Volumen formule pravilne trokutaste prizme. Volumen trokutaste prizme: formula općeg tipa i formula za pravilnu prizmu

DIRECT PRISM. POVRŠINA I VOLUME DIREKTNE PRIZME.

§ 68. VOLUME DIREKTNE PRIZME.

1. Direktan volumen trouglasta prizma.

Pretpostavimo da treba da pronađemo zapreminu prave trouglaste prizme, čija je površina osnove jednaka S, a visina jednaka h= AA" = = BB" = SS" (crtež 306).

Nacrtajmo posebno osnovu prizme, odnosno trougao ABC (Sl. 307, a), i izgradimo je do pravougaonika, za koji povučemo pravu KM kroz vrh B || AC i iz tačaka A i C spuštamo okomite AF i CE na ovu pravu. Dobijamo pravougaonik ACEF. Crtajući visinu VD trougla ABC, vidimo da je pravougaonik ACEF podeljen na 4 pravougaona trougla. Štaviše /\ SVE = /\ BCD i /\ VAF = /\ VAD. To znači da je površina pravougaonika ACEF dvostruko veća od površine trougla ABC, odnosno jednaka 2S.

Na ovu prizmu sa osnovom ABC prikačićemo prizme sa bazama ALL i BAF i visinom h(Slika 307, b). Dobijamo pravougaoni paralelepiped sa bazom
ACEF.

Ako seciramo ovaj paralelepiped ravninom koja prolazi kroz prave BD i BB", vidjet ćemo da se pravokutni paralelepiped sastoji od 4 prizme sa bazama
BCD, SVE, BAD i BAF.

Prizme sa bazama BCD i VSE mogu se kombinovati, jer su im baze jednake ( /\ VSD = /\ BSE) i njihove bočne ivice su takođe jednake, koje su okomite na istu ravan. To znači da su zapremine ovih prizmi jednake. Zapremine prizmi sa bazama BAD i BAF su takođe jednake.

Dakle, ispada da je volumen date trokutaste prizme s bazom
ABC je polovina zapremine pravougaonog paralelepipeda sa bazom ACEF.

Znamo da je zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka umnošku površine njegove osnove i visine, tj. u ovom slučaju jednaka je 2S h. Stoga je zapremina ove pravougaone prizme jednaka S h.

Zapremina pravougaone prizme jednaka je proizvodu površine njene osnove i visine.

2. Volumen prave poligonalne prizme.

Da biste pronašli zapreminu prave poligonalne prizme, na primjer peterokutne, sa osnovnom površinom S i visinom h, podelimo ga na trouglaste prizme (sl. 308).

Označavajući osnovne površine trokutastih prizmi sa S 1, S 2 i S 3, a zapreminu date poligonalne prizme sa V, dobijamo:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, ili
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

I na kraju: V = S h.

Na isti način se izvodi formula za volumen prave prizme s bilo kojim poligonom u osnovi.

znači, Zapremina bilo koje desne prizme jednaka je proizvodu površine njene osnove i visine.

Vježbe.

1. Izračunajte zapreminu ravne prizme s paralelogramom u osnovi koristeći sljedeće podatke:

2. Izračunajte zapreminu ravne prizme sa trouglom u osnovi koristeći sljedeće podatke:

3. Izračunajte zapreminu ravne prizme čija je osnova jednakostranični trougao sa stranicom od 12 cm (32 cm, 40 cm). Visina prizme 60 cm.

4. Izračunajte zapreminu ravne prizme koja u osnovi ima pravougli trokut sa katetama od 12 cm i 8 cm (16 cm i 7 cm; 9 m i 6 m). Visina prizme je 0,3 m.

5. Izračunaj zapreminu ravne prizme koja u osnovi ima trapez sa paralelnim stranicama 18 cm i 14 cm i visinom 7,5 cm.Visina prizme je 40 cm.

6. Izračunajte zapreminu vaše učionice (sala za fizičko vaspitanje, vaše sobe).

7. Ukupna površina kocke je 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Izračunaj zapreminu ove kocke.

8. Dužina građevinske cigle je 25,0 cm, širina 12,0 cm, debljina 6,5 ​​cm a) Izračunaj njenu zapreminu, b) Odredi njenu težinu ako 1 kubni centimetar cigle teži 1,6 g.

9. Koliko će komada građevinske cigle biti potrebno da se izgradi čvrsti zid od cigle u obliku pravougaonog paralelepipeda dužine 12 m, širine 0,6 m i visine 10 m? (Dimenzije cigle iz vježbe 8.)

