Aritmetik ilerlemede d nasıl bulunur? Aritmetik ilerleme

Ne asıl nokta formüller?

Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASIYLA " N" .

Elbette ilk terimi de bilmeniz gerekir. 1 ve ilerleme farkı D, bu parametreler olmadan belirli bir ilerlemeyi yazamazsınız.

Bu formülü ezberlemek (veya not etmek) yeterli değildir. Bunun özünü anlamanız ve formülü çeşitli problemlere uygulamanız gerekir. Ve ayrıca doğru zamanda unutmamak gerekir, evet...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ve burada nasıl hatırlanır Gerekirse size mutlaka tavsiyede bulunacağım. Dersi sonuna kadar tamamlayanlar için.)

Şimdi aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne bakalım.

Genel olarak formül nedir? Bu arada okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu anlamaya devam ediyor n'inci terim.

İlerleme Genel görünüm bir sayı dizisi olarak yazılabilir:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimini belirtir, 3- üçüncü üye, 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak diyelim ki çalışıyoruz. 5, eğer yüz yirminci - s 120.

Genel hatlarıyla nasıl tanımlayabiliriz? herhangi aritmetik ilerleme terimi, herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:

BİR

İşte bu Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi. N harfi tüm üye numaralarını aynı anda gizler: 1, 2, 3, 4 vb.

Peki böyle bir kayıt bize ne veriyor? Düşünün, sayı yerine mektup yazdılar...

Bu gösterim bize aritmetik ilerlemeyle çalışmak için güçlü bir araç sağlar. Gösterimi kullanma BİR, hızlı bir şekilde bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve bir sürü başka ilerleme problemini çözün. Daha fazlasını kendiniz göreceksiniz.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi formülünde:

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimi;

N- üye numarası.

Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Tüm ilerleme sorunları bu parametreler etrafında döner.

N'inci terim formülü aynı zamanda belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin problem, ilerlemenin koşul tarafından belirtildiğini söyleyebilir:

a n = 5 + (n-1) 2.

Böyle bir sorun çıkmaz sokak olabilir... Ne bir seri ne de bir fark vardır... Ama durumu formülle karşılaştırınca bu gidişatın ne olduğunu anlamak kolaydır. a 1 =5 ve d=2.

Hatta daha da kötüsü olabilir!) Aynı koşulu alırsak: a n = 5 + (n-1) 2, Evet, parantezleri açıp benzerlerini getirir misiniz? Yeni bir formül elde ediyoruz:

bir n = 3 + 2n.

Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. İşte tuzak burada gizleniyor. Bazıları ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk terim beş olmasına rağmen... Biraz daha düşük, böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.

İlerleme problemlerinde başka bir gösterim daha var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi ilerlemenin “n artı ilk” terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından bir büyük olan dizinin bir üyesidir. Örneğin, eğer bir problemde alırsak BİR o zaman beşinci dönem bir n+1 altıncı üye olacak. Vesaire.

Çoğu zaman atama bir n+1 yineleme formüllerinde bulunur. Bu korkutucu kelimeden korkmayın!) Bu sadece aritmetik ilerlemenin bir üyesini ifade etmenin bir yoludur bir önceki aracılığıyla. Tekrarlanan bir formül kullanılarak bize bu biçimde bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncüden üçüncüye, beşinciden dördüncüye vb. Mesela yirminci terimi hemen nasıl sayabiliriz? 20? Ama mümkün değil!) 19. dönemi bulana kadar 20. dönemi sayamayız. Tekrarlayan formül ile n'inci terimin formülü arasındaki temel fark budur. Tekrarlanan işler yalnızca aracılığıyla öncesi terim ve n'inci terimin formülü Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla hesaplamadan.

Aritmetik ilerlemede tekrarlanan bir formülü düzenli bir formüle dönüştürmek kolaydır. Ardışık bir çift terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun 1, formülü her zamanki haliyle yazın ve onunla çalışın. Bu tür görevlere Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanmaktadır.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülün uygulanması.

Öncelikle formülün doğrudan uygulamasına bakalım. Önceki dersin sonunda bir sorun vardı:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Bu problem herhangi bir formül olmadan, sadece aritmetik ilerlemenin anlamına dayanarak çözülebilir. Ekle ve ekle... Bir veya iki saat.)

Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlamasını ayarlayabilirsiniz.) Hadi karar verelim.

Koşullar formülün kullanılmasına ilişkin tüm verileri sağlar: a 1 =3, d=1/6. Neyin eşit olduğunu bulmaya devam ediyor N. Sorun değil! Bulmalıyız 121. O halde şunu yazıyoruz:

Lütfen dikkatini ver! Bir indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik ilerlemenin üyesiyle ilgileniyoruz yüz yirmi bir numara. Bu bizim olacak N. anlamı bu N= 121'i formülde parantez içinde değiştireceğiz. Tüm sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Bu kadar. Beş yüz onuncu terimi ve bin üçüncü terimi de aynı hızla bulabiliriz. Onun yerine koyduk N" harfinin dizininde istenilen sayı A" ve parantez içinde sayıyoruz.

