Kontinuirana slučajna varijabla X ima jednoliku distribuciju na segmentu [a, b] ako je gustina raspodjele konstantna na ovom segmentu i jednaka 0 izvan njega.

Ujednačena kriva distribucije prikazana je na sl. 3.13.

Rice. 3.13.

vrijednosti/ (X) na krajnostima ali I b parcela (a, b) nisu naznačene, jer je vjerovatnoća da se postigne bilo koja od ovih tačaka za kontinuiranu slučajnu varijablu X jednako 0.

Matematičko očekivanje slučajne varijable x, koji ima jednoliku distribuciju na presjeku [a, d], / « = (a + b)/2. Disperzija se izračunava po formuli D =(b- a) 2/12, dakle st = (b - a) / 3.464.

Modeliranje slučajnih varijabli. Za modeliranje slučajne varijable potrebno je poznavati njen zakon raspodjele. Najčešći način za dobijanje niza slučajnih brojeva raspoređenih prema proizvoljnom zakonu je metoda zasnovana na njihovom formiranju iz originalnog niza slučajnih brojeva raspoređenih u intervalu (0; 1) prema uniformnom zakonu.

ravnomerno raspoređeni u intervalu (0; 1) nizovi slučajnih brojeva mogu se dobiti na tri načina:

• prema posebno pripremljenim tabelama slučajnih brojeva;
• korištenje fizičkih generatora slučajnih brojeva (na primjer, bacanje novčića);
• algoritamska metoda.

Za takve brojeve, vrijednost matematičkog očekivanja trebala bi biti jednaka 0,5, a varijansa bi trebala biti 1/12. Ako je potrebno, slučajni broj X bio u intervalu ( ali; b) različito od (0; 1), morate koristiti formulu X \u003d a + (b - a) g, gdje G- slučajni broj iz intervala (0; 1).

Zbog činjenice da su skoro svi modeli implementirani na računaru, skoro uvek se za dobijanje slučajnih brojeva koristi algoritamski generator (RNG) ugrađen u računar, iako nije problem koristiti tabele koje su prethodno konvertovane u elektronski oblik. . Treba imati na umu da algoritamskom metodom uvijek dobijamo pseudoslučajne brojeve, budući da svaki naredni generisani broj zavisi od prethodnog.

U praksi je uvijek potrebno nabaviti slučajni brojevi distribuirani prema datom zakonu raspodjele. Za to se koriste različite metode. Ako je poznat analitički izraz za zakon raspodjele F, onda možete koristiti metoda inverzne funkcije.

Dovoljno je odigrati slučajni broj ravnomjerno raspoređen u intervalu od 0 do 1. Pošto je funkcija F također varira u ovom intervalu, zatim slučajni broj X može se odrediti uzimanjem inverzne funkcije iz grafa ili analitički: x=F"(d). Evo G- broj koji generiše RNG u rasponu od 0 do 1; x t je rezultujuća slučajna varijabla. Grafički, suština metode je prikazana na Sl. 3.14.

Rice. 3.14. Ilustracija metode inverzne funkcije za generiranje slučajnih događaja X, čije se vrijednosti kontinuirano distribuiraju. Na slici su prikazani grafovi gustine verovatnoće i integralne gustine verovatnoće iz X

Razmotrimo, kao primjer, zakon eksponencijalne raspodjele. Funkcija raspodjele ovog zakona ima oblik F(x) = 1 -exp(-bz). Jer G I F u ovoj metodi se pretpostavlja da su slični i locirani u istom intervalu, zatim se zamjenjuju F za slučajni broj r imamo G= 1 - exp(-bz). Izražavanje željene vrijednosti X iz ovog izraza (tj. invertiranjem funkcije exp()) dobijamo x = -/X? 1p(1 -G). Budući da u statističkom smislu (1 - d) i G - onda je ista stvar x \u003d -YX 1p(r).

Algoritmi za modeliranje nekih uobičajenih zakona distribucije kontinuiranih slučajnih varijabli dati su u tabeli. 3.10.

Na primjer, potrebno je simulirati vrijeme učitavanja koje je raspoređeno po normalnom zakonu. Poznato je da je prosječno trajanje učitavanja 35 minuta, a standardna devijacija realnog vremena od prosječne vrijednosti 10 minuta. Odnosno, prema uslovima zadatka t x = 35, sa x= 10. Tada će se vrijednost slučajne varijable izračunati po formuli R= ?g, gdje G. - nasumični brojevi iz RNG-a u rasponu, n = 12. Broj 12 je izabran kao dovoljno velik na osnovu središnje granične teoreme teorije vjerovatnoće (Ljapunovljeva teorema): „Za veliki broj N slučajne varijable X sa bilo kojim zakonom raspodjele, njihov zbir je slučajan broj sa normalnim zakonom raspodjele. Zatim nasumična vrijednost X\u003d o (7? - l / 2) + t x = 10(7? -3) + 35.

Tabela 3.10

Algoritmi za modeliranje slučajnih varijabli

Simulacija slučajnog događaja. Slučajni događaj podrazumijeva da neki događaj ima nekoliko ishoda i koji od ishoda će se ponoviti određuje samo njegova vjerovatnoća. Odnosno, ishod se bira nasumično, uzimajući u obzir njegovu vjerovatnoću. Na primjer, pretpostavimo da znamo vjerovatnoću proizvodnje neispravnih proizvoda R= 0,1. Možete simulirati pojavu ovog događaja tako što ćete igrati ravnomjerno raspoređeni slučajni broj iz raspona od 0 do 1 i utvrditi koji je od dva intervala (od 0 do 0,1 ili od 0,1 do 1) pao (slika 3.15). Ako je broj unutar raspona (0; 0,1), tada je kvar otpušten, odnosno dogodio se događaj, u suprotnom se događaj nije dogodio (ispušten je uvjetovani proizvod). Uz značajan broj eksperimenata, učestalost brojeva koji padaju u interval od 0 do 0,1 približit će se vjerovatnoći P= 0,1, a učestalost pogađanja brojeva u intervalu od 0,1 do 1 će se približiti P. = 0,9.

Rice. 3.15.

