφορικά). Στη συνέχεια χωρίζονται σε ομάδες και προχωρούν στην επίλυση προβλημάτων Νο 14, Νο 30, Νο 32.

Κεφάλαιο 2, §3, σελίδες 66-67

Πρόβλημα 8. Όλες οι ακμές ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίσες μεταξύ τους. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος εάν η περιοχή διατομής του επιπέδου που διέρχεται από την άκρη της κάτω βάσης και το μέσο της πλευράς της άνω βάσης είναι ίση με cm (Εικ. 11).

Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 9. Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένα τετράγωνο και οι πλευρικές ακμές του είναι διπλάσιες από το μέγεθος της πλευράς της βάσης. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος εάν η ακτίνα του κύκλου που περιγράφεται κοντά στη διατομή του πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από την πλευρά της βάσης και το μέσο της απέναντι πλευρικής ακμής είναι ίση με cm (Εικ. 12)

Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 14Η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ένας ρόμβος, μία από τις διαγώνιους του οποίου είναι ίση με την πλευρά του. Υπολογίστε την περίμετρο της τομής με ένα επίπεδο που διέρχεται από την κύρια διαγώνιο της κάτω βάσης, εάν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος και όλες οι πλευρικές όψεις είναι τετράγωνες (Εικ. 13).

Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 30Το ABCA 1 B 1 C 1 είναι ένα κανονικό τριγωνικό πρίσμα, του οποίου όλες οι άκρες είναι ίσες μεταξύ τους, το σημείο είναι το μέσο της ακμής BB 1. Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στην τομή του πρίσματος από το επίπεδο AOS, εάν ο όγκος του πρίσματος είναι ίσος με (Εικ. 14).

Κεφάλαιο 2,§3, σελίδα 66-67
Πρόβλημα 32Σε ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το άθροισμα των εμβαδών των βάσεων είναι ίσο με το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας. Υπολογίστε τον όγκο του πρίσματος εάν η διάμετρος του κύκλου που περιγράφεται κοντά στη διατομή του πρίσματος από ένα επίπεδο που διέρχεται από τις δύο κορυφές της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης είναι 6 cm (Εικ. 15).

Κατά την επίλυση προβλημάτων, οι μαθητές συγκρίνουν τις απαντήσεις τους με αυτές που δείχνει ο δάσκαλος. Αυτή είναι μια ενδεικτική λύση σε ένα πρόβλημα με αναλυτικά σχόλια... Ατομική εργασία δασκάλου με «δυνατούς» μαθητές (10 λεπτά).

Ανεξάρτητη εργασίαμαθητές που εργάζονται σε ένα τεστ στον υπολογιστή

1. Η πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι ίση με και το ύψος είναι 5. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Επιλέξτε τη σωστή πρόταση.

1) Ο όγκος ενός ορθογώνιου πρίσματος του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

2) Ο όγκος ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V = 0,25a 2 h - όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h το ύψος του πρίσματος.

3) Ο όγκος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσος με το μισό γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

4) Ο όγκος ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V = a 2 h-όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h το ύψος του πρίσματος.

5) Ο όγκος ενός κανονικού εξαγωνικού πρίσματος υπολογίζεται με τον τύπο V = 1,5a 2 h, όπου a είναι η πλευρά της βάσης, h το ύψος του πρίσματος.

3. Η πλευρά της βάσης ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος ισούται με . Ένα επίπεδο διασχίζεται από την πλευρά της κάτω βάσης και την αντίθετη κορυφή της άνω βάσης, η οποία διέρχεται υπό γωνία 45° ως προς τη βάση. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Η βάση ενός δεξιού πρίσματος είναι ένας ρόμβος, η πλευρά του οποίου είναι 13 και η μία διαγώνιος είναι 24. Βρείτε τον όγκο του πρίσματος αν η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 14.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε τον όγκο ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος, το εμβαδόν βάσης του οποίου είναι ίσο με S και το ύψος είναι ίσο με η= AA’ = BB’ = CC’ (Εικ. 306).