Size şu noktayı hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASIYLA " N" .

Sorunu daha kurnaz bir şekilde çözelim. Aşağıdaki sorunla karşılaşalım:

a 17 =-2 ise, aritmetik ilerlemenin ilk terimini (a n) bulun; d=-0,5.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız size ilk adımı anlatacağım. Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın! Evet evet. Ellerinizle doğrudan not defterinize yazın:

Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0,5, on yedinci bir üye var... Öyle mi? Eğer böyle düşünürsen sorunu çözemezsin, evet...

Hala bir numaramız var N! Durumda a 17 =-2 gizlenmiş iki parametre. Bu hem on yedinci terimin değeri (-2) hem de sayısıdır (17). Onlar. n=17. Bu "önemsiz şey" çoğu zaman kafanın yanından geçer ve o olmadan ("önemsiz" olmadan, kafa değil!) sorun çözülemez. Yine de... ve kafasız da.)

Artık verilerimizi aptalca bir şekilde formüle koyabiliriz:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, yerine koyalım:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Temelde hepsi bu. Geriye formülden aritmetik ilerlemenin ilk terimini ifade etmek ve hesaplamak kalıyor. Cevap şöyle olacaktır: 1 = 6.

Bir formül yazmak ve bilinen verileri basitçe yerine koymaktan oluşan bu teknik, basit görevlerde çok yardımcı olur. Elbette bir değişkeni formülden ifade edebilmeniz gerekiyor ama ne yapmalısınız? Bu beceri olmadan matematik hiç çalışılmayabilir...

Bir başka popüler bulmaca:

a 1 =2 ise, aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; 15 =12.

Biz ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü yazıyoruz!)

Bildiklerimizi düşünelim: a 1 =2; a 15 =12; ve (özellikle vurgulayacağım!) n=15. Bunu formülde değiştirmekten çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Aritmetik yapıyoruz.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Bu doğru cevap.

Yani, görevler bir n, bir 1 Ve D karar verilmiş. Geriye kalan tek şey numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek:

99 sayısı aritmetik ilerlemenin (an) bir üyesidir; burada a 1 =12; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.

Bildiğimiz miktarları n'inci terimin formülüne koyarız:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk bakışta burada bilinmeyen iki büyüklük var: bir n ve n. Ancak BİR- bu bir sayı ile ilerlemenin bir üyesidir N...Ve ilerlemenin bu üyesini tanıyoruz! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, Yani bulmanız gereken şey bu sayıdır. 99 ilerlemesinin terimini formülde değiştiririz:

99 = 12 + (n-1)3

Formülden ifade ediyoruz N, düşünürüz. Cevabını alıyoruz: n=30.

Şimdi de aynı konuyla ilgili bir problem ama daha yaratıcı):

117 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmadığını belirleyin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formülü tekrar yazalım. Ne, hiç parametre yok mu? Hım... Bize neden göz veriliyor?) İlerlemenin ilk dönemini görüyor muyuz? Görürüz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 = -3,6. Fark D bir diziden belirleyebilir misiniz? Aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız bunu yapmak kolaydır:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Yani en basit şeyi yaptık. Geriye kalan tek şey bilinmeyen numarayla uğraşmak N ve anlaşılmaz sayı olan 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada onu bile bilmiyoruz... Ne yapmalı!? Peki, nasıl olunur, nasıl olunur... Yaratıcı yeteneklerinizi açın!)

Biz sanmak sonuçta 117 bizim ilerleyişimizin bir üyesi. Bilinmeyen bir numarayla N. Ve tıpkı önceki problemde olduğu gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü yazıyoruz (evet, evet!) ve sayılarımızı değiştiriyoruz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yine formülden ifade ediyoruzN, sayarız ve şunu elde ederiz:

Hata! Sayı ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerdeki kesirli sayılar olamaz. Hangi sonuca varabiliriz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin bir üyesi. Yüz birinci terim ile yüz ikinci terim arasında bir yerdedir. Sayı doğal çıkarsa, yani. pozitif bir tam sayı ise sayı, bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.

GIA'nın gerçek versiyonunu temel alan bir görev:

Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:

a n = -4 + 6,8n

İlerlemenin birinci ve onuncu terimlerini bulun.

Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde ayarlanıyor. Bir çeşit formül... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü! O da izin veriyor ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.

İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması büyük bir yanılgıdır!) Çünkü problemdeki formül değiştirildi. Aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Sorun değil, şimdi bulacağız.)

