Cheva ve Menelaus teoremlerinin nasıl genelleştirildiği. Birleşik Durum Sınavında Cheva ve Menelaus Teoremleri

Sınıf: 9

Dersin Hedefleri:

1. öğrencilerin bilgi ve becerilerini genelleştirmek, genişletmek ve sistemleştirmek; karmaşık problemleri çözerken bilginin nasıl kullanılacağını öğretmek;
2. problemleri çözerken bilginin bağımsız uygulanmasına yönelik becerilerin geliştirilmesini teşvik etmek;
3. öğrencilerin mantıksal düşünmesini ve matematiksel konuşmasını, analiz etme, karşılaştırma ve genelleme yeteneğini geliştirmek;
4. öğrencilere özgüven ve sıkı çalışma aşılamak; bir takımda çalışabilme yeteneği.

Dersin Hedefleri:

• Eğitici: Menelaus ve Cheva'nın teoremlerini tekrarlayın; sorunları çözerken bunları uygulayın.
• Gelişimsel: bir hipotez ortaya koymayı ve fikrinizi kanıtlarla ustaca savunmayı öğrenin; Bilginizi genelleme ve sistematikleştirme yeteneğinizi test edin.
• Eğitici: konuya olan ilgiyi artırın ve daha karmaşık problemleri çözmeye hazırlanın.

Ders türü: bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.

Teçhizat: bu konuyla ilgili bir derste toplu çalışma için kartlar, bağımsız çalışma için bireysel kartlar, bilgisayar, multimedya projektörü, ekran.

Dersler sırasında

Aşama I. Organizasyon anı (1 dk.)

Öğretmen dersin konusunu ve amacını duyurur.

Aşama II. Temel bilgi ve becerilerin güncellenmesi (10 dk.)

Öğretmen: Ders sırasında problem çözmeye başarılı bir şekilde geçebilmek için Menelaus ve Cheva teoremlerini hatırlayacağız. Şimdi sunulduğu ekrana bir göz atalım. Bu şekil hangi teorem için verilmiştir? (Menelaus'un teoremi). Teoremi açıkça formüle etmeye çalışın.

Resim 1

A 1 noktası ABC üçgeninin BC kenarında, C 1 noktası AB kenarında, B 1 noktası C noktasının ötesinde AC kenarının devamında olsun. A 1, B 1 ve C 1 noktaları ancak ve ancak aynı düz çizgi üzerinde yer alır. eğer eşitlik geçerliyse

Öğretmen: Aşağıdaki resme birlikte bakalım. Bu çizim için bir teorem belirtin.

şekil 2

AD çizgisi iki tarafı ve RİA üçgeninin üçüncü tarafının uzantısını keser.

Menelaus'un teoremine göre

MB düz çizgisi ADC üçgeninin iki kenarını ve üçüncü kenarının uzantısını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Öğretmen: Resim hangi teoreme karşılık geliyor? (Ceva'nın teoremi). Teoremi belirtin.

Figür 3

ABC üçgeninde A 1 noktası BC kenarında, B 1 noktası AC tarafında, C 1 noktası AB tarafında olsun. AA 1, BB 1 ve CC 1 doğru parçaları ancak ve ancak eşitliğin sağlanması durumunda bir noktada kesişir

Aşama III. Problem çözme. (22 dk.)

Sınıf 3 takıma ayrılmıştır ve her birine iki farklı görevi içeren bir kart verilir. Karar vermek için zaman verilir, ardından ekranda aşağıdakiler görünür:<Рисунки 4-9>. Ekip temsilcileri, görevler için tamamlanan çizimlere dayanarak sırayla çözümlerini açıklıyor. Her açıklamanın ardından tartışma, soruların yanıtlanması ve çözümün doğruluğunun ekrandan kontrol edilmesi gelir. Tüm ekip üyeleri tartışmaya katılır. Ekip ne kadar aktif olursa, sonuçların özetlenmesinde o kadar yüksek puan alınır.

Kart 1.

1. ABC üçgeninde N noktası BC kenarı üzerinde alınır ve NC = 3BN olur; AC kenarının devamında, MA = AC olacak şekilde M noktası A noktası olarak alınır. MN doğrusu AB kenarını F noktasında kesiyor. Oranı bulun

2. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm 1

Şekil 4

Problemin koşullarına göre MA = AC, NC = 3BN. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k olsun. MN doğrusu ABC üçgeninin iki kenarını ve üçüncünün devamını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Cevap:

Kanıt 2

Şekil 5

ABC üçgeninin kenarortayları AM 1, BM 2, CM 3 olsun. Bu doğru parçalarının bir noktada kesiştiğini kanıtlamak için şunu göstermek yeterlidir:

Daha sonra Ceva (converse) teoremine göre AM 1, BM 2 ve CM 3 doğru parçaları bir noktada kesişir.

Sahibiz:

Böylece bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiği kanıtlanmıştır.

Kart 2.

1. PQR üçgeninin PQ tarafında N noktası, PR tarafında L noktası alınır ve NQ = LR olur. QL ve NR doğru parçalarının kesişme noktası, Q noktasından itibaren sayılarak QL'yi m:n oranında böler.

2. Bir üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm 1

Şekil 6

Koşula göre NQ = LR, NA = LR =a, QF = km, LF = kn olsun. NR çizgisi PQL üçgeninin iki kenarını ve üçüncünün devamını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Cevap:

Kanıt 2

Şekil 7

Hadi bunu gösterelim

O halde Ceva (konvers) teoremine göre AL 1, BL 2, CL 3 bir noktada kesişmektedir. Üçgenin bisektörlerinin özelliği ile

Elde edilen eşitlikleri terimle çarparak şunu elde ederiz:

Bir üçgenin açıortayları için Cheva eşitliği sağlanmıştır, dolayısıyla bir noktada kesişirler.

Kart 3.

1. ABC üçgeninde AD kenarortaydır, O noktası ortancadır. BO düz çizgisi AC kenarını K noktasında keser. A noktasından itibaren sayıldığında K noktası AC'yi hangi oranda böler?

2. Bir üçgenin içine bir daire yazılmışsa, üçgenin köşelerini karşıt tarafların temas noktalarına bağlayan bölümlerin bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm 1

Şekil 8

BD = DC = a, AO = OD = m olsun. BK düz çizgisi ADC üçgeninin iki kenarını ve üçüncü kenarının uzantısını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Cevap:

Kanıt 2

Şekil 9

ABC üçgeninin yazılı çemberinin teğet noktaları A 1, B 1 ve C 1 olsun. AA 1, BB 1 ve CC 1 doğru parçalarının bir noktada kesiştiğini kanıtlamak için Cheva eşitliğinin sağlandığını göstermek yeterlidir:

Bir noktadan bir daireye çizilen teğetlerin özelliğini kullanarak aşağıdaki gösterimi tanıtıyoruz: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Cheva eşitliği sağlandı, bu da üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiği anlamına geliyor.

Aşama IV. Problem çözme (bağımsız çalışma) (8 dk.)

Öğretmen: Takımların çalışması bitti ve şimdi 2 seçenekli bireysel kartlar üzerinde bağımsız çalışmaya başlayacağız.

Öğrencilerin bağımsız çalışmaları için ders materyalleri

Seçenek 1. Alanı 6 olan ABC üçgeninde, AB tarafında bu tarafı AK:BK = 2:3 oranında bölen bir K noktası, AC tarafında ise AC'yi bölen bir L noktası vardır. AL:LC = 5:3 oranında. СК ve BL düz çizgilerinin kesişme noktası Q, AB düz çizgisinden belirli bir mesafede kaldırılır. AB kenarının uzunluğunu bulun. (Cevap: 4.)