Ας σχεδιάσουμε χωριστά τη βάση του πρίσματος, δηλαδή το τρίγωνο ABC (Εικ. 307, α), και ας το φτιάξουμε σε ένα ορθογώνιο, για το οποίο σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή KM μέσω της κορυφής B || AC και από τα σημεία A και C χαμηλώνουμε τις κάθετες AF και CE σε αυτή την ευθεία. Παίρνουμε ορθογώνιο ACEF. Σχεδιάζοντας το ύψος ВD του τριγώνου ABC, βλέπουμε ότι το ορθογώνιο ACEF χωρίζεται σε 4 ορθογώνια τρίγωνα. Επιπλέον, $\Delta$ALL = $\Delta$BCD και $\Delta$BAF = $\Delta$BAD. Αυτό σημαίνει ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου ACEF είναι διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ABC, δηλαδή ίσο με 2S.

Σε αυτό το πρίσμα με βάση ABC θα προσαρτήσουμε πρίσματα με βάσεις ALL και BAF και ύψος η(Εικ. 307, β). Λαμβάνουμε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με βάση ACEF.

Αν ανατέμνουμε αυτό το παραλληλεπίπεδο με ένα επίπεδο που διέρχεται από ευθείες γραμμές BD και BB’, θα δούμε ότι το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αποτελείται από 4 πρίσματα με βάσεις BCD, ALL, BAD και BAF.

Πρίσματα με βάσεις BCD και BC μπορούν να συνδυαστούν, αφού οι βάσεις τους είναι ίσες ($\Delta$BCD = $\Delta$BCE) και οι πλευρικές ακμές τους, που είναι κάθετες στο ίδιο επίπεδο, είναι επίσης ίσες. Αυτό σημαίνει ότι οι όγκοι αυτών των πρισμάτων είναι ίσοι. Οι όγκοι των πρισμάτων με βάσεις BAD και BAF είναι επίσης ίσοι.

Έτσι, αποδεικνύεται ότι ο όγκος ενός δεδομένου τριγωνικού πρίσματος με βάση ABC είναι ο μισός όγκος ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου με βάση ACEF.

2. Όγκος ορθού πολυγωνικού πρίσματος.

V = S 1 η+ S 2 η+ S 3 η, ή

V = (S 1 + S 2 + S 3) η.

Και τέλος: V = S η.

Με τον ίδιο τρόπο προκύπτει ο τύπος για τον όγκο ενός δεξιού πρίσματος με οποιοδήποτε πολύγωνο στη βάση του.

Όγκος πρίσματος

Θεώρημα. Ο όγκος ενός πρίσματος είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους.

Πρώτα αποδεικνύουμε αυτό το θεώρημα για ένα τριγωνικό πρίσμα και μετά για ένα πολυγωνικό.

1) Ας σχεδιάσουμε (Εικ. 95) μέσω της ακμής AA 1 του τριγωνικού πρίσματος ABCA 1 B 1 C 1 ένα επίπεδο παράλληλο με την όψη BB 1 C 1 C και μέσω της ακμής CC 1 ένα επίπεδο παράλληλο με την όψη AA 1 B 1 B ; τότε θα συνεχίσουμε τα επίπεδα και των δύο βάσεων του πρίσματος μέχρι να τέμνονται με τα σχεδιασμένα επίπεδα.

Τότε παίρνουμε ένα παραλληλεπίπεδο BD 1, το οποίο διαιρείται με το διαγώνιο επίπεδο AA 1 C 1 C σε δύο τριγωνικά πρίσματα (ένα από τα οποία είναι αυτό). Ας αποδείξουμε ότι αυτά τα πρίσματα είναι ίσα σε μέγεθος. Για να γίνει αυτό, σχεδιάζουμε μια κάθετη τομή Α Β Γ Δ. Η διατομή θα παράγει ένα παραλληλόγραμμο του οποίου η διαγώνιος μετα Χριστονχωρίζεται σε δύο ίσα τρίγωνα. Αυτό το πρίσμα είναι ίσο σε μέγεθος με ένα ευθύ πρίσμα του οποίου η βάση είναι $\Δέλτα$ αλφάβητοκαι το ύψος είναι η άκρη AA 1. Ένα άλλο τριγωνικό πρίσμα είναι ίσο σε εμβαδόν με μια ευθεία γραμμή της οποίας η βάση είναι $\Δέλτα$ adcκαι το ύψος είναι η άκρη AA 1. Όμως δύο ευθύγραμμα πρίσματα με ίσες βάσεις και ίσα ύψη είναι ίσα (γιατί όταν εισαχθούν συνδυάζονται), πράγμα που σημαίνει ότι τα πρίσματα ABCA 1 B 1 C 1 και ADCA 1 D 1 C 1 είναι ίσα σε μέγεθος. Από αυτό προκύπτει ότι ο όγκος αυτού του πρίσματος είναι ο μισός όγκος του παραλληλεπίπεδου BD 1. Επομένως, δηλώνοντας το ύψος του πρίσματος με H, παίρνουμε:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Ας σχεδιάσουμε διαγώνια επίπεδα AA 1 C 1 C και AA 1 D 1 D μέσω της ακμής AA 1 του πολυγωνικού πρίσματος (Εικ. 96).