Događaji se zovu nekompatibilno, ako je vjerovatnoća istovremene pojave ovih događaja jednaka 0. Iz toga slijedi da je ukupna vjerovatnoća grupe nekompatibilnih događaja jednaka 1. Označiti sa a r ja, a n događaje, i kroz R ]9 R 2 , ..., R p- vjerovatnoća nastanka pojedinačnih događaja. Pošto su događaji nekompatibilni, zbir vjerovatnoća njihovog nastanka jednak je 1: P x + P 2 + ... +Pn= 1. Opet koristimo generator slučajnih brojeva da simuliramo pojavu jednog od događaja, čija je vrijednost također uvijek u rasponu od 0 do 1. Odvojimo segmente na jediničnom intervalu P r P v ..., R p. Jasno je da će zbir segmenata biti tačno jedinični interval. Tačka koja odgovara ispuštenom broju iz generatora slučajnih brojeva na ovom intervalu će pokazivati ​​na jedan od segmenata. Shodno tome, slučajni brojevi će češće padati u velike segmente (vjerovatnoća pojave ovih događaja je veća!), u manje segmente - rjeđe (slika 3.16).

Ako je potrebno, simulacija zajedničkih događaja moraju se učiniti nekompatibilnim. Na primjer, da se simulira pojava događaja za koje su date vjerovatnoće R(a() = 0,7; P(a 2)= 0,5 i P(a ]9 a 2)= 0,4, definišemo sve moguće nespojive ishode nastanka događaja a d a 2 i njihovo istovremeno pojavljivanje:

• 1. Istovremena pojava dva događaja P(b () = P(a L , a 2) = 0,4.
• 2. Pojava događaja a ] P (b 2) \u003d P (a y) - P (a ( , a 2) = 0,7 - 0,4 = 0,3.
• 3. Pojava događaja a 2 P(b 3) = P (a 2) - P (a g a 2) \u003d 0,5 - 0,4 = 0,1.
• 4. Nepojavljivanje bilo kojeg događaja P(b 4) = 1 - (P(b) + P(b 2) + + P(b 3)) =0,2.

Sada su vjerovatnoće nastanka nespojivih događaja b moraju biti predstavljeni na numeričkoj osi kao segmenti. Primajući brojeve uz pomoć RNG-a, utvrđujemo njihovu pripadnost određenom intervalu i dobijamo implementaciju zajedničkih događaja ali.

Rice. 3.16.

Često se susreće u praksi sisteme slučajnih varijabli, tj. takve dvije (ili više) različite slučajne varijable X, At(i druge) koje zavise jedna od druge. Na primjer, ako se dogodi neki događaj X i uzeo neku nasumičnu vrijednost, zatim događaj At dešava se, doduše slučajno, ali uzimajući u obzir činjenicu da X već je poprimilo određenu vrijednost.

Na primjer, ako kao X veliki broj je ispao, tada kao At treba ispasti i dovoljno veliki broj (ako je korelacija pozitivna, i obrnuto ako je negativna). U transportu su takve zavisnosti prilično česte. Veća kašnjenja su vjerovatnija na dužim rutama itd.

Ako su slučajne varijable zavisne, onda

f(x)=f(x l)f(x 2 x l)f(x 3 x 2 ,x l)- ... -/(xjx, r X„ , ...,x 2 ,x t), gdje x. | x._ v x (- slučajne zavisne varijable: napuštanje X. pod uslovom da su pali x._ (9 x._ ( ,...,*,) - uslovna gustina

vjerovatnoća pojave x.> ako odustane x._ (9 ..., x ( ; f(x) - vjerovatnoća ispadanja iz vektora x slučajnih zavisnih varijabli.

Koeficijent korelacije q pokazuje koliko su događaji blisko povezani Hee W. Ako je koeficijent korelacije jednak jedan, onda je zavisnost događaja hee woo jedan na jedan: jedna vrijednost X odgovara jednoj vrijednosti At(Sl. 3.17, ali) . At q blizu jedinice, slika prikazana na sl. 3.17, b, odnosno jedna vrijednost X može već odgovarati nekoliko vrijednosti Y (tačnije, jedna od nekoliko vrijednosti Y, određena nasumično); tj. u ovom slučaju X I Y manje korelirani, manje zavisni jedno od drugog.

Rice. 3.17. Vrsta zavisnosti dvije slučajne varijable sa pozitivnim koeficijentom korelacije: a- at q = 1; b - na 0 q at q, blizu O

I, konačno, kada koeficijent korelacije teži nuli, nastaje situacija u kojoj bilo koja vrijednost X može odgovarati bilo kojoj vrijednosti Y, tj. događajima X I Y ne zavise ili gotovo ne zavise jedno od drugog, ne koreliraju jedno s drugim (slika 3.17, in).

Na primjer, uzmimo normalnu distribuciju, kao najčešću. Matematičko očekivanje ukazuje na najvjerovatnije događaje, ovdje je broj događaja veći, a raspored događaja gušći. Pozitivna korelacija ukazuje na velike slučajne varijable X uzrok stvaranja velikih Y. Korelacija nula i blizu nule pokazuje da je vrijednost slučajne varijable X nema nikakve veze sa određenom vrijednošću slučajne varijable Y. Lako je razumjeti ono što je rečeno ako prvo zamislimo distribucije f(X) i / (Y) odvojeno, a zatim ih povežite u sistem, kao što je prikazano na sl. 3.18.

U ovom primjeru Hee Y su raspoređeni prema normalnom zakonu sa odgovarajućim vrijednostima t x, a i to, ali,. Dat je koeficijent korelacije dva slučajna događaja q, tj. slučajne varijable X i Y zavise jedno od drugog, Y nije sasvim slučajno.

Tada će mogući algoritam za implementaciju modela biti sljedeći:

1. Reproducira se šest slučajnih brojeva ravnomjerno raspoređenih u intervalu: b p b:, b i, b 4 , b 5, b 6 ; pronađite njihov zbir S:

S = b. Normalno raspoređeni slučajni broj l se nalazi: prema sljedećoj formuli: x = a (5 - 6) + t x.

• 2. Prema formuli m!x = to + qoJo x (x -m x) je matematičko očekivanje t y1x(znak u/x znači da će y uzeti nasumične vrijednosti, s obzirom na uvjet da je * već uzeo neke određene vrijednosti).
• 3. Prema formuli = a d/l -C 2 pronađite standardnu ​​devijaciju a..

4. Igra se 12 slučajnih brojeva r ravnomjerno raspoređenih na intervalu; pronađite njihov zbir k:k= Zr. Pronađite normalno raspoređen slučajni broj at prema sljedećoj formuli: y = °Jk-6) + mr/x .

Rice. 3.18.