Daha önceki problemlerde olduğu gibi yerine n=1 bu formüle:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Burada! İlk terim -4 değil 2,8!

Onuncu terimi de aynı şekilde arıyoruz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Bu kadar.

Ve şimdi bu satırları okuyanlar için vaat edilen bonus.)

Diyelim ki, Devlet Sınavı veya Birleşik Devlet Sınavı'nın zorlu bir savaş durumunda, aritmetik ilerlemenin n'inci dönemi için yararlı formülü unuttunuz. Bir şey hatırlıyorum ama bir şekilde emin olamıyorum... Veya N orada veya n+1 veya n-1... Nasıl olunur?

Sakinlik! Bu formülün türetilmesi kolaydır. Çok katı değil ama güven ve doğru karar için kesinlikle yeterli!) Bir sonuca varmak için aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakika zaman ayırmak yeterlidir. Sadece bir resim çizmeniz yeterli. Açıklık için.

Bir sayı doğrusu çizin ve ilkini işaretleyin. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not ediyoruz Düyeler arasında. Bunun gibi:

Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: İkinci terim neye eşittir? Saniye bir D:

A 2 =a 1 + 1 D

Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir ilk terim artı iki D.

A 3 =a 1 + 2 D

Anladın mı? Bazı kelimeleri kalın harflerle vurgulamam boşuna değil. Tamam, bir adım daha).

Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir ilk terim artı üç D.

A 4 =a 1 + 3 D

Boşlukların sayısının, yani. D, Her zaman Aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya n, boşluk sayısı irade n-1. Bu nedenle formül şu şekilde olacaktır (değişiklikler olmadan!):

Genel olarak görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde oldukça faydalıdır. Resimleri ihmal etmeyin. Ancak bir resim çizmek zorsa, o zaman... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme resim ekleyemezsiniz...

Bağımsız çözüm için görevler.

Isıtmak:

1. Aritmetik ilerlemede (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3'ü bulun.

İpucu: Resme göre sorun 20 saniyede çözülebilir... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) Bölüm 555'te bu sorun hem resim hem de formül kullanılarak çözülmektedir. Farkı Hisset!)

Ve bu artık bir ısınma değil.)

2. Aritmetik ilerlemede (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. a 3'ü bulun.

Ne, resim çizmek istemiyor musun?) Elbette! Formüle göre daha iyi, evet...

3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu ilerlemenin yüz yirmi beşinci terimini bulun.

Bu görevde ilerleme yinelenen bir şekilde belirtilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar sayarsak... Herkes böyle bir başarıya sahip değildir.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin gücündedir!

4. Aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

İlerlemenin en küçük pozitif teriminin sayısını bulun.

5. Görev 4'ün koşullarına göre ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif terimlerinin toplamını bulun.

6. Artan aritmetik ilerlemenin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5'e, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı ise sıfıra eşittir. 14'ü bulun.

En kolay iş değil evet...) “Parmak ucu” yöntemi burada işe yaramayacak. Formüller yazmanız ve denklemleri çözmeniz gerekecek.

Cevaplar (karışıklık içinde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Olmuş? Bu iyi!)

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Bu arada son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkatli olunması gerekecektir. Ve mantık.

Tüm bu sorunların çözümü Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Dördüncüsü için fantezi unsuru, altıncısı için ince nokta ve n'inci terimin formülünü içeren herhangi bir problemin çözümü için genel yaklaşımlar - her şey anlatılmıştır. Ben tavsiye ediyorum.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Aritmetik ilerlemenin toplamı.

Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuyla ilgili her türlü görev var. Temelden oldukça sağlama.

Öncelikle miktarın anlamını ve formülünü anlayalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Miktarın anlamı möö kadar basittir. Aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm terimlerini dikkatlice eklemeniz yeterlidir. Bu terimler azsa formül kullanmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok ya da çok varsa... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül imdadımıza yetişir.

Miktarın formülü basittir:

Formülde ne tür harflerin yer aldığını bulalım. Bu, işleri büyük ölçüde açıklığa kavuşturacaktır.

Sn - aritmetik ilerlemenin toplamı. Toplama sonucu herkesüyeleri ile Birinciİle son. Bu önemli. Tam olarak topluyorlar Tümüyeleri atlamadan veya atlamadan arka arkaya. Ve tam olarak şundan başlayarak Birinci.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşinci ila yirminci terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)

1 - Birinci ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit Birinci satır numarası.

BİR- son ilerlemenin üyesi. Serinin son sayısı. Çok tanıdık bir isim değil ama miktara uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.

N - son üyenin numarası. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen terimlerin sayısıyla örtüşür.

Konsepti tanımlayalım sonüye BİR. Zor soru: Hangi üye olacak sonuncu eğer verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?)