Τότε αυτό το πρίσμα θα κοπεί σε πολλά τριγωνικά πρίσματα. Το άθροισμα των όγκων αυτών των πρισμάτων αποτελεί τον απαιτούμενο όγκο. Αν συμβολίσουμε τα εμβαδά των βάσεων τους με σι 1 , σι 2 , σι 3, και το συνολικό ύψος έως το H, παίρνουμε:

όγκος πολυγωνικού πρίσματος = σι 1Η+ σι 2Η+ σι 3 H =( σι 1 + σι 2 + σι 3) Η =

= (περιοχή ABCDE) H.

Συνέπεια. Αν τα V, B και H είναι αριθμοί που εκφράζουν στις αντίστοιχες μονάδες τον όγκο, το εμβαδόν βάσης και το ύψος του πρίσματος, τότε, σύμφωνα με όσα έχουν αποδειχθεί, μπορούμε να γράψουμε:

Άλλα υλικά

ΣΕ σχολικό πρόγραμμα σπουδώνΣε ένα μάθημα στερεομετρίας, η μελέτη των τρισδιάστατων μορφών ξεκινά συνήθως με ένα απλό γεωμετρικό σώμα - το πολύεδρο ενός πρίσματος. Ο ρόλος των βάσεων του εκτελείται από 2 ίσα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Μια ειδική περίπτωση είναι ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Οι βάσεις του είναι 2 όμοια κανονικά τετράγωνα, στα οποία οι πλευρές είναι κάθετες, που έχουν σχήμα παραλληλογράμμων (ή ορθογωνίων, αν το πρίσμα δεν είναι κεκλιμένο).

Πώς μοιάζει ένα πρίσμα;

Ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα είναι ένα εξάγωνο, οι βάσεις του οποίου είναι 2 τετράγωνα και οι πλευρικές όψεις αντιπροσωπεύονται από ορθογώνια. Ένα άλλο όνομα για αυτό το γεωμετρικό σχήμα είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο.

Ένα σχέδιο που δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα φαίνεται παρακάτω.

Μπορείτε να δείτε και στην εικόνα τα πιο σημαντικά στοιχεία που συνθέτουν ένα γεωμετρικό σώμα. Αυτά περιλαμβάνουν:

Μερικές φορές σε προβλήματα γεωμετρίας μπορείτε να συναντήσετε την έννοια της ενότητας. Ο ορισμός θα ακούγεται ως εξής: ένα τμήμα είναι όλα τα σημεία ενός ογκομετρικού σώματος που ανήκουν σε ένα επίπεδο κοπής. Η τομή μπορεί να είναι κάθετη (τέμνει τις άκρες του σχήματος υπό γωνία 90 μοιρών). Για ένα ορθογώνιο πρίσμα, λαμβάνεται επίσης υπόψη μια διαγώνια τομή (ο μέγιστος αριθμός τμημάτων που μπορούν να κατασκευαστούν είναι 2), περνώντας από 2 ακμές και τις διαγώνιες της βάσης.

Εάν η τομή σχεδιάζεται με τέτοιο τρόπο ώστε το επίπεδο κοπής να μην είναι παράλληλο ούτε με τις βάσεις ούτε με τις πλευρικές όψεις, το αποτέλεσμα είναι ένα κολοβωμένο πρίσμα.