Modeliranje toka događaja. Kada ima mnogo događaja i oni slijede jedan za drugim, formiraju se protok. Imajte na umu da događaji u ovom slučaju moraju biti homogeni, tj. na neki način slični jedan drugom. Na primjer, pojava vozača na benzinskim pumpama koji žele napuniti svoj automobil gorivom. To jest, homogeni događaji formiraju niz. Pretpostavlja se da je statistička karakteristika ovoga 146

fenomena (intenzitet toka događaja). Intenzitet toka događaja pokazuje koliko se takvih događaja u prosjeku dešava u jedinici vremena. Ali kada će se tačno desiti svaki određeni događaj, potrebno je odrediti metodama modeliranja. Važno je da kada generišemo, na primjer, 1000 događaja u 200 sati, njihov broj će biti približno jednak prosječnom intenzitetu pojave događaja 1000/200 = 5 događaja po satu. Ovo je statistička vrijednost koja karakteriše ovaj tok u cjelini.

Intenzitet toka je u određenom smislu matematičko očekivanje broja događaja u jedinici vremena. Ali u stvarnosti se može ispostaviti da će se 4 događaja pojaviti u jednom satu, a 6 u drugom, iako se u prosjeku dobije 5 događaja po satu, tako da jedna vrijednost nije dovoljna za karakterizaciju toka. Druga veličina koja karakteriše koliko je veliko širenje događaja u odnosu na matematičko očekivanje, kao i ranije, disperzija. Upravo ta vrijednost određuje slučajnost nastanka događaja, slabu predvidljivost trenutka njegovog nastanka.

Slučajni tokovi su:

• običan - vjerovatnoća istovremene pojave dva ili više događaja je nula;
• stacionarni - učestalost pojavljivanja događaja X konstanta;
• bez naknadnog efekta - vjerovatnoća nastanka slučajnog događaja ne zavisi od trenutka prethodnih događaja.

Prilikom modeliranja QS-a, u velikoj većini slučajeva, uzima se u obzir Poissonov (najjednostavniji) tok - običan tok bez naknadnih efekata, u kojoj je vjerovatnoća dolaska u vremenskom intervalu t glatko T zahtjevi su dati Poissonovom formulom:

Poissonov tok može biti stacionaran ako je A.(/) = const(/), ili nestacionaran u suprotnom.

U Poissonovom toku, vjerovatnoća da se nijedan događaj neće dogoditi je

Na sl. 3.19 prikazuje zavisnost R od vremena. Očigledno, što je duže vrijeme posmatranja, manja je vjerovatnoća da se neće dogoditi nikakav događaj. Štaviše, veća je vrijednost x,što graf ide strmiji, tj. brže opada vjerovatnoća. To odgovara činjenici da ako je intenzitet pojave događaja visok, onda vjerovatnoća da se događaj neće dogoditi brzo opada s vremenom posmatranja.

Rice. 3.19.

Vjerovatnoća da se dogodi barem jedan događaj P = 1 - shr(-Pakao), pošto P + P = . Očigledno, vjerovatnoća pojave barem jednog događaja teži jedinstvu s vremenom, odnosno uz odgovarajuće dugotrajno posmatranje, događaj će se nužno dogoditi prije ili kasnije. U smislu R je jednako r, dakle, izražavajući / iz formule definicije R, konačno, da bismo odredili intervale između dva slučajna događaja, imamo

gdje G- slučajni broj ravnomerno raspoređen od 0 do 1, koji se dobija korišćenjem RNG-a; t- interval između slučajnih događaja (slučajna varijabla).

Kao primjer, razmotrite protok automobila koji pristižu na terminal. Automobili dolaze nasumično - u prosjeku 8 dnevno (brzina protoka X= 8/24 vozila/h). Treba vidjeti 148

podijelite ovaj proces T\u003d 100 sati. Prosječni vremenski interval između automobila / \u003d 1 / L. = 24/8 = 3 sata

Na sl. 3.20 prikazuje rezultat simulacije - trenutke u vremenu kada su automobili došli do terminala. Kao što se vidi, samo u periodu T = 100 terminala obrađeno N=33 auto. Ako ponovo pokrenemo simulaciju, onda N može biti jednako, na primjer, 34, 35 ili 32. Ali u prosjeku za TO algoritam radi N biće jednako 33.333.

Rice. 3.20.

Ako se zna da tok nije običan tada je potrebno modelirati, pored trenutka nastanka događaja, i broj događaja koji bi se mogli pojaviti u tom trenutku. Na primjer, automobili dolaze na terminal u nasumično vrijeme (običan protok automobila). Ali u isto vrijeme, automobili mogu imati različitu (slučajnu) količinu tereta. U ovom slučaju se kaže da je protok tereta niz vanrednih događaja.

Hajde da razmotrimo problem. Potrebno je odrediti vrijeme mirovanja utovarne opreme na terminalu ako se kontejneri AUK-1.25 na terminal dopremaju kamionima. Protok automobila je u skladu sa Poissonovim zakonom, prosječni interval između automobila je 0,5 hD = 1/0,5 = 2 automobila/sat. Broj kontejnera u automobilu varira prema normalnom zakonu sa prosječnom vrijednošću T= 6 i a = 2. U ovom slučaju, minimum može biti 2, a maksimum - 10 kontejnera. Vrijeme istovara jednog kontejnera je 4 minute, a za tehnološke operacije potrebno je 6 minuta. Algoritam za rješavanje ovog problema, izgrađen na principu sekvencijalnog objavljivanja svake aplikacije, prikazan je na Sl. 3.21.

Nakon unosa početnih podataka, ciklus simulacije se pokreće dok se ne dostigne navedeno vrijeme simulacije. Koristeći RNG, dobijamo slučajni broj, a zatim određujemo vremenski interval prije dolaska automobila. Rezultirajući interval označavamo na vremenskoj osi i simuliramo broj kontejnera u karoseriji pristiglog automobila.

Provjeravamo rezultirajući broj za prihvatljiv interval. Zatim se izračunava vrijeme istovara i zbraja u brojaču ukupnog vremena rada opreme za utovar. Provjerava se uvjet: ako je interval dolaska automobila veći od vremena istovara, razlika između njih se sumira u brojaču vremena mirovanja opreme.

Rice. 3.21.

Tipičan primjer za CMO bi bila tačka utovara sa više stubova, kao što je prikazano na Sl. 3.22.

Rice. 3.22.