Kendinize güvenerek cevap verebilmek için aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve... görevi dikkatlice okumanız gerekir!)

Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde her zaman son terim görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), ki bu sınırlı olmalıdır. Aksi takdirde, nihai, belirli bir miktar basitçe mevcut değil.Çözüm için ilerlemenin verilip verilmediği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayı ya da n'inci terim için bir formül.

En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk döneminden sayı içeren döneme kadar çalıştığını anlamaktır. N. Aslında formülün tam adı şuna benzer: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. N, yalnızca göreve göre belirlenir. Bir görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet... Ama boş verin, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkarıyoruz.)

Aritmetik ilerlemenin toplamı ile ilgili görev örnekleri.

Öncelikle, yardımcı bilgi:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren görevlerdeki temel zorluk, formülün öğelerinin doğru belirlenmesinde yatmaktadır.

Görev yazarları bu unsurları sınırsız hayal gücüyle şifreler.) Burada asıl önemli olan korkmamaktır. Elementlerin özünü anlamak, onları basitçe deşifre etmek yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.

1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a n = 2n-3,5. İlk 10 teriminin toplamını bulun.

Aferin. Kolay.) Formülü kullanarak miktarı belirlemek için neyi bilmemiz gerekiyor? İlk üye 1, son dönem BİR, evet son üyenin numarası N.

Son üyenin numarasını nereden alabilirim? N? Evet, şartla orada! Diyor ki: toplamı bul ilk 10 üye. Peki hangi numarayla olacak? son, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine BİR Formülde yerine koyacağız 10 ve bunun yerine N- on. Tekrar ediyorum, son üye sayısı üye sayısıyla örtüşüyor.

Belirlemek için kalır 1 Ve 10. Bu, problem tanımında verilen n'inci terim formülü kullanılarak kolayca hesaplanır. Bunu nasıl yapacağınızı bilmiyor musunuz? Önceki derse katılın, bu olmadan hiçbir yolu yoktur.

1= 2 1 - 3,5 = -1,5

10=2·10 - 3,5 =16,5

Sn = S10.

Aritmetik ilerlemenin toplamı formülündeki tüm öğelerin anlamını bulduk. Geriye kalan tek şey bunları değiştirmek ve saymaktır:

Bu kadar. Cevap: 75.

GIA'ya dayanan başka bir görev. Biraz daha karmaşık:

2. Farkı 3,7 olan aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; a 1 =2,3. İlk 15 teriminin toplamını bulun.

Hemen toplam formülünü yazıyoruz:

Bu formül herhangi bir terimin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:

15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Aritmetik ilerlemenin toplamı için formüldeki tüm unsurları yerine koymak ve cevabı hesaplamak kalır:

Cevap: 423.

Bu arada, eğer toplam formülünde yerine BİR Formülü n'inci terimin yerine koyarız ve şunu elde ederiz:

Benzerlerini sunalım ve bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı için yeni bir formül elde edelim:

Gördüğünüz gibi burada n'inci terime gerek yok BİR. Bazı problemlerde bu formül çok işe yarıyor evet... Bu formülü hatırlarsınız. Veya buradaki gibi doğru zamanda görüntüleyebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülünü ve n'inci terimin formülünü her zaman hatırlamanız gerekir.)

Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):

3. Üçün katı olan iki basamaklı tüm pozitif sayıların toplamını bulun.

Vay! Ne ilk üyen, ne son üyen, ne de ilerleyişin… Nasıl yaşanır!?

Kafanızla düşünmeniz ve durumdan aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayıların ne olduğunu biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) İki basamaklı sayı ne olacak? Birinci? 10, muhtemelen.) A son şeyçift ​​haneli sayı mı? 99 elbette! Üç haneli olanlar onu takip edecek...

Üçün katları... Hımm... Bunlar üçe bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünür! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Sorunun koşullarına göre zaten bir dizi yazabilirsiniz:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bu seri aritmetik bir ilerleme mi olacak? Kesinlikle! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç farklılık gösterir. Bir terime 2 veya 4 eklerseniz sonuç; yeni sayı artık 3'e bölünemez. Aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3.İşinize yarayacaktır!)

Böylece bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:

Sayı ne olacak? N son üye? 99'un ölümcül bir yanılgı olduğunu düşünenler... Rakamlar hep arka arkaya gidiyor ama üyelerimiz üçün üzerine atlıyor. Eşleşmiyorlar.

Burada iki çözüm var. Bunun bir yolu süper çalışkanlar içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini yazabilir ve üye sayısını parmağınızla sayabilirsiniz.) İkinci yol düşünceli olanlar içindir. N'inci dönemin formülünü hatırlamanız gerekiyor. Formülü problemimize uygularsak 99'un ilerlemenin otuzuncu terimi olduğunu buluruz. Onlar. n = 30.