Για να βρεθούν τα μειωμένα πρισματικά στοιχεία, χρησιμοποιούνται διάφορες σχέσεις και τύποι. Μερικά από αυτά είναι γνωστά από το μάθημα της επιπεδομετρίας (για παράδειγμα, για να βρείτε το εμβαδόν της βάσης ενός πρίσματος, αρκεί να θυμηθούμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τετραγώνου).

Επιφάνεια και όγκος

Για να προσδιορίσετε τον όγκο ενός πρίσματος χρησιμοποιώντας τον τύπο, πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν της βάσης και του ύψους του:

V = Sbas h

Δεδομένου ότι η βάση ενός κανονικού τετραεδρικού πρίσματος είναι ένα τετράγωνο με πλευρά ένα,Μπορείτε να γράψετε τον τύπο σε πιο λεπτομερή μορφή:

V = a²·h

Εάν μιλάμε για έναν κύβο - ένα κανονικό πρίσμα με ίσο μήκος, πλάτος και ύψος, ο όγκος υπολογίζεται ως εξής:

Για να κατανοήσετε πώς να βρείτε την πλευρική επιφάνεια ενός πρίσματος, πρέπει να φανταστείτε την ανάπτυξή του.

Από το σχέδιο φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια. Το εμβαδόν του υπολογίζεται ως το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους του σχήματος:

Πλευρά = Posn h

Λαμβάνοντας υπόψη ότι η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με P = 4a,ο τύπος παίρνει τη μορφή:

Πλευρά = 4a h

Για τον κύβο:

Πλευρά = 4a²

Για να υπολογίσετε τη συνολική επιφάνεια του πρίσματος, πρέπει να προσθέσετε 2 βασικές περιοχές στην πλευρική περιοχή:

Sfull = Πλαϊνό + 2 Smain

Σε σχέση με ένα τετράγωνο κανονικό πρίσμα, ο τύπος μοιάζει με:

Συνολικό = 4a h + 2a²

Για την επιφάνεια ενός κύβου:

Πλήρης = 6a²

Γνωρίζοντας τον όγκο ή την επιφάνεια, μπορείτε να υπολογίσετε τα μεμονωμένα στοιχεία ενός γεωμετρικού σώματος.

Εύρεση στοιχείων πρίσματος

Συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία δίνεται ο όγκος ή είναι γνωστή η τιμή της πλευρικής επιφάνειας, όπου είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το μήκος της πλευράς της βάσης ή το ύψος. Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι τύποι μπορούν να προκύψουν:

μήκος πλευράς βάσης: a = Πλευρά / 4h = √(V / h);
ύψος ή μήκος πλευράς: h = Πλευρά / 4a = V / a²;
περιοχή βάσης: Sbas = V / h;
περιοχή του πλευρικού προσώπου: Πλευρά gr = Πλευρά / 4.

Για να προσδιορίσετε πόση περιοχή έχει το διαγώνιο τμήμα, πρέπει να γνωρίζετε το μήκος της διαγώνιας και το ύψος του σχήματος. Για ένα τετράγωνο d = a√2.Επομένως:

Sdiag = ah√2

Για να υπολογίσετε τη διαγώνιο ενός πρίσματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

dprize = √(2a² + h²)

Για να κατανοήσετε πώς να εφαρμόσετε τις δεδομένες σχέσεις, μπορείτε να εξασκηθείτε και να λύσετε πολλές απλές εργασίες.

Παραδείγματα προβλημάτων με λύσεις

Ακολουθούν ορισμένες εργασίες που βρέθηκαν σε κρατικές τελικές εξετάσεις στα μαθηματικά.

Ασκηση 1.