Seçenek 2. ABC üçgeninde AC kenarında K noktası alınıyor AK = 1, KS = 3. AB tarafında L noktası alınıyor AL:LB = 2:3, Q, BK ve CL doğrularının kesişme noktası. B köşesinden bırakılan ABC üçgeninin yükseklik uzunluğunu bulun. (Cevap: 1.5.)

Çalışma kontrol için öğretmene teslim edilir.

V aşaması. Ders özeti (2 dk.)

Yapılan hatalar analiz edilir, özgün yanıtlar ve yorumlar not edilir. Her takımın çalışmasının sonuçları toplanır ve notlar verilir.

Aşama VI. Ödev (1 dk.)

Ödev, 11, 12, s. 289-290, 10, s. 301 numaralı problemlerden oluşur.

Öğretmenin son sözleri (1 dk).

Bugün birbirinizin matematiksel konuşmasını dışarıdan duydunuz ve yeteneklerinizi değerlendirdiniz. Gelecekte konunun daha iyi anlaşılması için bu tür tartışmalardan yararlanacağız. Dersteki argümanlar gerçeklerle, teori ise pratikle dosttu. Hepinize teşekkür ederim.

Edebiyat:

1. Tkachuk V.V. Başvuranlar için matematik. – M.: MTsNMO, 2005.

Menelaus'un teoremi veya tam dörtgen teoremi Antik Yunan zamanlarından beri bilinmektedir. Adını, eski Yunan matematikçisi ve astronomu olan yazarının onuruna almıştır. İskenderiyeli Menelaus(MS 100 civarında). Bu teorem çok güzel ve basittir, ancak ne yazık ki modern okul derslerinde gereken ilgi gösterilmemektedir. Bu arada birçok durumda oldukça karmaşık geometrik problemlerin çok kolay ve zarif bir şekilde çözülmesine yardımcı olur.

Teorem 1 (Menelaus teoremi). ∆ABC'nin AB kenarına paralel olmayan ve AC ve BC kenarlarını sırasıyla F ve E noktalarında ve AB doğrusunu D noktasında kesen bir çizgiyle kesişmesine izin verin. (Şekil 1),

bu durumda A F FC * CE EB * BD DA = 1

Not. Bu formülü kolayca hatırlamak için aşağıdaki kuralı kullanabilirsiniz: üçgenin konturu boyunca tepe noktasından çizgiyle kesişme noktasına ve kesişme noktasından bir sonraki tepe noktasına doğru hareket edin.

Kanıt.Üçgenin A, B, C köşelerinden, kesen çizgiyle kesişene kadar sırasıyla üç paralel çizgi çiziyoruz. Üç çift benzer üçgen elde ediyoruz (iki açıda benzerlik işareti). Üçgenlerin benzerliğinden aşağıdaki eşitlikler çıkar:

Şimdi elde edilen bu eşitlikleri çarpalım:

Teorem kanıtlandı.

Bu teoremin güzelliğini hissetmek için aşağıda önerilen geometrik problemi iki farklı şekilde çözmeye çalışalım: yardımcı yapı kullanma ve yardımıyla Menelaus'un teoremi.

Görev 1.

∆ABC'de AD açıortayı BC kenarını 2:1 oranında böler. CE ortancası bu açıortayı hangi oranda böler?

Çözüm.

Yardımcı yapı kullanma:

AD açıortayı ile CE ortancasının kesişme noktası S olsun. ASBK paralelkenarına ∆ASB oluşturalım. (İncir. 2)

Paralelkenarın kesişme noktası köşegenleri ikiye böldüğü için açıkça SE = EK olur. Şimdi ∆CBK ve ∆CDS üçgenlerini ele alalım. Benzer olduklarını görmek kolaydır (iki açıda benzerlik işareti: ve paralel AD ve KB çizgileri ve bir kesen CB ile iç tek taraflı açılar olarak). Üçgenin benzerliğinden aşağıdakiler çıkar:

Koşulu kullanarak şunu elde ederiz:

CB CD = CD + DB CD = CD + 2CD CB = 3CD CD = 3

Şimdi paralelkenarın karşıt kenarları gibi KB = AS olduğuna dikkat edin. Daha sonra

AS SD = KB SD = CB CD = 3

Menelaus teoremini kullanma.

∆ABD'yi ele alalım ve buna Menelaus teoremini uygulayalım (C, S, E noktalarından geçen doğru bir kesen doğrudur):

BE EA * SD OLARAK * DC CB = 1

Teoremin koşullarına göre, CE ortanca olduğundan BE/EA = 1 ve daha önce hesapladığımız gibi DC/CB = 1/3 elde ederiz.

1 * SD OLARAK * 1 3 = 1

Buradan AS/SD = 3 elde ederiz. İlk bakışta her iki çözüm de oldukça kompakt ve yaklaşık olarak eşdeğerdir. Bununla birlikte, okul çocukları için ek bir yapı fikrinin çoğu zaman çok karmaşık olduğu ve hiç de açık olmadığı ortaya çıkıyor, oysa Menelaus teoremini bildiği için sadece onu doğru bir şekilde uygulaması gerekiyor.

Menelaus teoreminin çok zarif bir şekilde çalıştığı başka bir problemi ele alalım.

Görev 2.

AB ve BC ∆ABC kenarlarında sırasıyla M ve N noktaları verilmiştir, öyle ki aşağıdaki eşitlikler sağlanır:

AM MB = CN NA = 1 2

BN ve CM parçalarının kesişme noktası S bu parçaların her birini hangi oranda bölmektedir (Şekil 3)?

Çözüm.

∆ABN'yi ele alalım. Bu üçgene Menelaus teoremini uygulayalım (M, S, C noktalarından geçen doğru kesen bir çizgidir)

AM MB * BC SN * CN CA = 1

Elimizdeki problem koşullarından: AM MB = 1 2

NC CA = NC CN + NA = NC CN + 2NC = NC 3 NC = 1 3

Bu sonuçları yerine koyalım ve şunu elde edelim:

1 2 * BS SN * 1 3 = 1

Dolayısıyla BS/SN = 6. Ve bu nedenle, BN ve CM segmentlerinin kesiştiği S noktası, BN segmentini 6: 1 oranında böler.

∆ACM'yi ele alalım. Bu üçgene Menelaus teoremini uygulayalım (N, S, B noktalarından geçen çizgi bir kesen çizgidir):

AN NC * CS SM * MB BA = 1

Elimizdeki problem koşullarından: AN NC = 2

MB BA = MB BM + MA = 2MA 2MA + MA = 2MB 3MA = 2 3

Bu sonuçları yerine koyalım ve şunu elde edelim:

2 * CS SM * 2 3 = 1

Dolayısıyla CS/SM = 3/4

Ve bu nedenle, BN ve CM segmentlerinin kesiştiği S noktası, CM segmentini 3: 4 oranında böler.

Menelaus teoreminin tersi teorem de doğrudur. Çoğu zaman daha da faydalı olduğu ortaya çıkıyor. Özellikle ispat problemlerinde işe yarar. Çoğu zaman onun yardımıyla Olimpiyat sorunları bile güzel, kolay ve hızlı bir şekilde çözülür.

Teorem 2(Menelaus'un Converse teoremi). Bir ABC üçgeni verilsin ve D, E, F noktaları sırasıyla BC, AC, AB doğrularına ait olsun (hem ABC üçgeninin kenarlarında hem de uzantılarında bulunabileceklerini unutmayın) (Şekil 4).

O zaman AF FC * CE EB * BD DA = 1 ise

bu durumda D, E, F noktaları aynı doğru üzerinde yer alır.