Aritmetik ilerlemenin toplamının formülüne bakalım:

Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorun ifadesinden tutarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:

1= 12.

30= 99.

Sn = S 30.

Geriye kalan tek şey temel aritmetiktir. Sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

Cevap: 1665

Başka bir popüler bulmaca türü:

4. Aritmetik ilerleme verildiğinde:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Yirmiden otuz dörde kadar terimlerin toplamını bulun.

Miktarın formülüne bakıyoruz ve... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatayım, tutarı hesaplıyor. birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekiyor yirminci yüzyıldan beri... Formül işe yaramayacak.

Elbette tüm ilerlemeyi bir seri halinde yazabilir ve 20'den 34'e kadar terimler ekleyebilirsiniz. Ama... bu biraz aptalca ve uzun zaman alıyor, değil mi?)

Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki parçaya ayıralım. İlk bölüm olacak ilk dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmiden otuz dörde kadar.İlk bölümün terimlerinin toplamını hesaplarsak açıktır ki S 1-19, ikinci bölümün terimlerinin toplamını ekleyelim S 20-34, birinci dönemden otuz dördüncü döneme kadar olan ilerlemenin toplamını elde ederiz S1-34. Bunun gibi:

S 1-19 + S 20-34 = S1-34

Bundan toplamı bulduğumuzu görebiliriz. S 20-34 basit çıkarma işlemiyle yapılabilir

S 20-34 = S1-34 - S 1-19

Sağ taraftaki her iki miktar da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlara oldukça uygulanabilir. Başlayalım?

İlerleme parametrelerini problem ifadesinden çıkarıyoruz:

d = 1,5.

1= -21,5.

İlk 19 ve ilk 34 terimin toplamını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları problem 2'deki gibi n'inci terim formülünü kullanarak hesaplıyoruz:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Hiçbirşey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Cevap: 262.5

Önemli bir not! Bu sorunu çözmenin çok faydalı bir hilesi var. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacınız var (S 20-34), saydık ihtiyaç duyulmayan bir şey - S 1-19. Ve sonra karar verdiler S 20-34 gereksiz olanı sonuçtan çıkararak. Bu tür bir "kulak yanıltması" çoğu zaman sizi kötü sorunlardan kurtarır.)

Bu derste aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemlere baktık. Birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)

Pratik tavsiye:

Aritmetik ilerlemenin toplamını içeren herhangi bir problemi çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.

N'inci terimin formülü:

Bu formüller size sorunu çözmek için neye bakmanız ve hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.

Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.

5. Üçe bölünemeyen iki basamaklı tüm sayıların toplamını bulun.

Harika mı?) İpucu 4. problemin notunda gizli. Peki, 3. problem yardımcı olacaktır.

6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. İlk 24 teriminin toplamını bulun.

Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür sorunlara Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanır.

7. Vasya tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevdiğim kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinize hiçbir şeyi inkar etmeden güzel yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Ta ki para bitene kadar. Vasya'nın kaç günü mutluluk vardı?

Zor mu?) 2. problemdeki ek formül yardımcı olacaktır.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7, 3240, 6.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Talimatlar

Aritmetik ilerleme a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d biçimindeki bir dizidir. D adımı ilerleme Aritmetiğin keyfi bir n'inci teriminin genelinin ilerlemeşu formdadır: An = A1+(n-1)d. O zaman üyelerden birini tanıyorum ilerleme, üye ilerleme ve adım ilerleme, yani ilerleme üyesinin sayısını yapabilirsiniz. Açıkçası, n = (An-A1+d)/d formülüyle belirlenecektir.

Şimdi m'inci terim bilinsin ilerleme ve başka bir üye ilerleme- n'inci, ancak n , önceki durumda olduğu gibi, ancak n ve m'nin çakışmadığı biliniyor. ilerlemeşu formül kullanılarak hesaplanabilir: d = (An-Am)/(n-m). O halde n = (An-Am+md)/d.

Bir aritmetik denklemin birkaç elemanının toplamı biliniyorsa ilerleme, ilk ve sonuncusunun yanı sıra bu elemanların sayısı da belirlenebilir. ilerlemeşuna eşit olacaktır: S = ((A1+An)/2)n. O zaman n = 2S/(A1+An) - chdenov ilerleme. An = A1+(n-1)d gerçeğini kullanarak bu formül şu şekilde yeniden yazılabilir: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Buradan n'yi çözerek ifade edebiliriz. ikinci dereceden denklem.

Aritmetik dizi, birincisi dışında her bir üyesi bir öncekinden aynı miktarda farklı olan sıralı bir sayı kümesidir. Bu sabit değere ilerlemenin farkı veya adımı denir ve aritmetik ilerlemenin bilinen terimlerinden hesaplanabilir.