Η άμμος χύνεται σε ένα κουτί σε σχήμα κανονικού τετράγωνου πρίσματος. Το ύψος του επιπέδου του είναι 10 εκ. Ποιο θα είναι το επίπεδο της άμμου αν το μετακινήσετε σε δοχείο του ίδιου σχήματος, αλλά με βάση διπλάσια;

Θα πρέπει να αιτιολογηθεί ως εξής. Η ποσότητα της άμμου στο πρώτο και το δεύτερο δοχείο δεν άλλαξε, δηλαδή ο όγκος της σε αυτά είναι ο ίδιος. Μπορείτε να υποδηλώσετε το μήκος της βάσης με ένα. Σε αυτήν την περίπτωση, για το πρώτο πλαίσιο ο όγκος της ουσίας θα είναι:

V1 = ha² = 10a²

Για το δεύτερο κουτί, το μήκος της βάσης είναι 2α, αλλά το ύψος της στάθμης της άμμου είναι άγνωστο:

V2 = h (2a)² = 4ha²

Επειδή η V1 = V2, μπορούμε να εξισώσουμε τις εκφράσεις:

10a² = 4ha²

Αφού μειώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης κατά a², έχουμε:

Σαν άποτέλεσμα νέο επίπεδοάμμος θα είναι h = 10 / 4 = 2,5εκ.

Εργασία 2.

Το ABCDA1B1C1D1 είναι ένα σωστό πρίσμα. Είναι γνωστό ότι BD = AB1 = 6√2. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του σώματος.

Για να καταλάβετε πιο εύκολα ποια στοιχεία είναι γνωστά, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εικόνα.

Εφόσον μιλάμε για κανονικό πρίσμα, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη βάση υπάρχει ένα τετράγωνο με διαγώνιο 6√2. Η διαγώνιος της πλευρικής όψης έχει το ίδιο μέγεθος, επομένως, η πλευρική όψη έχει επίσης σχήμα τετραγώνου ίσου με τη βάση. Αποδεικνύεται ότι και οι τρεις διαστάσεις - μήκος, πλάτος και ύψος - είναι ίσες. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το ABCDA1B1C1D1 είναι ένας κύβος.

Το μήκος οποιασδήποτε ακμής προσδιορίζεται από μια γνωστή διαγώνιο:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Το συνολικό εμβαδόν επιφάνειας βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για έναν κύβο:

Πλήρης = 6a² = 6 6² = 216

Εργασία 3.

Το δωμάτιο ανακαινίζεται. Είναι γνωστό ότι το δάπεδό του έχει σχήμα τετράγωνου εμβαδού 9 m². Το ύψος του δωματίου είναι 2,5 μ. Ποιο είναι το χαμηλότερο κόστος για την ταπετσαρία ενός δωματίου εάν το 1 m² κοστίζει 50 ρούβλια;

Δεδομένου ότι το δάπεδο και η οροφή είναι τετράγωνα, δηλαδή κανονικά τετράγωνα, και τα τοιχώματά του είναι κάθετα σε οριζόντιες επιφάνειες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι ένα κανονικό πρίσμα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή της πλευρικής του επιφάνειας.

Το μήκος του δωματίου είναι a = √9 = 3Μ.

Ο χώρος θα καλυφθεί με ταπετσαρία Πλευρά = 4 3 2,5 = 30 m².

Το χαμηλότερο κόστος ταπετσαρίας για αυτό το δωμάτιο θα είναι 50·30 = 1500ρούβλια

Έτσι, για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν ένα ορθογώνιο πρίσμα, αρκεί να μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν και την περίμετρο ενός τετραγώνου και ενός ορθογωνίου, καθώς και να γνωρίζουμε τους τύπους για την εύρεση του όγκου και του εμβαδού επιφάνειας.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κύβου

Τα διαφορετικά πρίσματα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ταυτόχρονα, έχουν πολλά κοινά. Για να βρείτε την περιοχή της βάσης του πρίσματος, θα πρέπει να καταλάβετε τι τύπο έχει.

Γενική θεωρία

Πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο του οποίου οι πλευρές έχουν σχήμα παραλληλογράμμου. Επιπλέον, η βάση του μπορεί να είναι οποιοδήποτε πολύεδρο - από ένα τρίγωνο έως ένα n-gon. Επιπλέον, οι βάσεις του πρίσματος είναι πάντα ίσες μεταξύ τους. Αυτό που δεν ισχύει για τις πλαϊνές όψεις είναι ότι μπορεί να διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, δεν συναντάται μόνο η περιοχή της βάσης του πρίσματος. Μπορεί να απαιτεί γνώση της πλάγιας επιφάνειας, δηλαδή όλων των όψεων που δεν είναι βάσεις. Η πλήρης επιφάνεια θα είναι η ένωση όλων των προσώπων που απαρτίζουν το πρίσμα.