10. Dužina čisto isečene daske je 4,5 m, širina - 35 cm, debljina - 6 cm a) Izračunaj zapreminu b) Odredi njenu težinu ako je kubni decimetar daske težak 0,6 kg.

11. Koliko se tona sijena može složiti u sjenik pokriven dvovodnim krovom (sl. 309), ako je dužina sjenika 12 m, širina 8 m, visina 3,5 m, a visina krovni greben je 1,5 m? (Uzmite specifičnu težinu sijena kao 0,2.)

12. Potrebno je iskopati jarak dužine 0,8 km; u presjeku, jarak treba da ima oblik trapeza sa osnovom od 0,9 m i 0,4 m, a dubina jarka treba da bude 0,5 m (crtež 310). Koliko kubnih metara zemlje će se morati ukloniti?

Volumen prizme. Rješavanje problema

Geometrija je najmoćnije sredstvo za izoštravanje naših mentalnih sposobnosti i omogućava nam da ispravno razmišljamo i razmišljamo.

G. Galileo

Svrha lekcije:

• podučavati rješavanju zadataka na izračunavanje zapremine prizmi, sumirati i sistematizovati informacije koje učenici imaju o prizmi i njenim elementima, razvijati sposobnost rješavanja zadataka povećane složenosti;
• razvijati logičko mišljenje, sposobnost samostalnog rada, vještine međusobne kontrole i samokontrole, sposobnost govora i slušanja;
• razviti naviku stalnog angažovanja u nekoj korisnoj aktivnosti, negovanje odzivnosti, napornog rada i tačnosti.

Vrsta časa: čas primjene znanja, vještina i sposobnosti.

Oprema: kontrolne kartice, medijski projektor, prezentacija „Lekcija. Prism Volume”, kompjuteri.

Tokom nastave

• Bočna rebra prizme (sl. 2).
• Bočna površina prizme (slika 2, slika 5).
• Visina prizme (sl. 3, sl. 4).
• Prava prizma (slika 2,3,4).
• Kosa prizma (slika 5).
• Ispravna prizma (sl. 2, sl. 3).
• Dijagonalni presjek prizme (slika 2).
• Dijagonala prizme (slika 2).
• Okomit presjek prizme (sl. 3, sl. 4).
• Bočna površina prizme.
• Ukupna površina prizme.
• Volumen prizme.

1. PROVJERA DOMAĆEG ZADAĆA (8 min)

Zamijenite sveske, provjerite rješenje na slajdovima i označite ga (označite 10 ako je problem kompajliran)

Izmislite problem na osnovu slike i riješite ga. Učenik brani problem koji je sastavio na tabli. Slika 6 i Slika 7.





Poglavlje 2,§3
Problem.2. Dužine svih ivica pravilne trouglaste prizme jednake su jedna drugoj. Izračunajte zapreminu prizme ako je njena površina cm 2 (slika 8)



Poglavlje 2,§3
Zadatak 5. Osnova prave prizme ABCA 1B 1C1 je pravougli trokut ABC (ugao ABC=90°), AB=4cm. Izračunajte zapreminu prizme ako je poluprečnik kružnice opisane oko trougla ABC 2,5 cm, a visina prizme 10 cm. (Slika 9).



Poglavlje 2,§3
Zadatak 29. Dužina stranice osnove pravilne četvorougaone prizme je 3 cm. Dijagonala prizme čini ugao od 30° sa ravninom bočne strane. Izračunajte zapreminu prizme (slika 10).



2. Saradnja nastavnika i razreda (2-3 min.).

Svrha: sumiranje teoretskog zagrijavanja (učenici daju ocjene jedan drugog), proučavanje načina rješavanja problema na temu.

3. FIZIČKA MINUTA (3 min)
4. RJEŠAVANJE PROBLEMA (10 min)

U ovoj fazi nastavnik organizuje frontalni rad na ponavljanju metoda za rješavanje planimetrijskih zadataka i planimetrijskih formula. Čas je podijeljen u dvije grupe, jedni rješavaju zadatke, drugi rade za računarom. Onda se menjaju. Od učenika se traži da riješe sve br. 8 (usmeno), br. 9 (usmeno). Zatim se podijele u grupe i pristupe rješavanju zadataka br. 14, br. 30, br. 32.

Poglavlje 2, §3, strane 66-67

Zadatak 8. Sve ivice pravilne trouglaste prizme su jedna drugoj. Nađite volumen prizme ako je površina poprečnog presjeka ravnine koja prolazi kroz rub donje osnove i sredinu stranice gornje baze jednak cm (slika 11).