Talimatlar

Birinci ve ikinci veya başka herhangi bir bitişik terim çiftinin değerleri problemin koşullarından biliniyorsa, farkı hesaplamak için (d) basitçe önceki terimi sonraki terimden çıkarın. Ortaya çıkan değer pozitif ya da negatif bir sayı olabilir; ilerlemenin artıp artmadığına bağlıdır. Genel formda, ilerlemenin komşu terimlerinin keyfi bir çiftinin (aᵢ ve aᵢ₊₁) çözümünü şu şekilde yazın: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri birincisi (a₁), diğeri ise keyfi olarak seçilen herhangi bir terim olan böyle bir ilerlemenin bir çift terimi için, farkı (d) bulmak için bir formül oluşturmak da mümkündür. Ancak bu durumda diziden rastgele seçilen bir üyenin seri numarasının (i) bilinmesi gerekir. Farkı hesaplamak için her iki sayıyı da toplayın ve elde edilen sonucu, rastgele bir terimin sıra numarasının bir eksiltilmesiyle bölün. Genel olarak bu formülü şu şekilde yazın: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Sıra numarası i olan bir aritmetik ilerlemenin rastgele bir üyesine ek olarak sıra numarası u olan başka bir üye biliniyorsa, önceki adımdaki formülü buna göre değiştirin. Bu durumda ilerlemenin farkı (d), bu iki terimin toplamının sıra sayıları farkına bölünmesiyle elde edilecektir: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Farkı (d) hesaplama formülü, problem koşulları ilk teriminin (a₁) değerini ve aritmetik dizinin ilk terimlerinin belirli bir sayısının (i) toplamını (Sᵢ) verirse biraz daha karmaşık hale gelir. İstenilen değeri elde etmek için, toplamı onu oluşturan terim sayısına bölün, dizideki ilk sayının değerini çıkarın ve sonucu ikiye katlayın. Ortaya çıkan değeri bir azaltılmış toplamı oluşturan terim sayısına bölün. Genel olarak diskriminant hesaplama formülünü şu şekilde yazın: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Birçok kişi aritmetik ilerlemeyi duymuştur, ancak herkes bunun ne olduğu konusunda iyi bir fikre sahip değildir. Bu makalede ilgili tanımı vereceğiz ve ayrıca bir aritmetik ilerlemenin farkının nasıl bulunacağı sorusunu ele alacağız ve bir dizi örnek vereceğiz.

Matematiksel tanım

Dolayısıyla, eğer aritmetik veya cebirsel bir ilerlemeden bahsediyorsak (bu kavramlar aynı şeyi tanımlar), o zaman bu, şu yasayı karşılayan belirli bir sayı serisinin olduğu anlamına gelir: serideki her iki bitişik sayı aynı değerde farklılık gösterir. Matematiksel olarak şöyle yazılır:

Burada n, dizideki a n öğesinin sayısı anlamına gelir ve d sayısı ilerlemenin farkıdır (adı sunulan formülden gelir).

Farkı bilmek ne anlama geliyor? Komşu sayıların birbirinden ne kadar "uzak" olduğu hakkında. Ancak d bilgisi gereklidir ancak gerekli değildir. yeterli koşul tüm ilerlemeyi belirlemek (geri yüklemek) için. Söz konusu serinin kesinlikle herhangi bir öğesi olabilecek bir sayı daha bilmek gerekir, örneğin 4, a10, ancak kural olarak ilk sayıyı, yani 1'i kullanırlar.

İlerleme öğelerini belirlemek için formüller

Genel olarak yukarıdaki bilgiler belirli sorunların çözümüne geçmek için zaten yeterlidir. Bununla birlikte, aritmetik ilerleme verilmeden önce ve bunun farkını bulmak gerekli olacak, birkaç yararlı formül sunacağız, böylece sonraki problem çözme sürecini kolaylaştıracağız.

N numaralı dizinin herhangi bir elemanının aşağıdaki şekilde bulunabileceğini göstermek kolaydır:

bir n = bir 1 + (n - 1) * d

Aslında herkes bu formülü basit bir aramayla kontrol edebilir: n = 1 yerine koyarsanız ilk öğeyi alırsınız, n = 2 yerine koyarsanız ifade ilk sayının toplamını ve farkı verir, vb.

Birçok problemin koşulları öyle bir şekilde oluşturulmuştur ki, sayıları da sırayla verilen bilinen bir sayı çifti verildiğinde, tüm sayı serisinin yeniden yapılandırılması (farkın ve ilk elemanın bulunması) gerekli olacaktır. Şimdi bu sorunu genel biçimde çözeceğiz.