Μερικές φορές τα προβλήματα περιλαμβάνουν ύψος. Είναι κάθετο στις βάσεις. Η διαγώνιος ενός πολυέδρου είναι ένα τμήμα που συνδέει σε ζεύγη οποιεσδήποτε δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η περιοχή βάσης ενός ευθύγραμμου ή κεκλιμένου πρίσματος δεν εξαρτάται από τη γωνία μεταξύ τους και των πλευρικών όψεων. Αν έχουν τις ίδιες φιγούρες στην επάνω και στην κάτω όψη, τότε οι περιοχές τους θα είναι ίσες.

Τριγωνικό πρίσμα

Έχει στη βάση του ένα σχήμα με τρεις κορυφές, δηλαδή ένα τρίγωνο. Όπως γνωρίζετε, μπορεί να είναι διαφορετικό. Αν ναι, αρκεί να θυμάστε ότι η περιοχή του καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών.

Ο μαθηματικός συμβολισμός μοιάζει με αυτό: S = ½ av.

Για να μάθετε την περιοχή της βάσης σε γενική εικόνα, οι τύποι θα είναι χρήσιμοι: Ερωδιός και αυτός στον οποίο η μισή πλευρά έχει φτάσει στο ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Ο πρώτος τύπος πρέπει να γραφτεί ως εξής: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Αυτή η σημείωση περιέχει μια ημιπερίμετρο (p), δηλαδή το άθροισμα τριών πλευρών διαιρούμενο με δύο.

Δεύτερον: S = ½ n a * a.

Εάν θέλετε να μάθετε το εμβαδόν της βάσης ενός τριγωνικού πρίσματος, το οποίο είναι κανονικό, τότε το τρίγωνο αποδεικνύεται ισόπλευρο. Υπάρχει ένας τύπος για αυτό: S = ¼ a 2 * √3.

Τετράγωνο πρίσμα

Η βάση του είναι οποιοδήποτε από τα γνωστά τετράγωνα. Μπορεί να είναι ορθογώνιο ή τετράγωνο, παραλληλεπίπεδο ή ρόμβος. Σε κάθε περίπτωση, για να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος, θα χρειαστείτε τον δικό σας τύπο.

Αν η βάση είναι ορθογώνιο, τότε το εμβαδόν της προσδιορίζεται ως εξής: S = ab, όπου a, b είναι οι πλευρές του ορθογωνίου.

Όταν πρόκειται για ένα τετράγωνο πρίσμα, το εμβαδόν της βάσης ενός κανονικού πρίσματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα τετράγωνο. Γιατί είναι αυτός που βρίσκεται στα θεμέλια. S = a 2.

Στην περίπτωση που η βάση είναι παραλληλεπίπεδο, θα χρειαστεί η ακόλουθη ισότητα: S = a * n a. Συμβαίνει να δίνονται η πλευρά ενός παραλληλεπίπεδου και μία από τις γωνίες. Στη συνέχεια, για να υπολογίσετε το ύψος, θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε έναν πρόσθετο τύπο: n a = b * sin A. Επιπλέον, η γωνία Α είναι δίπλα στην πλευρά "b" και το ύψος n είναι απέναντι από αυτήν τη γωνία.

Εάν υπάρχει ένας ρόμβος στη βάση του πρίσματος, τότε για να προσδιορίσετε το εμβαδόν του θα χρειαστείτε τον ίδιο τύπο όπως για ένα παραλληλόγραμμο (αφού είναι ειδική περίπτωση του). Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτό: S = ½ d 1 d 2. Εδώ τα d 1 και d 2 είναι δύο διαγώνιοι του ρόμβου.

Κανονικό πενταγωνικό πρίσμα

Αυτή η περίπτωση περιλαμβάνει τη διαίρεση του πολυγώνου σε τρίγωνα, τα εμβαδά των οποίων είναι ευκολότερο να βρεθούν. Αν και συμβαίνει ότι τα σχήματα μπορούν να έχουν διαφορετικό αριθμό κορυφών.