Radi jasnoće procesa modeliranja, konstruisaćemo vremenski dijagram QS operacije, odražavajući na svakom ravnalu (vremenska osa /) stanje posebnog elementa sistema (slika 3.23). Postoji onoliko vremenskih linija koliko različitih objekata u QS-u (tokovi). U našem primjeru ima ih 7: tok zahtjeva, tok čekanja na prvom mjestu u redu, tok čekanja na drugom mjestu u redu, tok usluge u prvom kanalu, tok usluge u drugom kanalu, tok zahtjeva koje opslužuje sistem, tok odbijenih zahtjeva. Da bismo demonstrirali proces uskraćivanja usluge, pretpostavimo da samo dva automobila mogu biti u redu za utovar. Ako ih ima više, onda se šalju na drugu točku utovara.

Simulirani slučajni momenti prijema zahtjeva za održavanje automobila prikazani su u prvom redu. Prvi zahtjev se preuzima i, pošto su kanali u ovom trenutku slobodni, postavlja se za servis na prvom kanalu. Aplikacija 1 prebačen na liniju prvog kanala. Vrijeme servisa na kanalu je također nasumično. Na dijagramu nalazimo trenutak završetka servisa, odgađajući generirano vrijeme servisa od trenutka kada je servis počeo.

niya, a izostavite prijavu za red "Served". Aplikacija je do kraja prošla CMO. Sada je po principu sekvencijalnog knjiženja naloga moguće simulirati i putanju drugog reda.

Rice. 3.23.

Ako se u nekom trenutku ispostavi da su oba kanala zauzeta, onda bi zahtjev trebalo staviti u red čekanja. Na sl. 3.23 je aplikacija 3. Imajte na umu da se, prema uslovima zadatka, u redu čekanja, za razliku od kanala, aplikacije ne nalaze nasumično, već čekaju dok se jedan od kanala ne oslobodi. Nakon puštanja kanala, zahtjev se premešta na liniju odgovarajućeg kanala i tamo se organizuje njegovo servisiranje.

Ako je težina mjesta u redu čekanja u trenutku kada stigne sljedeća prijava zauzeta, onda prijavu treba poslati u red „Odbijeno“. Na sl. 3.23 je aplikacija 6.

Procedura imitacije dostave prijava se nastavlja još neko vrijeme T. Što je ovo vrijeme duže, to će rezultati simulacije biti precizniji u budućnosti. U stvarnosti, za jednostavne sisteme birajte T, jednako 50-100 sati ili više, iako je ponekad bolje izmjeriti ovu vrijednost brojem razmatranih aplikacija.

QS ćemo analizirati koristeći već razmatrani primjer.

Prvo morate sačekati stabilno stanje. Prve četiri aplikacije odbacujemo kao nekarakteristične, koje se javljaju tokom procesa uspostavljanja rada sistema („vreme zagrevanja modela“). Mjerimo vrijeme posmatranja, recimo da je u našem primjeru T = 5 sati Broj servisiranih zahtjeva izračunavamo iz dijagrama N o6c , vrijeme mirovanja i druge vrijednosti. Kao rezultat toga, možemo izračunati indikatore koji karakteriziraju kvalitet rada QS:

• 1. Vjerovatnoća usluge P \u003d N, / N \u003d 5/7 = 0,714. Da biste izračunali vjerovatnoću servisiranja aplikacije u sistemu, dovoljno je podijeliti broj aplikacija koje su servisirane tokom vremena T(vidi red “Usluženo”), L/o6s po broju zahtjeva N, koji je stigao u isto vreme.
• 2. Propusnost sistema A \u003d NJT h \u003d 7/5 \u003d 1,4 auto / h. Za izračunavanje propusnosti sistema dovoljno je podijeliti broj servisiranih zahtjeva N o6c na neko vrijeme T, za koje je ova služba održana.
• 3. Vjerovatnoća neuspjeha P \u003d N / N \u003d 3/7 \u003d 0.43. Da bi se izračunala vjerovatnoća odbijanja usluge za zahtjev, dovoljno je podijeliti broj zahtjeva N koji su bili uskraćeni na vrijeme T(vidi red "Odbijeno"), za broj prijava N, koji je želeo da služi u isto vreme, tj. ušao u sistem. Imajte na umu da iznos R op + R p (k u teoriji bi trebao biti jednak 1. U stvari, eksperimentalno se pokazalo da R + R.= 0,714 + 0,43 = 1,144. Ova nepreciznost se objašnjava činjenicom da je tokom posmatranja T nije prikupljeno dovoljno statistike da bi se dobio tačan odgovor. Greška ovog indikatora sada iznosi 14%.
• 4. Vjerovatnoća da je jedan kanal zauzet P = T r JT H= 0,05/5 = 0,01, gdje je T- vrijeme zauzetosti samo jednog kanala (prvog ili drugog). Mjerenja su podložna vremenskim intervalima u kojima se događaju određeni događaji. Na primjer, na dijagramu se takvi segmenti traže kada je prvi ili drugi kanal zauzet. U ovom primjeru postoji jedan takav segment na kraju dijagrama u dužini od 0,05 sati.
• 5. Vjerovatnoća da su dva kanala zauzeta P = T / T = 4,95/5 = 0,99. Na dijagramu se traže takvi segmenti tokom kojih su istovremeno zauzeti i prvi i drugi kanal. U ovom primjeru postoje četiri takva segmenta, njihov zbir je 4,95 sati.
• 6. Prosječan broj zauzetih kanala: /V do - 0 P 0 + P X + 2 P, \u003d \u003d 0,01 +2? 0,99= 1,99. Da biste izračunali koliko je kanala u prosjeku zauzeto u sistemu, dovoljno je znati udio (vjerovatnoća zauzetosti jednog kanala) i pomnožiti sa težinom ovog udjela (jedan kanal), znati udio (vjerovatnoća zauzetosti dva kanala). kanala) i pomnožite sa težinom ovog udjela (dva kanala) itd. Dobijena cifra od 1,99 pokazuje da je od dva moguća kanala u prosjeku učitano 1,99 kanala. Ovo je visoka stopa iskorištenosti od 99,5%, sistem dobro koristi resurse.
• 7. Vjerovatnoća vremena mirovanja najmanje jednog kanala R*, = G je jednostavna, /G = = 0,05/5 = 0,01.
• 8. Vjerovatnoća zastoja dva kanala u isto vrijeme: P = = T JT = 0.