O halde sayıları n ve m olan iki eleman verilsin. Yukarıda elde edilen formülü kullanarak iki denklemden oluşan bir sistem oluşturabilirsiniz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Bilinmeyen miktarları bulmak için, böyle bir sistemi çözmek için iyi bilinen basit bir teknik kullanacağız: çiftler halinde sol ve sağ tarafları çıkarın, eşitlik geçerli kalacaktır. Sahibiz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

bir n - bir m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Böylece bir bilinmeyeni (a 1) hariç tuttuk. Artık d'yi belirlemek için son ifadeyi yazabiliriz:

d = (a n - a m) / (n - m), burada n > m

Çok basit bir formül aldık: Sorunun koşullarına göre d farkını hesaplamak için, yalnızca elemanların kendileri arasındaki farkların oranını ve seri numaralarını almak gerekir. Birine dikkat etmeli önemli nokta Dikkat: "en yüksek" ve "en düşük" üyeler arasındaki farklar dikkate alınır, yani n > m ("en yüksek", dizinin başlangıcından daha uzakta bulunan anlamına gelir; mutlak değeri şundan büyük veya küçük olabilir: “küçük” unsur).

İlk terimin değerini elde etmek için, problemin çözümünün başlangıcında, d ilerleme farkının ifadesi denklemlerden herhangi birinde değiştirilmelidir.

Bilgisayar teknolojisinin geliştiği çağımızda, pek çok okul çocuğu ödevleri için internette çözüm bulmaya çalışıyor, bu nedenle bu tür sorular sıklıkla ortaya çıkıyor: aritmetik ilerlemenin farkını çevrimiçi olarak bulun. Böyle bir talep için, arama motoru, durumdan bilinen verileri girmeniz gereken bir dizi web sayfasını döndürecektir (bu, ilerlemenin iki terimi veya belirli bir sayısının toplamı olabilir) ) ve anında bir cevap alın. Ancak problemin çözümüne yönelik bu yaklaşım, öğrencinin gelişimi ve kendisine verilen görevin özünü anlaması açısından verimsizdir.

Formül kullanmadan çözüm

Verilen formüllerden hiçbirini kullanmadan ilk problemi çözelim. Serinin elemanları verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Aritmetik ilerlemenin farkını bulun.

Bilinen unsurlar üst üste birbirine yakın durmaktadır. En büyüğü elde etmek için d farkının en küçüğüne kaç kez eklenmesi gerekir? Üç kez (ilk kez d'yi eklediğimizde 7. elementi elde ederiz, ikinci kez - sekizinci, son olarak üçüncü kez - dokuzuncu). 18 elde etmek için üçe üç kez hangi sayı eklenmelidir? Bu beş numara. Gerçekten mi:

Böylece bilinmeyen fark d = 5 olur.

Elbette uygun formül kullanılarak çözüm gerçekleştirilebilirdi ancak bu kasıtlı olarak yapılmadı. Sorunun çözümünün ayrıntılı bir açıklaması, aritmetik ilerlemenin ne olduğuna dair açık ve net bir örnek olmalıdır.

Öncekine benzer bir görev

Şimdi benzer bir sorunu çözelim ancak giriş verilerini değiştirelim. Yani a3 = 2, a9 = 19 ise bulmalısınız.

Elbette yine “kafa kafaya” çözüm yöntemine başvurabilirsiniz. Ancak serinin birbirinden nispeten uzak olan elemanları verildiğinden bu yöntem tam olarak uygun olmayacaktır. Ancak ortaya çıkan formülü kullanmak bizi hızla cevaba götürecektir:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Burada son sayıyı yuvarladık. Bu yuvarlamanın ne ölçüde hataya yol açtığı, sonuç kontrol edilerek değerlendirilebilir:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Bu sonuç, koşulda verilen değerden yalnızca %0,1 farklıdır. Bu nedenle en yakın yüzlüğe yuvarlamanın başarılı bir seçim olduğu düşünülebilir.

Bir terim için formülün uygulanmasıyla ilgili sorunlar

Bilinmeyen d'yi belirlemeye yönelik klasik bir problem örneğini ele alalım: a1 = 12, a5 = 40 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulun.

Bilinmeyen bir cebirsel dizinin iki sayısı verildiğinde ve bunlardan biri a 1 elemanıysa, o zaman uzun süre düşünmenize gerek yoktur, ancak a n terimi için formülü hemen uygulamanız gerekir. Bu durumda elimizde:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bölme sırasında tam sayıyı aldık, bu nedenle önceki paragrafta yapıldığı gibi hesaplanan sonucun doğruluğunu kontrol etmenin bir anlamı yok.

Benzer bir problemi daha çözelim: a1 = 16, a8 = 37 ise aritmetik ilerlemenin farkını bulmamız gerekiyor.

Öncekine benzer bir yaklaşım kullanıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Aritmetik ilerleme hakkında başka ne bilmelisiniz?