Δεδομένου ότι η βάση του πρίσματος είναι ένα κανονικό πεντάγωνο, μπορεί να χωριστεί σε πέντε ισόπλευρα τρίγωνα. Τότε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τέτοιου τριγώνου (ο τύπος φαίνεται παραπάνω), πολλαπλασιαζόμενος επί πέντε.

Κανονικό εξαγωνικό πρίσμα

Χρησιμοποιώντας την αρχή που περιγράφεται για ένα πενταγωνικό πρίσμα, είναι δυνατό να διαιρεθεί το εξάγωνο της βάσης σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για την περιοχή βάσης ενός τέτοιου πρίσματος είναι παρόμοιος με τον προηγούμενο. Μόνο που θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί έξι.

Ο τύπος θα μοιάζει με αυτό: S = 3/2 a 2 * √3.

Καθήκοντα

Νο. 1. Δεδομένης μιας κανονικής ευθείας γραμμής, η διαγώνιος της είναι 22 εκ., το ύψος του πολυέδρου είναι 14 εκ. Υπολογίστε το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος και ολόκληρης της επιφάνειας.

Λύση.Η βάση του πρίσματος είναι ένα τετράγωνο, αλλά η πλευρά του είναι άγνωστη. Μπορείτε να βρείτε την τιμή του από τη διαγώνιο του τετραγώνου (x), που σχετίζεται με τη διαγώνιο του πρίσματος (d) και το ύψος του (h). x 2 = d 2 - n 2. Από την άλλη πλευρά, αυτό το τμήμα "x" είναι η υποτείνουσα σε ένα τρίγωνο του οποίου τα σκέλη είναι ίσα με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή, x 2 = a 2 + a 2. Έτσι αποδεικνύεται ότι a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Αντικαταστήστε τον αριθμό 22 αντί για d και αντικαταστήστε το "n" με την τιμή του - 14, αποδεικνύεται ότι η πλευρά του τετραγώνου είναι 12 cm. Τώρα απλά μάθετε την περιοχή της βάσης: 12 * 12 = 144 cm 2.

Για να μάθετε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, πρέπει να προσθέσετε δύο φορές την περιοχή βάσης και να τετραπλασιάσετε την πλευρική επιφάνεια. Το τελευταίο μπορεί να βρεθεί εύκολα χρησιμοποιώντας τον τύπο για ένα ορθογώνιο: πολλαπλασιάστε το ύψος του πολυεδρικού και την πλευρά της βάσης. Δηλαδή, 14 και 12, αυτός ο αριθμός θα είναι ίσος με 168 cm 2. Η συνολική επιφάνεια του πρίσματος αποδεικνύεται ότι είναι 960 cm 2.

Απάντηση.Το εμβαδόν της βάσης του πρίσματος είναι 144 cm 2. Ολόκληρη η επιφάνεια είναι 960 cm 2.

Νο 2. Δίνεται Στη βάση υπάρχει ένα τρίγωνο με πλευρά 6 εκ. Στην περίπτωση αυτή, η διαγώνιος της πλευρικής όψης είναι 10 εκ. Υπολογίστε τα εμβαδά: τη βάση και την πλάγια επιφάνεια.

Λύση.Δεδομένου ότι το πρίσμα είναι κανονικό, η βάση του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Επομένως, το εμβαδόν του αποδεικνύεται ίσο με το 6 στο τετράγωνο, πολλαπλασιαζόμενο με το ¼ και την τετραγωνική ρίζα του 3. Ένας απλός υπολογισμός οδηγεί στο αποτέλεσμα: 9√3 cm 2. Αυτή είναι η περιοχή μιας βάσης του πρίσματος.

Όλες οι πλευρικές όψεις είναι ίδιες και είναι ορθογώνια με πλευρές 6 και 10 εκ. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν τους, απλώς πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα επί τρία, γιατί το πρίσμα έχει τόσες ακριβώς πλευρικές όψεις. Στη συνέχεια, η περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του τραύματος αποδεικνύεται ότι είναι 180 cm 2.

Απάντηση.Περιοχές: βάση - 9√3 cm 2, πλευρική επιφάνεια πρίσματος - 180 cm 2.

αιμορροΐδες

1 0 0

Εάν βρείτε κάποιο σφάλμα, επιλέξτε ένα κομμάτι κειμένου και πατήστε Ctrl+Enter.