Kanıt. Teoremi çelişkiyle kanıtlayalım. Teoremin koşullarından elde edilen ilişkinin sağlandığını ancak F noktasının DE doğrusu üzerinde bulunmadığını varsayalım (Şekil 5).

DE ve AB doğrularının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. Şimdi Menelaus teoremini uygulayarak şunu elde ederiz: AE EC * CD DB * BO OA = 1

Ancak diğer taraftan BF FA = BO OA eşitliği

idam edilemez.

Bu nedenle teoremin koşullarından elde edilen ilişki sağlanamaz. Bir çelişki yaşadık.

Teorem kanıtlandı.

web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Sınıf: 9

Dersin Hedefleri:

1. öğrencilerin bilgi ve becerilerini genelleştirmek, genişletmek ve sistemleştirmek; karmaşık problemleri çözerken bilginin nasıl kullanılacağını öğretmek;
2. problemleri çözerken bilginin bağımsız uygulanmasına yönelik becerilerin geliştirilmesini teşvik etmek;
3. öğrencilerin mantıksal düşünmesini ve matematiksel konuşmasını, analiz etme, karşılaştırma ve genelleme yeteneğini geliştirmek;
4. öğrencilere özgüven ve sıkı çalışma aşılamak; bir takımda çalışabilme yeteneği.

Dersin Hedefleri:

• Eğitici: Menelaus ve Cheva'nın teoremlerini tekrarlayın; sorunları çözerken bunları uygulayın.
• Gelişimsel: bir hipotez ortaya koymayı ve fikrinizi kanıtlarla ustaca savunmayı öğrenin; Bilginizi genelleme ve sistematikleştirme yeteneğinizi test edin.
• Eğitici: konuya olan ilgiyi artırın ve daha karmaşık problemleri çözmeye hazırlanın.

Ders türü: bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.

Teçhizat: bu konuyla ilgili bir derste toplu çalışma için kartlar, bağımsız çalışma için bireysel kartlar, bilgisayar, multimedya projektörü, ekran.

Dersler sırasında

Aşama I. Organizasyon anı (1 dk.)

Öğretmen dersin konusunu ve amacını duyurur.

Aşama II. Temel bilgi ve becerilerin güncellenmesi (10 dk.)

Öğretmen: Ders sırasında problem çözmeye başarılı bir şekilde geçebilmek için Menelaus ve Cheva teoremlerini hatırlayacağız. Şimdi sunulduğu ekrana bir göz atalım. Bu şekil hangi teorem için verilmiştir? (Menelaus'un teoremi). Teoremi açıkça formüle etmeye çalışın.

Resim 1

A 1 noktası ABC üçgeninin BC kenarında, C 1 noktası AB kenarında, B 1 noktası C noktasının ötesinde AC kenarının devamında olsun. A 1, B 1 ve C 1 noktaları ancak ve ancak aynı düz çizgi üzerinde yer alır. eğer eşitlik geçerliyse

Öğretmen: Aşağıdaki resme birlikte bakalım. Bu çizim için bir teorem belirtin.

şekil 2

AD çizgisi iki tarafı ve RİA üçgeninin üçüncü tarafının uzantısını keser.

Menelaus'un teoremine göre

MB düz çizgisi ADC üçgeninin iki kenarını ve üçüncü kenarının uzantısını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Öğretmen: Resim hangi teoreme karşılık geliyor? (Ceva'nın teoremi). Teoremi belirtin.

Figür 3

ABC üçgeninde A 1 noktası BC kenarında, B 1 noktası AC tarafında, C 1 noktası AB tarafında olsun. AA 1, BB 1 ve CC 1 doğru parçaları ancak ve ancak eşitliğin sağlanması durumunda bir noktada kesişir

Aşama III. Problem çözme. (22 dk.)

Sınıf 3 takıma ayrılmıştır ve her birine iki farklı görevi içeren bir kart verilir. Karar vermek için zaman verilir, ardından ekranda aşağıdakiler görünür:<Рисунки 4-9>. Ekip temsilcileri, görevler için tamamlanan çizimlere dayanarak sırayla çözümlerini açıklıyor. Her açıklamanın ardından tartışma, soruların yanıtlanması ve çözümün doğruluğunun ekrandan kontrol edilmesi gelir. Tüm ekip üyeleri tartışmaya katılır. Ekip ne kadar aktif olursa, sonuçların özetlenmesinde o kadar yüksek puan alınır.

Kart 1.

1. ABC üçgeninde N noktası BC kenarı üzerinde alınır ve NC = 3BN olur; AC kenarının devamında, MA = AC olacak şekilde M noktası A noktası olarak alınır. MN doğrusu AB kenarını F noktasında kesiyor. Oranı bulun

2. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm 1

Şekil 4

Problemin koşullarına göre MA = AC, NC = 3BN. MA = AC =b, BN = k, NC = 3k olsun. MN doğrusu ABC üçgeninin iki kenarını ve üçüncünün devamını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Cevap:

Kanıt 2

Şekil 5

ABC üçgeninin kenarortayları AM 1, BM 2, CM 3 olsun. Bu doğru parçalarının bir noktada kesiştiğini kanıtlamak için şunu göstermek yeterlidir:

Daha sonra Ceva (converse) teoremine göre AM 1, BM 2 ve CM 3 doğru parçaları bir noktada kesişir.

Sahibiz:

Böylece bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiği kanıtlanmıştır.

Kart 2.

1. PQR üçgeninin PQ tarafında N noktası, PR tarafında L noktası alınır ve NQ = LR olur. QL ve NR doğru parçalarının kesişme noktası, Q noktasından itibaren sayılarak QL'yi m:n oranında böler.

2. Bir üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm 1

Şekil 6

Koşula göre NQ = LR, NA = LR =a, QF = km, LF = kn olsun. NR çizgisi PQL üçgeninin iki kenarını ve üçüncünün devamını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Cevap:

Kanıt 2

Şekil 7

Hadi bunu gösterelim

O halde Ceva (konvers) teoremine göre AL 1, BL 2, CL 3 bir noktada kesişmektedir. Üçgenin bisektörlerinin özelliği ile

Elde edilen eşitlikleri terimle çarparak şunu elde ederiz:

Bir üçgenin açıortayları için Cheva eşitliği sağlanmıştır, dolayısıyla bir noktada kesişirler.

Kart 3.

1. ABC üçgeninde AD kenarortaydır, O noktası ortancadır. BO düz çizgisi AC kenarını K noktasında keser. A noktasından itibaren sayıldığında K noktası AC'yi hangi oranda böler?

2. Bir üçgenin içine bir daire yazılmışsa, üçgenin köşelerini karşıt tarafların temas noktalarına bağlayan bölümlerin bir noktada kesiştiğini kanıtlayın.

Çözüm 1

Şekil 8

BD = DC = a, AO = OD = m olsun. BK düz çizgisi ADC üçgeninin iki kenarını ve üçüncü kenarının uzantısını kesiyor.

Menelaus'un teoremine göre

Cevap:

Kanıt 2

Şekil 9

ABC üçgeninin yazılı çemberinin teğet noktaları A 1, B 1 ve C 1 olsun. AA 1, BB 1 ve CC 1 doğru parçalarının bir noktada kesiştiğini kanıtlamak için Cheva eşitliğinin sağlandığını göstermek yeterlidir:

Bir noktadan bir daireye çizilen teğetlerin özelliğini kullanarak aşağıdaki gösterimi tanıtıyoruz: C 1 B = BA 1 = x, AC 1 = CB 1 = y, BA 1 = AC 1 = z.

Cheva eşitliği sağlandı, bu da üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiği anlamına geliyor.

Aşama IV. Problem çözme (bağımsız çalışma) (8 dk.)