Bilinmeyen bir fark veya bireysel elemanları bulma problemlerine ek olarak, genellikle bir dizinin ilk terimlerinin toplamı problemlerini çözmek de gereklidir. Ancak sunduğumuz bilgilerin eksiksizliği nedeniyle bu görevlerin dikkate alınması makalenin kapsamı dışındadır. Genel formül bir serideki n sayının toplamı için:

∑ n ben = 1 (a ben) = n * (a 1 + a n) / 2

Aritmetik ilerlemeyle ilgili problemler eski zamanlarda zaten mevcuttu. Pratik bir ihtiyaçları olduğu için ortaya çıktılar ve çözüm talep ettiler.

Nitekim Eski Mısır'ın matematiksel içeriğe sahip papirüslerinden biri olan Rhind papirüsü (M.Ö. 19. yüzyıl) şu görevi içerir: On ölçek ekmeği, aralarındaki farkın sekizde biri kadar olması koşuluyla on kişiye bölmek. ölçüm."

Antik Yunanlıların matematik eserlerinde aritmetik ilerlemeyle ilgili zarif teoremler vardır. Böylece, İskenderiyeli Hypsicles (2. yüzyıl, birçok ilginç problemi derleyen ve Öklid'in Elementleri'ne on dördüncü kitabı ekleyen) şu fikri formüle etti: “Çift sayıda terimi olan bir aritmetik dizide, 2. yarının terimlerinin toplamı üye sayısının 1/2 karesindeki 1'incinin terimlerinin toplamından daha büyüktür."

Sıra bir ile gösterilir. Bir dizinin sayıları, üyeleri olarak adlandırılır ve genellikle bu üyenin seri numarasını gösteren indeksli harflerle gösterilir (a1, a2, a3 ... okuyun: “a 1”, “a 2”, “a 3” ve benzeri ).

Dizi sonsuz veya sonlu olabilir.

Aritmetik ilerleme nedir? Bununla, ilerleme farkı olan önceki terimi (n) aynı d sayısıyla toplayarak elde edilen terimi kastediyoruz.

Eğer d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 ise bu ilerlemenin arttığı kabul edilir.

Bir aritmetik ilerlemenin yalnızca ilk birkaç terimi dikkate alınırsa sonlu olarak adlandırılır. Çok sayıda üyeyle bu zaten sonsuz bir ilerlemedir.

Herhangi bir aritmetik ilerleme aşağıdaki formülle tanımlanır:

an =kn+b, b ve k ise bazı sayılardır.

Bunun tersi ifade kesinlikle doğrudur: Eğer bir dizi benzer bir formülle veriliyorsa, bu tam olarak şu özelliklere sahip bir aritmetik ilerlemedir:

1. İlerlemedeki her terim, bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalamasıdır.
2. Tersi: eğer, 2.den başlayarak, her terim bir önceki ve bir sonraki terimin aritmetik ortalaması ise, yani; koşul karşılanırsa bu dizi aritmetik bir ilerlemedir. Bu eşitlik aynı zamanda ilerlemenin de bir işaretidir, bu nedenle genellikle ilerlemenin karakteristik özelliği olarak adlandırılır.
   Aynı şekilde, bu özelliği yansıtan teorem doğrudur: Bir dizi, ancak bu eşitliğin 2'den başlayarak dizinin herhangi bir terimi için doğru olması durumunda aritmetik bir ilerlemedir.

Bir aritmetik ilerlemenin herhangi dört sayısının karakteristik özelliği, eğer n + m = k + l ise (m, n, k ilerleme sayılarıdır), an + am = ak + al formülüyle ifade edilebilir.

Aritmetik bir ilerlemede gerekli herhangi bir (N'inci) terim kullanılarak bulunabilir. aşağıdaki formül:

Örneğin: bir aritmetik dizide ilk terim (a1) verilir ve üçe eşittir, fark (d) ise dörde eşittir. Bu ilerlemenin kırk beşinci terimini bulmanız gerekiyor. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) formülü, bilinmesi koşuluyla, aritmetik ilerlemenin n'inci terimini k'inci terimlerinden herhangi biri aracılığıyla belirlemenize olanak tanır.

Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı (sonlu bir ilerlemenin ilk n terimi anlamına gelir) şu şekilde hesaplanır:

Sn = (a1+an) n/2.

1. terim de biliniyorsa, hesaplama için başka bir formül uygundur:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

N terim içeren bir aritmetik ilerlemenin toplamı şu şekilde hesaplanır:

Hesaplamalar için formüllerin seçimi problemlerin koşullarına ve ilk verilere bağlıdır.

1,2,3,...,n,...- gibi herhangi bir sayının doğal serisi en basit örnek aritmetik ilerleme.

Aritmetik ilerlemenin yanı sıra kendine has özellikleri ve özellikleri olan geometrik bir ilerleme de vardır.