Poglavlje 2,§3, strana 66-67
Zadatak 9. Osnova ravne prizme je kvadrat, a njene bočne ivice su dvostruko veće od stranice osnove. Izračunajte zapreminu prizme ako je poluprečnik kružnice opisane u blizini poprečnog preseka prizme ravninom koja prolazi kroz stranu osnove i sredinu suprotne bočne ivice jednak cm (slika 12)



Poglavlje 2,§3, strana 66-67
Problem 14 Osnova ravne prizme je romb čija je jedna dijagonala jednaka njegovoj strani. Izračunajte obim presjeka ravninom koja prolazi kroz glavnu dijagonalu donje baze, ako je volumen prizme jednak i sve bočne strane su kvadrati (slika 13).



Poglavlje 2,§3, strana 66-67
Problem 30 ABCA 1 B 1 C 1 je pravilna trouglasta prizma, čije su sve ivice jednake jedna drugoj, tačka je sredina ivice BB 1. Izračunajte poluprečnik kružnice upisane u presek prizme ravninom AOS, ako je zapremina prizme jednaka (sl. 14).



Poglavlje 2,§3, strana 66-67
Problem 32.U pravilnoj četvorougaonoj prizmi zbir površina osnova jednak je površini bočne površine. Izračunajte zapreminu prizme ako je prečnik kružnice opisane u blizini poprečnog preseka prizme ravninom koja prolazi kroz dva vrha donje osnove i suprotni vrh gornje osnove 6 cm (slika 15).



Prilikom rješavanja zadataka učenici upoređuju svoje odgovore sa onima koje je pokazao nastavnik. Ovo je primjer rješenja problema sa detaljnim komentarima... Individualni rad nastavnika sa „jakim“ učenicima (10 min.).

5. Samostalan rad učenici rade na testu za računarom

1. Stranica osnove pravilne trouglaste prizme je jednaka , a visina je 5. Odrediti zapreminu prizme.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Odaberite tačnu tvrdnju.

1) Zapremina prave prizme čija je osnova pravokutni trokut jednaka je proizvodu površine osnove i visine.

2) Zapremina pravilne trouglaste prizme izračunava se po formuli V = 0,25a 2 h - gdje je a stranica osnove, h visina prizme.

3) Zapremina ravne prizme jednaka je polovini umnoška površine osnove i visine.

4) Zapremina pravilne četvorougaone prizme izračunava se po formuli V = a 2 h-gde je a stranica osnove, h visina prizme.

5) Zapremina pravilne heksagonalne prizme izračunava se po formuli V = 1,5a 2 h, gdje je a stranica osnove, h visina prizme.

3. Strana baze pravilne trouglaste prizme je jednaka . Kroz stranu donje osnove i suprotni vrh gornje osnove povučena je ravan koja prolazi pod uglom od 45° prema osnovici. Odrediti zapreminu prizme.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Osnova prave prizme je romb čija je stranica 13, a jedna od dijagonala 24. Nađite zapreminu prizme ako je dijagonala bočne strane 14.

Nacrtajmo posebno osnovu prizme, odnosno trougao ABC (Sl. 307, a), i izgradimo je do pravougaonika, za koji povučemo pravu KM kroz vrh B || AC i iz tačaka A i C spuštamo okomite AF i CE na ovu pravu. Dobijamo pravougaonik ACEF. Crtajući visinu VD trougla ABC, vidimo da je pravougaonik ACEF podeljen na 4 pravougaona trougla. Štaviše, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD i \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. To znači da je površina pravougaonika ACEF dvostruko veća od površine trougla ABC, odnosno jednaka 2S.

Na ovu prizmu sa osnovom ABC prikačićemo prizme sa bazama ALL i BAF i visinom h(Sl. 307, b). Dobijamo pravougaoni paralelepiped sa ACEF bazom.

Ako seciramo ovaj paralelepiped ravninom koja prolazi kroz prave BD i BB’, vidjet ćemo da se pravougaoni paralelepiped sastoji od 4 prizme sa osnovama BCD, ALL, BAD i BAF.

Prizme sa osnovama BCD i BC se mogu kombinovati, jer su im baze jednake (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) i jednake su im bočne ivice koje su okomite na istu ravan. To znači da su zapremine ovih prizmi jednake. Zapremine prizmi sa bazama BAD i BAF su takođe jednake.

Dakle, ispada da je zapremina date trouglaste prizme sa osnovom ABC polovina zapremine pravougaonog paralelepipeda sa bazom ACEF.