Öğretmen: Takımların çalışması bitti ve şimdi 2 seçenekli bireysel kartlar üzerinde bağımsız çalışmaya başlayacağız.

Öğrencilerin bağımsız çalışmaları için ders materyalleri

Seçenek 1. Alanı 6 olan ABC üçgeninde, AB tarafında bu tarafı AK:BK = 2:3 oranında bölen bir K noktası, AC tarafında ise AC'yi bölen bir L noktası vardır. AL:LC = 5:3 oranında. СК ve BL düz çizgilerinin kesişme noktası Q, AB düz çizgisinden belirli bir mesafede kaldırılır. AB kenarının uzunluğunu bulun. (Cevap: 4.)

Seçenek 2. ABC üçgeninde AC kenarında K noktası alınıyor AK = 1, KS = 3. AB tarafında L noktası alınıyor AL:LB = 2:3, Q, BK ve CL doğrularının kesişme noktası. B köşesinden bırakılan ABC üçgeninin yükseklik uzunluğunu bulun. (Cevap: 1.5.)

Çalışma kontrol için öğretmene teslim edilir.

V aşaması. Ders özeti (2 dk.)

Yapılan hatalar analiz edilir, özgün yanıtlar ve yorumlar not edilir. Her takımın çalışmasının sonuçları toplanır ve notlar verilir.

Aşama VI. Ödev (1 dk.)

Ödev, 11, 12, s. 289-290, 10, s. 301 numaralı problemlerden oluşur.

Öğretmenin son sözleri (1 dk).

Bugün birbirinizin matematiksel konuşmasını dışarıdan duydunuz ve yeteneklerinizi değerlendirdiniz. Gelecekte konunun daha iyi anlaşılması için bu tür tartışmalardan yararlanacağız. Dersteki argümanlar gerçeklerle, teori ise pratikle dosttu. Hepinize teşekkür ederim.

Edebiyat:

1. Tkachuk V.V. Başvuranlar için matematik. – M.: MTsNMO, 2005.

Matematik - 10. sınıf Mendel Viktor Vasilievich, Uzak Doğu Devlet Üniversitesi Doğa Bilimleri, Matematik ve Bilişim Teknolojileri Fakültesi Dekanı CHEVA TEOREMİ VE MENELAY TEOREMİ Planimetride iki dikkat çekici teoreme özel bir yer verilir: Ceva teoremi ve Menelaus teoremi. Bu teoremler lise geometrisinin temel müfredatında yer almamaktadır, ancak matematiğe okul müfredatı çerçevesinde mümkün olandan biraz daha fazla ilgi duyan herkese bunların incelenmesi (ve uygulanması) önerilmektedir. Bu teoremler neden ilginç? İlk olarak, geometrik problemleri çözerken iki yaklaşımın verimli bir şekilde birleştirildiğini not ediyoruz: - biri temel yapının tanımına dayanmaktadır (örneğin: bir üçgen - bir daire; bir üçgen - bir kesen çizgi; bir üçgen - üç düz çizgi) köşelerinden geçen ve bir noktada kesişen; iki paralel tarafı olan bir dörtgen vb.) - ve ikincisi, destek problemlerinin yöntemidir (karmaşık bir problemi çözme sürecinin azaltıldığı basit geometrik problemler). Dolayısıyla, Menelaus ve Cheva'nın teoremleri en sık karşılaşılan yapılar arasındadır: birincisi, kenarları veya kenarlarının uzantıları bir çizgiyle (kesen) kesişen bir üçgeni ele alır, ikincisi bir üçgen ve geçen üç çizgiyle ilgilenir. köşeleri boyunca bir noktada kesişir. Menelaus teoremi Bu teorem, bir üçgenin köşelerini ve bir sekantın kesişme noktalarını üçgenin kenarlarıyla (kenarların uzantıları) birleştiren bir desen olan, parçaların gözlemlenebilir (tersi ile birlikte) ilişkilerini gösterir. Çizimler üçgenin ve kesen konumun iki olası durumunu göstermektedir. İlk durumda, sekant üçgenin iki tarafını ve üçüncüsünün uzantısını keser, ikincisinde ise üçgenin üç tarafının devamı olur. Teorem 1. (Menelaus) ABC'nin AB kenarına paralel olmayan ve AC ve BC kenarlarını sırasıyla B1 ve A1 noktalarında kesen bir düz çizgiyle ve AB düz çizgisiyle C1 noktasında kesişmesine izin verin, sonra AB1 CA1 olsun. BC1    1. B1C A1B C1 A Teoremi 2. (Menelaus teoreminin tersi) ABC üçgenindeki A1, B1, C1 noktaları sırasıyla BC, AC, AB doğrularına ait olsun, AB1 CA1 BC1  ise  1 B1C A1B C1 A ise A1, B1, C1 noktaları tek bir doğru üzerinde yer alır. Birinci teoremin ispatı şu şekilde gerçekleştirilebilir: üçgenin tüm köşelerinden gelen dikmeler sekant çizgisine indirilir. Sonuç üç çift benzer dik üçgendir. Teoremin formülasyonunda ortaya çıkan parçaların ilişkileri, benzerlik açısından onlara karşılık gelen diklerin ilişkileri ile değiştirilir. Kesirlerdeki her dik parçanın iki kez mevcut olacağı ortaya çıktı: bir kez payda bir kesirde, ikinci kez paydada başka bir kesirde. Böylece tüm bu oranların çarpımı bire eşit olacaktır. Ters teorem çelişki ile kanıtlanabilir. Teorem 2'nin koşulları karşılandığı takdirde A1, B1, C1 noktalarının aynı düz çizgi üzerinde olmadığı varsayılmaktadır. Daha sonra A1B1 düz çizgisi AB kenarını C1 noktasından farklı olarak C2 noktasında kesecektir. Bu durumda Teorem 1'e göre A1, B1, C2 noktaları için aynı ilişki A1, B1, C1 noktaları için de geçerli olacaktır. Bundan, C1 ve C2 noktalarının AB segmentini aynı oranlarda böleceği sonucu çıkar. O zaman bu noktalar çakışıyor - bir çelişkiyle karşılaşıyoruz. Menelaus teoreminin uygulama örneklerine bakalım. Örnek 1. Bir üçgenin kesişme noktasındaki kenarortaylarının tepe noktasından başlayarak 2:1 oranında bölündüğünü kanıtlayın. Çözüm. Teoremde elde edilen ilişkiyi, ABMb üçgeni ve McM(C) düz çizgisi için Menelaus ilişkisini yazalım: AM c BM M bC    1. M c B MM b CA Bu çarpımdaki ilk kesir açıkça eşittir 1'e ve üçüncü ikinci oran 1'e eşittir. Bu nedenle 2 2:1'in kanıtlanması gerekiyordu. Örnek 2. Bir kesen, ABC üçgeninin AC kenarının uzantısını B1 noktasında kesiyor, böylece C noktası AB1 doğru parçasının orta noktası oluyor. Bu sekant AB kenarını ikiye böler. BC kenarını hangi oranda böldüğünü bulunuz? Çözüm. Bir üçgen ve bir kesen için Menelaus teoreminden üç oranın çarpımını yazalım: AB1 CA1 BC1    1. B1C A1B C1 A Problemin koşullarından ilk oranın bire eşit olduğu ve üçüncüsü 1, 2'dir, yani ikinci oran 2'ye eşittir, yani sekant BC kenarını 2:1 oranında böler. Menelaus teoreminin uygulanmasının bir sonraki örneğini Ceva teoreminin ispatını ele aldığımızda göreceğiz. Ceva Teoremi Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının çoğu aşağıdaki prosedür kullanılarak elde edilebilir. ABC üçgeninin BC kenarı (veya onun devamı) üzerinde belirli bir A1 noktasını seçebileceğimiz (örneğin, bu kenarın orta noktasını seçebileceğimiz) bir kural olsun. Daha sonra üçgenin diğer iki tarafında da benzer B1, C1 noktaları oluşturacağız (örneğimizde kenarların iki orta noktası daha). Seçim kuralı başarılı olursa, AA1, BB1, CC1 çizgileri bir Z noktasında kesişecektir (üçgenin medyanları bir noktada kesiştiği için bu anlamda kenarların orta noktalarının seçimi elbette başarılıdır) ). Bir üçgenin kenarlarındaki noktaların konumlarından karşılık gelen doğru üçlüsünün bir noktada kesişip kesişmediğini belirlemeye olanak tanıyan bazı genel yöntemlere sahip olmak isterim. Bu sorunu "kapatan" evrensel koşul 1678'de İtalyan mühendis Giovanni Ceva tarafından bulundu. Tanım. Bir üçgenin köşelerini karşıt kenarlardaki noktalarla (veya bunların uzantılarıyla) birleştiren bölümlere, eğer bir noktada kesişiyorlarsa, cevianlar denir. Cevianlar için iki olası yer var. Bir varyantta kesişme noktası içtedir ve cevianların uçları üçgenin kenarlarında bulunur. İkinci seçenekte kesişme noktası dıştadır, bir cevianın ucu yanda, diğer iki cevianın uçları da yanların uzantılarında bulunur (çizimlere bakınız). Teorem 3. (Cheva'nın direkt teoremi) Herhangi bir ABC üçgeninde, BC, CA, AB kenarlarında veya bunların uzantılarında, AA1, BB1, CC1 doğruları bazı ortak noktalarda kesişecek şekilde sırasıyla A1, B1, C1 noktaları alınır. noktası, daha sonra BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1 . Kanıt: Ceva teoreminin birkaç orijinal ispatı vardır; Menelaus teoreminin çift uygulamasına dayanan bir ispatı ele alacağız. Menelaus teoreminin ilişkisini ilk kez ABB1 üçgeni ile CC1 sekantı için yazalım (Ceviyanların kesişim noktasını Z olarak belirtiyoruz): AC1 BZ B1C    1, C1B ZB1 CA ve ikinci kez ise C1B ZB1 CA için yazalım. B1BC üçgeni ve sekant AA1: B1Z BA1 ​​​​CA    1. ZB A1C AB1 Bu iki oranı çarpıp gerekli azaltmaları yaparak teoremin açıklamasında yer alan oranı elde ederiz. Teorem 4. (Ceva'nın ters teoremi). ABC üçgeninin kenarları veya uzantıları üzerinde seçilen A1, B1 ve C1 noktaları için Cheva koşulu sağlanırsa: BA1 CB1 AC1   1 CA1 AB1 BC1, o zaman AA1, BB1 ve CC1 doğruları bir noktada kesişir. Bu teoremin ispatı tıpkı Menelaus teoreminin ispatı gibi çelişki yoluyla gerçekleştirilir. Ceva'nın direkt ve ters teoremlerinin uygulama örneklerini ele alalım. Örnek 3. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayın. Çözüm. Üçgenin köşeleri ve kenarlarının orta noktaları için AC1 BA1 CB1   C1B A1C B1 A ilişkisini düşünün. Açıkçası, her kesirde pay ve payda eşit parçalara sahiptir, dolayısıyla tüm bu kesirler bire eşittir. Sonuç olarak Cheva ilişkisi sağlanır, dolayısıyla ters teorem tarafından medyanlar bir noktada kesişir. Bağımsız çözüme yönelik problemler Burada önerilen problemler 9. sınıf öğrencileri için 1 numaralı test çalışmasıdır. Bu problemleri çözün, çözümleri ayrı bir deftere yazın (fizik ve bilgisayar bilimlerinden). Kapakta kendinizle ilgili aşağıdaki bilgileri belirtin: 1. Soyadı, adı, sınıfı, sınıf profili (örneğin: Vasily Pupkin, 9. sınıf, matematik) 2. Posta kodu, ikamet adresi, e-posta (varsa), telefon ( evde veya cep telefonu)) ) 3. Okulla ilgili bilgiler (örneğin: MBOU No. 1, Bikin köyü) 4. Matematik öğretmeninin soyadı, tam adı (örneğin: matematik öğretmeni Petrova M.I.) En az dört problemin çözülmesi önerilir. M 9.1.1. Menelaus teoremindeki kesen çizgi, bir üçgenin kenarlarını (veya uzantılarını) aşağıdaki uzunluklarda parçalara ayırabilir mi: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Bu seçenekler mümkünse örnekler veriniz. Segmentler farklı sırayla gidebilir. M 9.1.2. Bir üçgenin iç cevianları kenarlarını aşağıdaki parçalara ayırabilir mi: a) 3, 3, 5, 7,10, 14; c) 3, 5, 6, 7, 7, 10, Bu seçenekler mümkünse örnekler veriniz. Segmentler farklı sırayla gidebilir. İpucu: Örnekler hazırlarken üçgenin aynı olup olmadığını kontrol etmeyi unutmayın. M 9.1.3. Ceva'nın ters teoremini kullanarak şunu kanıtlayın: a) bir üçgenin açıortayları bir noktada kesişir; b) Üçgenin köşelerini karşıt kenarlardaki noktalarla birleştiren ve bu kenarların yazılı daireye temas ettiği bölümler bir noktada kesişir. Talimatlar: a) açıortayın karşı tarafı hangi oranda böldüğünü hatırlayın; b) bir noktadan belirli bir daireye çizilen iki teğetin parçalarının eşit olması özelliğini kullanın. M 9.1.4. Makalenin ilk bölümünde başlayan Menelaus teoreminin ispatını tamamlayın. M 9.1.5. Bir üçgenin yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini Ceva'nın ters teoremini kullanarak kanıtlayın. M 9.1.6. Simpson teoremini kanıtlayın: ABC üçgeni etrafında çevrelenen bir daire üzerinde alınan keyfi bir M noktasından, üçgenin kenarlarına veya kenarlarının uzantılarına dikler bırakılıyor, bu dikmelerin tabanlarının aynı düz çizgi üzerinde bulunduğunu kanıtlıyor. İpucu: Menelaus teoreminin tersini kullanın. İlişkilerde kullanılan doğru parçalarının uzunluklarını, M noktasından çizilen dikmelerin uzunlukları cinsinden ifade etmeye çalışın. Yazılı bir dörtgenin açılarının özelliklerini hatırlamak da faydalıdır.

AV. Şevkin

FMS No. 2007

Birleşik Devlet Sınavında Cheva ve Menelaus Teoremleri

Web sitemizin MAKALELER bölümünde “Ceva ve Menelaus Teoremleri Etrafında” başlıklı detaylı bir makale yayımlandı. Matematikte yetkin olmaya motive olan matematik öğretmenlerine ve lise öğrencilerine yöneliktir. Konuyu daha detaylı anlamak istiyorsanız ona dönebilirsiniz. Bu notta, söz konusu makaleden kısa bilgiler vereceğiz ve Birleşik Devlet Sınavı 2016'ya hazırlanmak için koleksiyondaki sorunların çözümlerini analiz edeceğiz.

Ceva teoremi

Bir üçgen verilsin ABC ve yanlarında AB, M.Ö. Ve AC. işaretlenmiş noktalar C 1 , A 1 Ve B 1 buna göre (Şekil 1).

a) Eğer bölümler AA 1 , BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişiyorsa

b) Eşitlik (1) doğruysa segmentler AA 1 , BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişiyor.