• 9. Vjerovatnoća zastoja cijelog sistema P * \u003d T / T \u003d 0.
• 10. Prosječan broj aplikacija u redu / V s = 0 P(h + 1 R i + 2R b= = 0,34 + 2 0,64 = 1,62 aut. Za određivanje prosječnog broja zahtjeva u redu potrebno je posebno odrediti vjerovatnoću da će u redu biti jedan zahtjev P, vjerovatnoću da će u redu biti dva zahtjeva P 23 i tako dalje, te dodati ponovo sa odgovarajućim težinama.
• 11. Vjerovatnoća da će jedna aplikacija biti u redu, P i = = TJTn= 1,7 / 5 \u003d 0,34 (na dijagramu postoje četiri takva segmenta, ukupno 1,7 sati).
• 12. Vjerovatnoća da će dvije aplikacije biti u redu u isto vrijeme, R b\u003d G 2z / G \u003d 3,2 / 5 \u003d 0,64 (na dijagramu postoje tri takva segmenta, ukupno 3,25 sati).
• 13. Prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu je Tro = 1,7/4 = = 0,425 sati Potrebno je sabrati sve vremenske intervale tokom kojih je neka aplikacija bila u redu i podijeliti sa brojem prijava. Na vremenskoj liniji postoje 4 takve aplikacije.
• 14. Prosječno vrijeme servisiranja aplikacije 7' srobsl = 8/5 = 1,6 sati. Saberite sve vremenske intervale tokom kojih je bilo koja aplikacija servisirana na bilo kojem kanalu i podijelite sa brojem aplikacija.
• 15. Prosječno vrijeme koje aplikacija provede u sistemu: T = T +

y y ved pjevana svadba. oh

Ako tačnost nije zadovoljavajuća, potrebno je povećati vrijeme eksperimenta i time poboljšati statistiku. Možete to učiniti drugačije ako pokrenete eksperiment 154 nekoliko puta

na neko vrijeme T i zatim usrednjavaju vrednosti ovih eksperimenata, a zatim ponovo proveravaju rezultate za kriterijum tačnosti. Ovaj postupak treba ponavljati dok se ne postigne željena preciznost.

Analiza rezultata simulacije

Tabela 3.11

Za donošenje odluke o realizaciji konkretnih aktivnosti potrebno je izvršiti analizu osjetljivosti modela. Target analiza osjetljivosti modela je utvrđivanje mogućih odstupanja izlaznih karakteristika zbog promjena ulaznih parametara.

Metode za procjenu osjetljivosti simulacionog modela slične su metodama za određivanje osjetljivosti bilo kojeg sistema. Ako je izlazna karakteristika modela R zavisi od parametara povezanih sa varijablama R =/(p g p 2 , p), zatim ove promjene

parametri D r.(/ = 1, ..G) izazvati promjenu AR.

U ovom slučaju, analiza osjetljivosti modela se svodi na proučavanje funkcije osjetljivosti DR/drugi

Kao primjer analize osjetljivosti simulacijskog modela, razmotrimo utjecaj promjene varijabilnih parametara pouzdanosti vozila na operativnu efikasnost. Kao ciljnu funkciju koristimo indikator smanjenih troškova Z ir. Za analizu osjetljivosti koristimo podatke o radu drumskog voza KamAZ-5410 u urbanim uvjetima. Granice promjene parametara R. da bi se odredila osjetljivost modela, dovoljno je odrediti je ekspertnim putem (tabela 3.12).

Za izvođenje proračuna prema modelu odabrana je bazna tačka u kojoj varijabilni parametri imaju vrijednosti koje odgovaraju standardima. Parametar zastoja tokom održavanja i popravke u danima zamijenjen je specifičnim indikatorom - zastoj u danima na hiljadu kilometara N.

Rezultati proračuna su prikazani na sl. 3.24. Osnovna tačka je na preseku svih krivih. Prikazano na sl. 3.24 zavisnosti omogućavaju vam da ustanovite stepen uticaja svakog od parametara koji se razmatra na veličinu promene Z pr. U isto vreme, korišćenje prirodnih vrednosti analiziranih veličina ne dozvoljava vam da utvrdite uporedni stepen uticaja svakog parametra na 3, pošto ovi parametri imaju različite merne jedinice. Da bismo ovo prevazišli, biramo oblik interpretacije rezultata proračuna u relativnim jedinicama. Da biste to učinili, bazna točka mora biti pomaknuta u ishodište koordinata, a vrijednosti varijabilnih parametara i relativna promjena izlaznih karakteristika modela treba biti izražena u postocima. Rezultati izvršenih transformacija prikazani su na sl. 3.25.

Tabela 3.12

Vrijednosti varijabilni parametri

Rice. 3.24.

Rice. 3.25. Utjecaj relativne promjene varijabilnih parametara na stepen promjene

Promjena varijabilnih parametara u odnosu na osnovnu vrijednost prikazana je na jednoj osi. Kao što se može vidjeti sa sl. 3.25, povećanje vrijednosti svakog parametra u blizini bazne tačke za 50% dovodi do povećanja Z pr za 9% rasta Ts a, više od 1,5% C p, manje od 0,5% od H i smanjiti 3 za skoro 4% povećanja L. Smanjenje za 25 % b kr i D rg dovodi do povećanja Z pr, respektivno, za više od 6%. Smanjenje za isti iznos parametara H t0 , C tr i C a dovodi do smanjenja C pr za 0,2, 0,8 i 4,5%, respektivno.

Date zavisnosti daju predstavu o uticaju jednog parametra i mogu se koristiti prilikom planiranja rada transportnog sistema. Prema intenzitetu uticaja na Z pr, razmatrani parametri se mogu poredati u sledećem redosledu: D, II, L, C 9 N .

'a 7 k.r 7 t.r 7 t.o

Tokom rada, promjena vrijednosti jednog indikatora povlači za sobom promjenu vrijednosti drugih indikatora, a relativna promjena svakog od varijabilnih parametara za istu vrijednost u općem slučaju ima nejednaku fizičku osnovu. Relativnu promjenu vrijednosti varijabilnih parametara u procentima duž apscise potrebno je zamijeniti parametrom koji može poslužiti kao jedinstvena mjera za procjenu stepena promjene svakog parametra. Može se pretpostaviti da u svakom trenutku rada vozila vrijednost svakog parametra ima istu ekonomsku težinu u odnosu na vrijednosti ostalih varijabilnih parametara, odnosno, sa ekonomskog stanovišta, pouzdanost vozila pri svaki trenutak vremena ima ravnotežni učinak na sve parametre koji su s njim povezani. Tada će traženi ekonomski ekvivalent biti vrijeme ili, što je povoljnije, godina rada.