Znamo da je zapremina pravokutnog paralelepipeda jednaka umnošku površine njegove osnove i visine, tj. u ovom slučaju jednaka je 2S h. Stoga je zapremina ove pravougaone prizme jednaka S h.

Zapremina pravougaone prizme jednaka je proizvodu površine njene osnove i visine.

2. Volumen prave poligonalne prizme.

Označavajući osnovne površine trokutastih prizmi sa S 1, S 2 i S 3, a zapreminu date poligonalne prizme sa V, dobijamo:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, ili

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

I na kraju: V = S h.

Na isti način se izvodi formula za volumen prave prizme s bilo kojim poligonom u osnovi.

znači, Zapremina bilo koje desne prizme jednaka je proizvodu površine njene osnove i visine.

Volumen prizme

Teorema. Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine.

Prvo dokazujemo ovu teoremu za trokutnu prizmu, a zatim za poligonalnu.

1) Povučemo (Sl. 95) kroz ivicu AA 1 trouglaste prizme ABCA 1 B 1 C 1 ravan paralelnu sa licem BB 1 C 1 C, a kroz ivicu CC 1 ravan paralelnu sa licem AA 1 B 1 B ; onda ćemo nastaviti ravnine obje osnove prizme sve dok se ne ukrste sa nacrtanim ravnima.

Tada dobijamo paralelepiped BD 1, koji je podijeljen dijagonalnom ravninom AA 1 C 1 C na dvije trouglaste prizme (od kojih je jedna ova). Dokažimo da su ove prizme jednake veličine. Da bismo to učinili, nacrtamo okomiti presjek a b c d. Poprečni presjek će proizvesti paralelogram čija dijagonala ac je podijeljen na dva jednaka trougla. Ova prizma je po veličini jednaka pravoj prizmi čija je osnova \(\Delta\) abc, a visina je ivica AA 1. Druga trouglasta prizma je po površini jednaka pravoj liniji čija je osnova \(\Delta\) adc, a visina je ivica AA 1. Ali dvije ravne prizme sa jednakim osnovama i jednakim visinama su jednake (jer se pri umetanju kombinuju), što znači da su prizme ABCA 1 B 1 C 1 i ADCA 1 D 1 C 1 jednake veličine. Iz ovoga slijedi da je zapremina ove prizme polovina zapremine paralelepipeda BD 1; dakle, označavajući visinu prizme sa H, dobijamo:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Povučemo dijagonalne ravni AA 1 C 1 C i AA 1 D 1 D kroz ivicu AA 1 poligonalne prizme (Sl. 96).

Tada će se ova prizma izrezati na nekoliko trouglastih prizmi. Zbir zapremina ovih prizmi čini traženi volumen. Ako površine njihovih osnova označimo sa b 1 , b 2 , b 3, a ukupna visina kroz H, dobijamo:

zapremina poligonalne prizme = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (oblast ABCDE) H.

Posljedica. Ako su V, B i H brojevi koji u odgovarajućim jedinicama izražavaju zapreminu, površinu osnove i visinu prizme, onda, prema dokazanom, možemo napisati:

IN školski program Na kursu stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma?

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su osnove 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravan paralelepiped.

Crtež koji prikazuje četvorougaonu prizmu je prikazan ispod.

Možete vidjeti i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. To uključuje:

Ponekad u problemima geometrije možete naići na koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se može konstruirati je 2), koji prolazi kroz 2 ivice i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičkih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).

Površina i zapremina

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:

V = Sbas h

Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a²·h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen razvoj.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:

Sside = Posn h

Uzimajući u obzir da je obim kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Sside = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, morate bočnoj površini dodati 2 osnovne površine:

Puno = Sside + 2Smain

U odnosu na četvorougaonu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:

Stotal = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:

• dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
• visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V / h;
• bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:

Sdiag = ah√2

Da biste izračunali dijagonalu prizme, koristite formulu:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti date odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema sa rješenjima

Evo nekoliko zadataka na državnim završnim ispitima iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali sa duplo dužim postoljem?

To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegova zapremina u njima je ista. Dužinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju zapremina supstance će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Zbog V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:

Kao rezultat novi nivo pijesak će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.

Pošto je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovi nalazi kvadrat dijagonale 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu veličinu, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi pomoću formule za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Prostor će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rubalja

Dakle, za rješavanje zadataka koji uključuju pravokutnu prizmu, dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli površinu baze prizme, morat ćete razumjeti koju vrstu ima.