Şekil 1'de segmentlerin durumu gösterilmektedir. AA 1 , BB 1 ve CC 1 üçgenin içinde bir noktada kesişiyor. Bu sözde iç nokta durumudur. Ceva teoremi, noktalardan birinin dış nokta olması durumunda da geçerlidir. A 1 , B 1 veya İLE 1 tanesi üçgenin kenarına, diğer ikisi ise üçgenin kenarlarının uzantılarına aittir. Bu durumda segmentlerin kesişme noktası AA 1 , BB 1 ve CC 1 üçgenin dışında yer almaktadır (Şekil 2).

Cheva'nın eşitliği nasıl hatırlanır?

Eşitliği hatırlama tekniğine dikkat edelim (1). Her bir ilişkideki üçgenin köşeleri ve ilişkilerin kendisi, üçgenin köşelerini çaprazlama yönünde yazılır. ABC, noktadan başlayarak A. noktadan A hadi asıl konuya geçelim B, asıl noktayla buluşuyoruz İLE 1, kesri yazın
. Konunun ilerisinde İÇİNDE hadi asıl konuya geçelim İLE, asıl noktayla buluşuyoruz A 1, kesri yazın
. Son olarak noktadan İLE hadi asıl konuya geçelim A, asıl noktayla buluşuyoruz İÇİNDE 1, kesri yazın
. Harici bir nokta olması durumunda, parçanın iki "bölme noktası" kendi parçalarının dışında olmasına rağmen kesirlerin yazılma sırası korunur. Bu gibi durumlarda noktanın parçayı dışarıdan böldüğünü söylerler.

Bir üçgenin tepe noktasını, karşı tarafı içeren bir doğru üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan herhangi bir doğru parçasına üçgen denir. ceviana.

Bir iç nokta durumu için Ceva teoreminin a) ifadesini kanıtlamanın birkaç yolunu ele alalım. Ceva teoremini kanıtlamak için a) ifadesini aşağıda önerilen yöntemlerden herhangi biriyle kanıtlamanız ve ayrıca b) ifadesini de kanıtlamanız gerekir. b) ifadesinin kanıtı, a) ifadesinin kanıtlanmasının ilk yönteminden sonra verilir. Ceva teoreminin dış nokta durumu için ispatı da benzer şekilde gerçekleştirilir.

Orantılı segment teoremini kullanarak Ceva teoreminin a) ifadesinin kanıtı

Üç cevian olsun AA 1 , BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişiyor Züçgenin içinde ABC.

İspatın amacı, eşitlikten (1) doğru parçalarının ilişkilerini, aynı doğru üzerinde bulunan parçaların ilişkileriyle değiştirmektir.

Nokta yoluyla İÇİNDE Cevian'a paralel düz bir çizgi çizelim SS 1. Dümdüz AA 1, inşa edilen çizgiyi bu noktada kesiyor M, ve noktadan geçen düz çizgi C ve paralel AA 1 , - noktada T. Noktalardan A Ve İLE hadi cevianlara paralel düz çizgiler çizelim BB 1. Çizgiyi aşacaklar VM noktalarda N Ve R buna göre (Şekil 3).

P orantılı bölümlere ilişkin teorem hakkında:

,
Ve
.

O halde eşitlikler doğrudur

.

Paralelkenarlarda ZTM Ve ZCRB bölümler TM, СZ Ve BR paralelkenarın karşıt kenarlarına eşittir. Buradan,
ve eşitlik doğrudur

.

b) ifadesini kanıtlamak için aşağıdaki ifadeyi kullanırız. Pirinç. 3

Lemma 1. Eğer puan İLE 1 ve İLE 2 segmenti bölün AB dahili (veya harici) aynı ilişki içinde, aynı noktadan sayıldığında bu noktalar çakışıyorsa.

Noktaların bulunduğu durum için lemmayı kanıtlayalım. İLE 1 ve İLE 2 segmenti bölün AB dahili olarak aynı ilişki içinde:
.

Kanıt. Eşitlikten
eşitlikler takip ediyor
Ve
. Sonuncusu ancak şu şartla tatmin olur: İLE 1 B Ve İLE 2 B eşittir, yani puanların olması şartıyla İLE 1 ve İLE 2 maç.

Noktaların olduğu durum için lemmanın kanıtı İLE 1 ve İLE 2 segmenti bölün AB Dışarıdan da benzer şekilde gerçekleştirilir.

Ceva teoreminin b) ifadesinin kanıtı

Şimdi eşitlik (1) doğru olsun. Segmentlerin olduğunu kanıtlayalım. AA 1 , BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişiyor.

Chevian'lara izin ver AA 1 ve BB 1 bir noktada kesişiyor Z, bu noktadan geçen bir doğru parçası çizin CC 2 (İLE Segmentte 2 yalan var AB). Daha sonra a) ifadesine dayanarak doğru eşitliği elde ederiz.

. (2)

VE Eşitliklerin (1) ve (2) karşılaştırılmasından şu sonuca varıyoruz:
yani puanlar İLE 1 ve İLE 2 segmenti bölün AB aynı ilişki içinde, aynı noktadan sayılıyor. Lemma 1'den şu noktalar çıkıyor: İLE 1 ve İLE 2 maç. Bu şu anlama geliyor: Segmentler AA 1 , BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişiyor ve bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Eşitlik (1) yazma prosedürünün, üçgenin köşelerinin hangi noktadan ve hangi yönde geçildiğine bağlı olmadığı kanıtlanabilir.

1. Egzersiz. Segmentin uzunluğunu bulun ANŞekil 4'te diğer bölümlerin uzunlukları gösterilmektedir.

Cevap. 8.

Görev 2. Chevian'lar sabah, BN, CKüçgenin içinde bir noktada kesişir ABC. Bir tutum bulun
, Eğer
,
. Pirinç. 4

Cevap.
.

P Makaleden Ceva teoreminin kanıtını sunuyoruz. İspatın amacı, eşitlikten (1) doğru parçalarının ilişkilerini paralel doğrular üzerinde uzanan parçaların ilişkileriyle değiştirmektir.

Düz bırak AA 1 , BB 1 , CC 1 bir noktada kesişiyor Öüçgenin içinde ABC(Şekil 5). Üst kısımdan İLEüçgen ABC hadi paralel bir doğru çizelim AB ve çizgilerle kesişme noktaları AA 1 , BB 1 buna göre belirtiyoruz A 2 , B 2 .

İki çift üçgenin benzerliğinden C.B. 2 B 1 Ve ABB 1 , BAA 1 Ve CA. 2 A 1, Şek. 5

eşitliklerimiz var

,
. (3)

Üçgenlerin benzerliğinden M.Ö 1 Ö Ve B 2 CO, AİLE 1 Ö Ve A 2 CO eşitliklerimiz var
, bundan şu sonuç çıkıyor

. (4)

P (3) ve (4) eşitliklerini çarparak eşitlik (1) elde ederiz.

Ceva teoreminin a) ifadesi kanıtlanmıştır.

Bir iç nokta için alanlar kullanılarak Ceva teoreminin a) ifadesinin ispatını ele alalım. A.G. tarafından kitapta sunulmuştur. Myakishev ve görevler şeklinde formüle ettiğimiz ifadelere güveniyor 3 Ve 4 .

Görev 3. Köşeleri ortak olan ve tabanları aynı doğru üzerinde bulunan iki üçgenin alanlarının oranı, bu tabanların uzunluklarının oranına eşittir. Bu ifadeyi kanıtlayın.