Na sl. 3.26 prikazuje zavisnosti izgrađene u skladu sa gornjim zahtjevima. Vrijednost u prvoj godini rada vozila uzima se kao bazna vrijednost Z pr. Vrijednosti varijabilnih parametara za svaku godinu rada određene su na osnovu rezultata opservacija.

Rice. 3.26.

U procesu rada, povećanje W pr tokom prve tri godine prvenstveno je posljedica povećanja vrijednosti H jo , a zatim, pod razmatranim uslovima rada, glavnu ulogu u smanjenju efikasnosti upotrebe TS igra povećanje C tr Identificirati utjecaj vrijednosti L Kp , u proračunima je njegova vrijednost izjednačena sa ukupnom kilometražom vozila od početka rada. Tip funkcije 3 =f(L) pokazuje da intenzitet pada u 3 sa povećanjem

itd J v k.r" 7 np J

1 do p značajno opada.

Kao rezultat analize osjetljivosti modela, moguće je razumjeti na koje faktore treba utjecati da bi se promijenila ciljna funkcija. Za promjenu faktora potrebno je primijeniti kontrolne napore, što je povezano sa odgovarajućim troškovima. Količina troškova ne može biti beskonačna, kao i svaki resurs, ti troškovi su u stvarnosti ograničeni. Stoga je neophodno razumjeti u kojoj mjeri će alokacija sredstava biti efektivna. Ako se u većini slučajeva troškovi linearno povećavaju sa povećanjem kontrolnog dejstva, onda efikasnost sistema raste brzo samo do određene granice, kada ni značajni troškovi više ne daju isti povrat. Na primjer, nemoguće je neograničeno povećavati kapacitet servisnih uređaja zbog ograničenja prostora ili potencijalnog broja opsluženih automobila itd.

Ako uporedimo povećanje troškova i indikator efikasnosti sistema u istim jedinicama, onda će, po pravilu, izgledati grafički kao što je prikazano na Sl. 3.27.

Rice. 3.27.

Od sl. 3.27 može se vidjeti da prilikom dodjele cijene C, po jedinici troška Z i cijene C, po jedinici indikatora R ove krive se mogu dodati. Krivulje se zbrajaju ako ih treba minimizirati ili maksimizirati istovremeno. Ako jednu krivu treba maksimizirati, a drugu minimizirati, tada njihovu razliku treba pronaći, na primjer, po točkama. Tada će rezultujuća kriva (slika 3.28), koja uzima u obzir i efekat upravljanja i troškove toga, imati ekstrem. Vrijednost parametra /?, koji daje ekstremum funkcije, je rješenje problema sinteze.

Rice. 3.28.

do by.

Beyond Management R i indikator R sistemi su poremećeni. Smetnje D= (d v d r...) je ulazna radnja, koja, za razliku od kontrolnog parametra, ne zavisi od volje vlasnika sistema (slika 3.29). Na primjer, niske temperature napolju, konkurencija, nažalost, smanjuju protok kupaca; kvarovi hardvera smanjuju performanse sistema. Vlasnik sistema ne može direktno upravljati ovim vrijednostima. Obično, ogorčenost djeluje "u inat" vlasniku, smanjujući učinak R od napora menadžmenta R. To je zato što je, u opštem slučaju, sistem stvoren za postizanje ciljeva koji su sami po sebi nedostižni u prirodi. Čovjek, organizirajući sistem, uvijek se nada da će kroz njega postići neki cilj. R. To je ono što on ulaže u svoje napore. R. U tom kontekstu možemo reći da je sistem organizacija prirodnih komponenti dostupnih čovjeku, koje on proučava, kako bi postigao neki novi cilj, ranije nedostižan na druge načine.

Rice. 3.29.

Ako uklonimo zavisnost indikatora R od menadžmenta R još jednom, ali pod uslovima perturbacije D, tada će se, možda, priroda krive promeniti. Najvjerovatnije će indikator biti niži za iste kontrolne vrijednosti, jer je perturbacija negativna, smanjujući performanse sistema. Sistem prepušten sam sebi, bez napora menadžerske prirode, prestaje da pruža cilj zbog kojeg je stvoren. Ako, kao i ranije, izgradimo zavisnost troškova, koreliramo je sa zavisnošću indikatora od kontrolnog parametra, tada će se pronađena tačka ekstrema pomeriti (slika 3.30) u poređenju sa slučajem „perturbacije = 0“ (vidi Sl. 3.28). Ako se perturbacija ponovo poveća, krive će se promijeniti i, kao rezultat, položaj tačke ekstrema će se ponovo promijeniti.

Grafikon na sl. 3.30 odnosi se na indikator P, menadžment (resurs) R i zgražanje D u složenim sistemima, ukazujući kako najbolje postupiti menadžeru (organizaciji) koji donosi odluku u sistemu. Ako je kontrolno djelovanje manje od optimalnog, onda će se ukupni učinak smanjiti i nastati će situacija izgubljene dobiti. Ako je kontrolna akcija veća od optimalne, onda će se i učinak smanjiti, budući da se plaća za red čekanja

Svako povećanje napora kontrole moraće biti veće od onoga što dobijete kao rezultat korišćenja sistema.

Rice. 3.30.

Simulacioni model sistema za stvarnu upotrebu mora biti implementiran na računaru. Ovo se može napraviti pomoću sljedećih alata:

• univerzalni korisnički program vrsta matematičkog (MATLAB) ili procesora proračunskih tablica (Excel) ili DBMS (Access, FoxPro), koji vam omogućava da kreirate samo relativno jednostavan model i zahtijeva barem početne vještine programiranja;
• univerzalni programski jezik(C++, Java, Basic, itd.), koji vam omogućava da kreirate model bilo koje složenosti; ali ovo je vrlo dugotrajan proces koji zahtijeva pisanje velike količine programskog koda i dugotrajno otklanjanje grešaka;
• specijalizovani jezik za simulaciju, koji ima gotove šablone i alate za vizualno programiranje dizajnirane da brzo kreiraju osnovu modela. Jedan od najpoznatijih je UML (Unified Modeling Language);
• simulacijski programi, koji su najpopularnije sredstvo za kreiranje simulacionih modela. Omogućuju vam da vizualno kreirate model, samo u najtežim slučajevima, pribjegavajući ručnom pisanju programskog koda za procedure i funkcije.