Opća teorija

Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štaviše, njegova baza može biti bilo koji poliedar - od trokuta do n-ugla. Štaviše, baze prizme su uvijek jednake jedna drugoj. Ono što se ne odnosi na bočne strane je da se mogu značajno razlikovati po veličini.

Prilikom rješavanja problema ne nailazi se samo na površinu osnove prizme. Može zahtijevati poznavanje bočne površine, odnosno svih lica koja nisu baze. Kompletna površina će biti spoj svih lica koja čine prizmu.

Ponekad problemi uključuju visinu. Ona je okomita na baze. Dijagonala poliedra je segment koji spaja u paru bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj površini.

Treba napomenuti da površina osnove ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjoj i donjoj strani, tada će njihove površine biti jednake.

Trouglasta prizma

U osnovi ima lik sa tri vrha, odnosno trokut. Kao što znate, može biti drugačije. Ako je tako, dovoljno je zapamtiti da je njegova površina određena polovicom proizvoda nogu.

Matematička notacija izgleda ovako: S = ½ av.

Da biste saznali površinu baze u opšti pogled, formule će biti korisne: Čaplja i ona u kojoj je polovina stranice odvedena na visinu koja joj se povlači.

Prvu formulu treba napisati na sljedeći način: S = √(r (r-a) (r-v) (r-s)). Ova notacija sadrži poluperimetar (p), odnosno zbir tri strane podijeljen sa dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite saznati površinu osnove trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se ispostavlja da je trokut jednakostraničan. Za to postoji formula: S = ¼ a 2 * √3.

Četverokutna prizma

Njegova osnova je bilo koji od poznatih četverouglova. Može biti pravougaonik ili kvadrat, paralelepiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu baze prizme, trebat će vam vlastita formula.

Ako je osnova pravougaonik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = ab, gdje su a, b stranice pravougaonika.

Kada je u pitanju četverokutna prizma, površina osnove pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u temelju. S = a 2.

U slučaju kada je baza paralelepiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S = a * n a. Dešava se da su stranica paralelepipeda i jedan od uglova date. Zatim, da biste izračunali visinu, moraćete da koristite dodatnu formulu: n a = b * sin A. Štaviše, ugao A je susedan strani „b“, a visina n je suprotna ovom uglu.

Ako se u osnovi prizme nalazi romb, tada će vam trebati ista formula kao i za paralelogram za određivanje njegove površine (pošto je to poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovo: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna petougaona prizma

Ovaj slučaj uključuje podjelu poligona na trouglove čije je površine lakše pronaći. Iako se dešava da figure mogu imati različit broj vrhova.

Pošto je osnova prizme pravilan petougao, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trouglova. Tada je površina osnove prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnožena sa pet.

Pravilna heksagonalna prizma

Koristeći princip opisan za pentagonalnu prizmu, moguće je podijeliti šesterokut baze na 6 jednakostraničnih trouglova. Formula za osnovnu površinu takve prizme slična je prethodnoj. Samo to treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 a 2 * √3.

Zadaci

Broj 1. Zadata pravilna prava linija, njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu osnove prizme i cijele površine.

Rješenje. Osnova prizme je kvadrat, ali njena stranica je nepoznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njenom visinom (h). x 2 = d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment “x” je hipotenuza u trokutu čiji su kraci jednaki stranici kvadrata. To jest, x 2 = a 2 + a 2. Tako ispada da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zamijenite broj 22 umjesto d, a "n" zamijenite njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada samo saznajte površinu baze: 12 * 12 = 144 cm 2.

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dva puta osnovnu površinu i učetvorostručiti bočnu površinu. Potonje se lako može pronaći pomoću formule za pravougaonik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. To jest, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Ukupna površina prizme je 960 cm 2.

Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm 2. Ukupna površina je 960 cm 2.

2. Zadato U osnovi je trokut sa stranicom od 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne strane je 10 cm.Izračunajte površine: osnovica i bočna površina.

Rješenje. Pošto je prizma pravilna, njena osnova je jednakostranični trougao. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 na kvadrat, pomnoženo sa ¼ i kvadratnim korijenom od 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.

Sve bočne strane su iste i predstavljaju pravokutnike sa stranicama od 6 i 10 cm. Da biste izračunali njihove površine, samo pomnožite ove brojeve. Zatim ih pomnožite sa tri, jer prizma ima upravo toliko bočnih strana. Tada se ispostavlja da je površina bočne površine rane 180 cm 2.

Odgovori. Površine: osnova - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.