Görev 4. Bunu kanıtla
, O
Ve
. Pirinç. 6

Bölümlere izin ver AA 1 , BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişiyor Z(Şekil 6), ardından

,
. (5)

VE eşitliklerden (5) ve görevin ikinci ifadesinden 4 bunu takip ediyor
veya
. Benzer şekilde şunu elde ederiz
Ve
. Son üç eşitliği çarparak şunu elde ederiz:

,

yani eşitlik (1) doğrudur ve bunun kanıtlanması gerekir.

Ceva teoreminin a) ifadesi kanıtlanmıştır.

Görev 15. Cevianların üçgenin içinde bir noktada kesişmesine izin verin ve onu alanları eşit olan 6 üçgene bölün. S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 , S 6 (Şek. 7). Kanıtla . Pirinç. 7

Görev 6. Alanı bul Süçgen CNZ(Diğer üçgenlerin alanları Şekil 8'de gösterilmektedir).

Cevap. 15.

Görev 7. Alanı bul Süçgen CNO, eğer üçgenin alanı AHAYIR 10'a eşittir ve
,
(Şekil 9).

Cevap. 30.

Görev 8. Alanı bul Süçgen CNO, eğer üçgenin alanı AM.Ö. 88'e eşit ve ,
(Şekil 9).

R karar. O zamandan beri, belirtiyoruz
,
. Çünkü , o zaman belirtiyoruz
,
. Ceva teoreminden şu sonuç çıkıyor
, ve daha sonra
. Eğer
, O
(Şekil 10). Üç bilinmeyen miktarımız var ( X, sen Ve S), yani bulmak için SÜç denklem kuralım.

Çünkü
, O
= 88. O zamandan beri
, O
, Neresi
. Çünkü
, O
.

Bu yüzden,
, Neresi
. Pirinç. 10

Görev 9. Bir üçgende ABC puan k Ve L sırasıyla taraflara aittir AB Ve BC.
,
. P AL Ve CK. Bir üçgenin alanı PBC 1'e eşittir. Üçgenin alanını bulun ABC.

Cevap. 1,75.

T Menelaus'un teoremi

Bir üçgen verilsin ABC ve yanlarında AC. Ve CB işaretlenmiş noktalar B 1 ve A 1 buna göre ve devam tarafında AB işaretlenmiş nokta C 1 (Şek. 11).

a) Eğer noktalar A 1 , B 1 ve İLE 1 aynı düz çizgi üzerinde yatıyorum, sonra

. (6)

b) Eşitlik (7) doğruysa puanlar A 1 , B 1 ve İLE 1 aynı düz çizgi üzerinde yatıyorum. Pirinç. on bir

Menelaus'un eşitliği nasıl hatırlanır?

Eşitliği (6) hatırlama tekniği eşitlik (1) ile aynıdır. Her bir ilişkideki üçgenin köşeleri ve ilişkilerin kendisi, üçgenin köşelerini çaprazlama yönünde yazılır. ABC- Tepe noktasından tepe noktasına, bölünme noktalarından (iç veya dış) geçerek.

Görev 10.Üçgenin herhangi bir köşesinden herhangi bir yönde eşitlik (6) yazmanın aynı sonucu verdiğini kanıtlayın.

Menelaus teoremini kanıtlamak için, a) ifadesini aşağıda önerilen yöntemlerden herhangi biriyle kanıtlamanız ve ayrıca b) ifadesini de kanıtlamanız gerekir. b) ifadesinin kanıtı, a) ifadesinin kanıtlanmasının ilk yönteminden sonra verilir.

Orantılı segment teoremini kullanarak a) ifadesinin kanıtı

BENyol. a) İspatın amacı, eşitlikteki (6) doğru parçalarının uzunluklarının oranlarını, aynı doğru üzerinde yer alan parçaların uzunluklarının oranları ile değiştirmektir.

Bırakın puanlar A 1 , B 1 ve İLE 1 aynı düz çizgi üzerinde yatıyorum. Nokta yoluyla C hadi doğrudan yapalım ben, çizgiye paralel A 1 B 1, doğruyu kesiyor AB noktada M(Şekil 12).

R
dır-dir. 12

Orantılı segmentler teoremine göre elimizde:
Ve
.

O halde eşitlikler doğrudur
.

Menelaus teoreminin b) ifadesinin kanıtı

Şimdi eşitlik (6) doğru olsun, noktaların olduğunu kanıtlayalım. A 1 , B 1 ve İLE 1 aynı düz çizgi üzerinde yatıyorum. Düz bırak AB Ve A 1 B 1 bir noktada kesişiyor İLE 2 (Şek. 13).

Noktalardan beri A 1 B 1 ve İLE 2 aynı düz çizgi üzerinde bulunuyorsa Menelaus teoreminin a) ifadesine göre

. (7)

Eşitliklerin (6) ve (7) karşılaştırmasından şunu elde ederiz:
buradan eşitliklerin doğru olduğu sonucu çıkar

,
,
.

Son eşitlik ancak şu durumlarda doğrudur:
, yani eğer noktalar İLE 1 ve İLE 2 maç.

Menelaus teoreminin b) ifadesi kanıtlanmıştır. Pirinç. 13

a) önermesinin üçgenlerin benzerliğini kullanarak kanıtı

İspatın amacı, eşitlikten (6) doğru parçalarının uzunluklarının oranlarını, paralel doğrular üzerinde uzanan parçaların uzunluklarının oranlarıyla değiştirmektir.

Bırakın puanlar A 1 , B 1 ve İLE 1 aynı düz çizgi üzerinde yatıyorum. Noktalardan A, B Ve C hadi dik çizgiler çizelim AA 0 , BB 0 ve SS 0'dan bu düz çizgiye kadar (Şek. 14).

R
dır-dir. 14

Üç çift üçgenin benzerliğinden A.A. 0 B 1 Ve CC 0 B 1 , CC 0 A 1 Ve BB 0 A 1 , C 1 B 0 B Ve C 1 A 0 A(iki açıda) doğru eşitliklere sahibiz

,
,
,

bunları çarparsak şunu elde ederiz:

.

Menelaus teoreminin a) ifadesi kanıtlanmıştır.

İfadenin kanıtı a) kullanım alanları

İspatın amacı, parçaların uzunluklarının eşitlikten (7) oranını üçgenlerin alanlarının oranlarıyla değiştirmektir.

Bırakın puanlar A 1 , B 1 ve İLE 1 aynı düz çizgi üzerinde yatıyorum. Noktaları birleştirelim C Ve C 1. Üçgenlerin alanlarını gösterelim S 1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 (Şek. 15).

O halde eşitlikler doğrudur

,
,
. (8)

Eşitlikleri (8) çarparak şunu elde ederiz:

Menelaus teoreminin a) ifadesi kanıtlanmıştır.

R
dır-dir. 15

Nasıl ki Cevianların kesişme noktası üçgenin dışındaysa Ceva teoremi geçerli kalıyorsa, sekant yalnızca üçgenin kenarlarının uzantılarıyla kesişiyorsa Menelaus teoremi de geçerli kalır. Bu durumda üçgenin kenarlarının dış noktalarda kesişmesinden bahsedebiliriz.

Dış noktalar durumunda beyanın kanıtı a)

P sekant üçgenin kenarlarını keser ABC dış noktalarda, yani kenarların uzantılarıyla kesişir AB,M.Ö. Ve AC. noktalarda C 1 , A 1 ve B sırasıyla 1 ve bu noktalar aynı düz çizgi üzerinde yer almaktadır (Şekil 16).

Orantılı segmentler teoremine göre elimizde:

Ve .

O zaman eşitlikler doğrudur

Menelaus teoreminin a) ifadesi kanıtlanmıştır. Pirinç. 16

Yukarıdaki ispatın, kesen üçgenin iki kenarını iç noktalarda ve bir dış noktalarında kesiştiği durum için Menelaus teoreminin ispatıyla örtüştüğüne dikkat edin.