Simulacijski programi su podijeljeni u dvije vrste:

• Raznovrsni simulacijski paketi dizajnirani su za kreiranje različitih modela i sadrže skup funkcija koje se mogu koristiti za simulaciju tipičnih procesa u sistemima različitih namjena. Popularni paketi ovog tipa su Arena (programer Rockwell Automation 1", SAD), Extendsim (programer Imagine That Ink., SAD), AnyLogic (programer XJ Technologies, Rusija) i mnogi drugi. Gotovo svi univerzalni paketi imaju specijalizovane verzije za modeliranje objekata specifičnih klasa.
• Simulacijski paketi specifični za domenu služe za modeliranje određenih tipova objekata i za to imaju specijalizirane alate u obliku šablona, ​​čarobnjaka za vizualno dizajniranje modela iz gotovih modula itd.

• Naravno, dva slučajna broja ne mogu jednoznačno zavisiti jedan od drugog, sl. 3.17, a dato je radi jasnoće koncepta korelacije. 144
• Tehnička i ekonomska analiza u proučavanju pouzdanosti KamAZ-5410 / Yu. G. Kotikov, I. M. Blyankinshtein, A. E. Gorev, A. N. Borisenko; LISI. L.:, 1983. 12 str.-Dep. u TsBNTI Minavtotrans RSFSR, br. 135at-D83.
• http://www.rockwellautomation.com.
• http://www.cxtcndsiin.com.
• http://www.xjtek.com.

Ravnomjerna distribucija. Slučajna vrijednost X ima značenje koordinate tačke odabrane nasumično na segmentu

[a, b. Ujednačena gustina distribucije slučajne varijable X(Sl. 10.5, ali) može se definirati kao:

Rice. 10.5. Uniformna distribucija slučajne varijable: ali- gustina distribucije; b- funkcija distribucije

Funkcija distribucije slučajne varijable X izgleda kao:

Grafikon funkcije uniformne distribucije prikazan je na sl. 10.5, b.

Laplaceova transformacija uniformne distribucije izračunava se po (10.3):

Matematičko očekivanje i varijansa se lako izračunavaju direktno iz odgovarajućih definicija:

Slične formule za matematičko očekivanje i varijansu mogu se dobiti i korištenjem Laplaceove transformacije prema formulama (10.8), (10.9).

Razmotrimo primjer uslužnog sistema koji se može opisati uniformnom distribucijom.

Saobraćaj na raskrsnici reguliše se automatskim semaforom, na kojem je zeleno svetlo upaljeno 1 minut, a crveno 0,5 minuta. Vozači prilaze raskrsnici u nasumično vrijeme sa ravnomjernom distribucijom koja nije vezana za rad semafora. Pronađite vjerovatnoću da će automobil proći raskrsnicu bez zaustavljanja.

Trenutak prolaska automobila kroz raskrsnicu ravnomjerno je raspoređen u intervalu 1 + 0,5 = 1,5 min. Automobil će proći kroz raskrsnicu bez zaustavljanja ako je trenutak prelaska raskrsnice unutar vremenskog intervala. Za ravnomerno raspoređenu slučajnu promenljivu u intervalu, verovatnoća pada u interval je 1/1,5=2/3. Vrijeme čekanja Mr je mješovita slučajna varijabla. Sa vjerovatnoćom od 2/3 jednak je nuli, a sa vjerovatnoćom od 0,5/1,5 poprima bilo koju vrijednost između 0 i 0,5 min. Dakle, prosječno vrijeme čekanja i varijansa čekanja na raskrsnici

Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija. Za eksponencijalnu distribuciju, gustina distribucije slučajne varijable može se napisati kao:

gdje se A naziva parametar distribucije.

Grafikon gustine vjerovatnoće eksponencijalne distribucije dat je na sl. 10.6, ali.

Funkcija distribucije slučajne varijable sa eksponencijalnom distribucijom ima oblik

Rice. 10.6. Eksponencijalna distribucija slučajne varijable: ali- gustina distribucije; b - funkcija distribucije

Grafikon funkcije eksponencijalne distribucije prikazan je na sl. 10.6, 6.

Laplaceova transformacija eksponencijalne distribucije izračunava se po (10.3):

Pokažimo to za slučajnu varijablu x, imajući eksponencijalnu distribuciju, matematičko očekivanje je jednako standardnoj devijaciji a i obrnuto parametru A,:

Dakle, za eksponencijalnu raspodelu imamo: Takođe se može pokazati da

one. eksponencijalna raspodjela je u potpunosti okarakterizirana srednjom vrijednosti ili parametrom X .

Eksponencijalna distribucija ima niz korisnih svojstava koja se koriste u modeliranju uslužnih sistema. Na primjer, nema memoriju. Kada , onda

Drugim riječima, ako slučajna varijabla odgovara vremenu, tada distribucija preostalog trajanja ne zavisi od vremena koje je već prošlo. Ovo svojstvo je ilustrovano na Sl. 10.7.

Rice. 10.7.

Razmotrimo primjer sistema čiji se radni parametri mogu opisati eksponencijalnom distribucijom.

Tokom rada određenog uređaja, kvarovi se javljaju u nasumično vrijeme. Vrijeme rada uređaja T od njegovog aktiviranja do pojave kvara raspoređuje se prema eksponencijalnom zakonu sa parametrom x. Ako se otkrije kvar, uređaj odmah ide u popravku, koja traje vrijeme / 0 . Nađimo gustinu i funkciju distribucije vremenskog intervala G između dva susjedna rasjeda, matematičko očekivanje i varijansu, te vjerovatnoću da će vrijeme T x biće ih još 2t0 .

Od tada

Normalna distribucija. Normalna je distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustinom

Iz (10.48) proizilazi da je normalna distribucija određena sa dva parametra - matematičkim očekivanjem T i disperzija a 2 . Grafikon gustine vjerovatnoće slučajne varijable sa normalnom distribucijom za t= 0, a 2 =1 je prikazano na sl. 10.8, ali.

Rice. 10.8. Normalni zakon distribucije slučajne varijable at T= 0, st 2 = 1: ali- gustina vjerovatnoće; 6 - funkcija distribucije

Funkcija distribucije je opisana formulom

Grafikon funkcije raspodjele vjerovatnoće normalno raspoređene slučajne varijable at T= 0, a 2 = 1 je prikazano na sl. 10.8, b.

Hajde da odredimo verovatnoću da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a, p):

gdje je Laplaceova funkcija i vjerovatnoća da

da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja 6:

Konkretno, kada t = 0 jednakost je tačna:

Kao što vidite, slučajna varijabla s normalnom distribucijom može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Stoga je za izračunavanje momenata potrebno koristiti dvostranu Laplaceovu transformaciju

Međutim, ovaj integral ne postoji nužno. Ako postoji, umjesto (10.50) obično se koristi izraz

koji se zove karakteristična funkcija ili generirajuća funkcija momenata.

Izračunajmo po formuli (10.51) generirajuću funkciju momenata normalne distribucije:

Nakon pretvaranja brojioca podeksponencijalnog izraza u oblik, dobijamo

Integral

budući da je to integral normalne gustine vjerovatnoće sa parametrima t + pa 2 i 2. shodno tome,

Diferencirajući (10.52), dobijamo

Iz ovih izraza možete pronaći trenutke:

Normalna distribucija se široko koristi u praksi, jer, prema središnjoj graničnoj teoremi, ako je slučajna varijabla zbir vrlo velikog broja međusobno nezavisnih slučajnih varijabli, od kojih je utjecaj svake od njih zanemarljiv na cijeli zbir, tada ima distribuciju blisku normalnoj.

Razmotrimo primjer sistema čiji se parametri mogu opisati normalnom distribucijom.

Kompanija proizvodi deo zadate veličine. Kvalitet dijela se ocjenjuje mjerenjem njegove veličine. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom ali - Yumkm. Nađimo vjerovatnoću da greška mjerenja neće preći 15 µm.

Po (10.49) nalazimo

Radi lakšeg korišćenja razmatranih distribucija, dobijene formule sumiramo u tabeli. 10.1 i 10.2.

Tabela 10.1. Glavne karakteristike kontinuiranih distribucija

Tabela 10.2. Generirajuće funkcije kontinuiranih distribucija

TEST PITANJA

• 1. Koje distribucije vjerovatnoće se smatraju kontinuiranim?
• 2. Šta je Laplace-Stieltjesova transformacija? Za šta se koristi?
• 3. Kako izračunati momente slučajnih varijabli koristeći Laplace-Stieltjes transformaciju?
• 4. Šta je Laplaceova transformacija zbira nezavisnih slučajnih varijabli?
• 5. Kako izračunati prosječno vrijeme i varijansu vremena prijelaza sistema iz jednog stanja u drugo koristeći grafove signala?
• 6. Navedite glavne karakteristike uniformne distribucije. Navedite primjere njegove upotrebe u uslužnim zadacima.
• 7. Navedite glavne karakteristike eksponencijalne raspodjele. Navedite primjere njegove upotrebe u uslužnim zadacima.
• 8. Navedite glavne karakteristike normalne distribucije. Navedite primjere njegove upotrebe u uslužnim zadacima.

Primjeri zakona distribucije za kontinuirane slučajne varijable.

Kontinuirana slučajna varijabla X ima zakon o jedinstvenoj distribuciji na segmentu ako je njegova gustina vjerovatnoće konstantna na ovom segmentu i jednaka nuli izvan njega.

Gustoća raspodjele vjerovatnoće jednoliko raspoređene slučajne varijable ima oblik:

Rice. jedan. Grafikon gustine uniformne distribucije

Funkcija distribucije jednoliko raspoređene slučajne varijable ima oblik:

Jednoobraznim zakonom raspodjele se radi kada se prema uvjetima testa ili eksperimenta proučava slučajna varijabla X koja uzima vrijednosti u konačnom intervalu i sve vrijednosti iz tog intervala su jednako moguće, tj. nijedna od vrijednosti nema prednost nad ostalima.

Na primjer:

Vrijeme čekanja na autobuskoj stanici - slučajna varijabla X - je ravnomjerno raspoređena na segmentu, gdje je T- interval između autobusa;

Zaokruživanje brojeva, kada se zaokružuju na cijele brojeve, greška zaokruživanja je razlika između početne vrijednosti i zaokružene vrijednosti, a ova vrijednost je ravnomjerno raspoređena u poluintervalu.

Numeričke karakteristike jednoliko raspoređene slučajne varijable:

2) Disperzija

Primjer 1: Autobusni interval je 20 minuta. Kolika je vjerovatnoća da će putnik na autobuskoj stanici čekati autobus najviše 6 minuta?

Rješenje: Neka je slučajna varijabla X vrijeme čekanja sabirnice, ona je ravnomjerno raspoređena na segmentu.

Prema uslovu zadatka, parametri uniformne distribucije vrednosti X:

Prema definiciji uniformne distribucije prema formuli (2), funkcija raspodjele vrijednosti X imat će oblik:

Željena vjerovatnoća se izračunava po formuli

odgovor: Vjerovatnoća da će putnik voziti autobusom ne više od 6 minuta je 0,3.

Primjer 2: Slučajna varijabla X ima jednoliku distribuciju na intervalu . Zapišite gustinu distribucije X.

Rješenje:

Po definiciji uniformne distribucije u skladu sa formulom (1), gustina raspodele X vrednosti imaće oblik:

odgovor:.

Primjer 3: Slučajna varijabla X ima jednoliku distribuciju na intervalu . Zapišite funkciju raspodjele X.

Rješenje: Budući da je slučajna varijabla X - ravnomjerno raspoređena na segmentu, tada, prema uvjetu problema, parametri distribucije vrijednosti X:

Prema definiciji uniformne distribucije u skladu sa formulom (2), gustina raspodele X vrednosti imaće oblik:

Primjer 4: Slučajna varijabla X ima jednoliku distribuciju na intervalu . Odrediti numeričke karakteristike veličine X.

Rješenje: Budući da je slučajna varijabla X - ravnomjerno raspoređena na segmentu, tada, prema uvjetu problema, parametri distribucije vrijednosti X:

Po definiciji uniformne distribucije u skladu sa formulama (3), (4) i (5), numeričke karakteristike X vrijednosti će biti sljedeće:

1) Matematičko očekivanje

2) Disperzija

3) Standardna devijacija

odgovor:, ,

Razmotrite jednoličnu kontinuiranu distribuciju. Izračunajmo matematičko očekivanje i varijansu. Generirajmo nasumične vrijednosti koristeći MS EXCEL funkcijuRAND() i dodatka Paket analize, procijenit ćemo srednju vrijednost i standardnu ​​devijaciju.

ravnomerno raspoređeni na intervalu, slučajna varijabla ima:

Hajde da generišemo niz od 50 brojeva iz opsega)