Menelaus teoreminin b) ifadesinin dış noktalar için ispatı yukarıda verilen ispata benzer.

Z atama11. Bir üçgende ABC puan A 1 , İÇİNDE Sırasıyla yanlarda 1 yalan Güneş Ve AİLE. P- segmentlerin kesişme noktası AA 1 Ve BB 1 .
,
. Bir tutum bulun
.

Çözüm. Haydi belirtelim
,
,
,
(Şekil 17). Menelaus'un üçgen teoremine göre M.Ö.İÇİNDE 1 ve sekant PA 1'de doğru eşitliği yazıyoruz:

,

nereden geliyor

. Pirinç. 17

Cevap. .

Z atama12 (MSU, yazışma hazırlık kursları). Bir üçgende ABC, alanı 6 olan tarafta AB alınan nokta İLE, bu tarafı ilişkiyle paylaşmak
ve yanda AC- nokta L, bölme AC bir ilişkide
. Nokta P çizgi kesişmeleri SK Ve İÇİNDEL düz çizgiden uzakta AB 1,5 mesafede. Kenar uzunluğunu bulun AB.

Çözüm. Noktalardan R Ve İLE hadi dikeyleri bırakalım halkla ilişkiler Ve SANTİMETRE direkt olarak AB. Haydi belirtelim
,
,
,
(Şekil 18). Menelaus'un üçgen teoremine göre A.K.C. ve sekant P.L. Doğru eşitliği yazalım:
, bunu nereden alıyoruz
,
. Pirinç. 18

Üçgenlerin benzerliğinden İLEM.C. Ve İLER.P.(iki açıda) bunu anlıyoruz
, bundan şu sonuç çıkıyor
.

Artık kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunu biliyoruz ABüçgen ABC ve bu üçgenin alanı, kenarın uzunluğunu hesaplıyoruz:
.

Cevap. 4.

Z atama13. Merkezi olan üç daire A,İÇİNDE,İLE, yarıçapları şu şekilde ilişkilidir:
, harici olarak noktalarda birbirine dokunun X, e, ZŞekil 19'da gösterildiği gibi. Segmentler balta Ve İLE bir noktada kesişmek Ö. Hangi bakımdan noktadan itibaren sayılıyor B, çizgi segmenti CZ bir segmenti böler İLE?

Çözüm. Haydi belirtelim
,
,
(Şekil 19). Çünkü
, daha sonra Ceva teoreminin b) ifadesine göre segmentler AX, İLE Ve İLEZ bir noktada kesişiyor - bir nokta Ö. Daha sonra segment CZ bir segmenti böler İLE bir ilişkide
. Bu ilişkiyi bulalım. Pirinç. 19

Menelaus'un üçgen teoremine göre M.Ö. ve sekant ÖKÜZ sahibiz:
, bundan şu sonuç çıkıyor
.

Cevap. .

Görev 14 (Birleşik Devlet Sınavı 2016).

Puanlar İÇİNDE 1 ve İLE AC Ve ABüçgen ABC, Ve AB 1:B 1 İLE =
= AC 1:İLE 1 B. Doğrudan BB 1 Ve SS 1 bir noktada kesişmek HAKKINDA.

A ) Doğrunun olduğunu kanıtlayın JSC tarafı ikiye böler Güneş.

AB 1 OC 1 üzeri üçgenin alanı ABC eğer biliniyorsa AB 1:B 1 İLE = 1:4.

Çözüm. a) Düz bir çizgi olsun A.O. tarafı geçer M.Ö. noktada A 1 (Şek. 20). Ceva teoremine göre:

. (9)

Çünkü AB 1:B 1 İLE = AC 1:İLE 1 B, o zaman eşitlikten (9) şu sonuç çıkar:
, yani CA. 1 = A 1 B Kanıtlanması gereken şey buydu. Pirinç. 20

b) Üçgenin alanı olsun AB 1 Ö eşittir S. Çünkü AB 1:B 1 İLE C.B. 1 Ö 4'e eşittir S ve üçgenin alanı AOC 5'e eşittir S. O zaman üçgenin alanı AOB aynı zamanda 5'e eşittir Süçgenlerden beri AOB Ve AOC ortak bir zemine sahip olmak A.O. ve köşeleri B Ve Cçizgiye eşit uzaklıkta A.O.. Ayrıca üçgenin alanı AOC 1 eşittir S, Çünkü AC 1:İLE 1 B = 1:4. O zaman üçgenin alanı ABB 1 eşittir 6 S. Çünkü AB 1:B 1 İLE= 1:4, ardından üçgenin alanı C.B. 1 Ö 24'e eşit S ve üçgenin alanı ABC 30'a eşit S. Şimdi dörtgenin alanının oranını bulalım AB 1 OC 1 (2S) üçgenin alanına ABC (30S), 1:15'e eşittir.

Cevap. 1:15.

Görev 15 (Birleşik Devlet Sınavı 2016).

Puanlar İÇİNDE 1 ve İLE 1'i sırasıyla yanlarda yatıyor AC Ve ABüçgen ABC, Ve AB 1:B 1 İLE =
= AC 1:İLE 1 B. Doğrudan BB 1 Ve SS 1 bir noktada kesişmek HAKKINDA.

a) Doğrunun doğru olduğunu kanıtlayın JSC tarafı ikiye böler Güneş.

b) Dörtgenin alanının oranını bulun AB 1 OC 1 üzeri üçgenin alanı ABC eğer biliniyorsa AB 1:B 1 İLE = 1:3.

Cevap. 1:10.

Z ödev 16 (KULLANIM-2016). Segmentte BD alınan nokta İLE. Açıortay B.L. ABC baz ile Güneş BLD baz ile BD.

a) Üçgenin olduğunu kanıtlayın DCL ikizkenar.

b) biliniyor çünkü
ABC DL, yani BD üçgeni alınan nokta İLE. Açıortay B.L. ikizkenar üçgen ABC baz ile Güneş ikizkenar üçgenin yan tarafıdır BLD baz ile BD.

a) Üçgenin olduğunu kanıtlayın DCL ikizkenar.

b) biliniyor çünkü ABC= . Düz çizgi hangi bakımdan D.L. tarafı böler AB?

Cevap. 4:21.

Edebiyat

1. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Üçgenin harika noktaları ve çizgileri. M.: Matematik, 2006, Sayı 17.

2. Myakishev A.G. Üçgen geometri elemanları. (“Kütüphane “Matematik Eğitimi” Serisi”). M.: MTsNMO, 2002. - 32 s.

3. Geometri. 8. sınıf ders kitabı için ek bölümler: Derinlemesine çalışma ile okul ve sınıf öğrencileri için bir ders kitabı / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri - M.: Vita-Press, 2005. - 208 s.

4. Erdniev P., Mantsaev N. Cheva ve Menelaus Teoremleri. M.: Kvant, 1990, No. 3, s. 56–59.

5. Sharygin I.F. Cheva ve Menelaus Teoremleri. M.: Kvant, 1976, Sayı. 11, s. 22–30.

6. Vavilov V.V. Bir üçgenin medyanları ve orta çizgileri. M.: Matematik, 2006, Sayı 1.

7. Efremov Dm. Yeni üçgen geometrisi. Odessa, 1902. - 334 s.

8. Matematik. Tipik test görevlerinin 50 çeşidi / I.V. Yashchenko, M.A. Volkevich, I.R. Vysotsky ve diğerleri; tarafından düzenlendi IV. Yaşçenko. - M .: "Sınav" yayınevi, 2016. - 247 s.