Farklı tabanlara sahip üçgen prizmanın hacmi. Prizma hacmi

Prizmanın tabanını ayrı ayrı çizelim, yani ABC üçgenini (Şekil 307, a) ve bunu bir dikdörtgen oluşturacak şekilde oluşturalım, bunun için B tepe noktasından geçen KM düz bir çizgisini çizelim || AC ve A ve C noktalarından AF ve CE dikmelerini bu doğruya indiriyoruz. ACEF dikdörtgenini elde ediyoruz. ABC üçgeninin ВD yüksekliğini çizdiğimizde ACEF dikdörtgeninin 4 dik üçgene bölündüğünü görüyoruz. Ayrıca, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD ve \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)KÖTÜ. Bu, ACEF dikdörtgeninin alanının ABC üçgeninin alanının iki katı olduğu, yani 2S'ye eşit olduğu anlamına gelir.

Tabanı ABC olan bu prizmaya ALL ve BAF tabanlı ve yüksekliği olan prizmalar ekleyeceğiz. H(Şekil 307, b). ACEF tabanına sahip dikdörtgen bir paralel boru elde ediyoruz.

Bu paralel yüzü BD ve BB' düz çizgilerinden geçen bir düzlemle parçalara ayırırsak dikdörtgen paralel yüzün BCD, ALL, BAD ve BAF tabanlı 4 prizmadan oluştuğunu görürüz.

Tabanları BCD ve BC olan prizmalar, tabanları eşit (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) ve aynı düzleme dik olan yan kenarları da eşit olduğundan birleştirilebilir. Bu, prizmaların hacimlerinin eşit olduğu anlamına gelir. BAD ve BAF bazlı prizmaların hacimleri de eşittir.

Böylece, ABC tabanlı belirli bir üçgen prizmanın hacminin, ACEF tabanlı dikdörtgen paralel yüzlü bir prizmanın hacminin yarısı kadar olduğu ortaya çıktı.

Dikdörtgen bir paralel borunun hacminin, tabanının alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğunu biliyoruz, yani. bu durumda 2S'ye eşittir. H. Dolayısıyla bu dik üçgen prizmanın hacmi S'ye eşittir. H.

Dik üçgen prizmanın hacmi, tabanının alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

2. Sağ çokgen prizmanın hacmi.

Üçgen prizmaların taban alanlarını S 1, S 2 ve S 3 ile ve belirli bir çokgen prizmanın hacmini V ile göstererek şunu elde ederiz:

V = S 1 H+ S2 H+S3 H, veya

V = (S 1 + S 2 + S 3) H.

Ve son olarak: V = S H.

Aynı şekilde tabanında herhangi bir çokgen bulunan dik prizmanın hacminin formülü elde edilir.

Araç, Herhangi bir dik prizmanın hacmi, tabanının alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

Prizma hacmi

Teorem. Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

Önce bu teoremi üçgen prizma için, sonra da çokgen prizma için kanıtlıyoruz.

1) ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasının AA 1 kenarından BB 1 C 1 C yüzüne paralel bir düzlem ve CC 1 kenarından AA 1 B 1 B yüzüne paralel bir düzlem çizelim (Şekil 95). ; daha sonra prizmanın her iki tabanının düzlemlerini çizilen düzlemlerle kesişene kadar devam ettireceğiz.

Daha sonra, AA 1 C 1 C diyagonal düzlemi tarafından iki üçgen prizmaya (biri bu) bölünmüş paralel uçlu bir BD 1 elde ederiz. Bu prizmaların boyutlarının eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için dik bir bölüm çiziyoruz abcd. Kesit köşegeni olan bir paralelkenar üretecektir. AC iki eşit üçgene bölünmüştür. Bu prizmanın boyutu, tabanı \(\Delta\) olan düz bir prizmaya eşittir. ABC ve yükseklik AA 1 kenarıdır. Başka bir üçgen prizmanın alanı, tabanı \(\Delta\) olan bir düz çizgiye eşittir. adc ve yükseklik AA 1 kenarıdır. Ancak eşit tabanlara ve eşit yüksekliğe sahip iki düz prizma eşittir (çünkü yerleştirildiğinde birleştirilirler), bu da ABCA 1 B 1 C 1 ve ADCA 1 D 1 C 1 prizmalarının boyutlarının eşit olduğu anlamına gelir. Bundan, bu prizmanın hacminin paralel yüzlü BD 1'in hacminin yarısı kadar olduğu sonucu çıkar; bu nedenle prizmanın yüksekliğini H ile belirterek şunu elde ederiz:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Çokgen prizmanın AA 1 kenarından AA 1 C 1 C ve AA 1 D 1 D diyagonal düzlemlerini çizelim (Şekil 96).

Daha sonra bu prizma birkaç üçgen prizmaya bölünecek. Bu prizmaların hacimlerinin toplamı gerekli hacmi oluşturur. Üslerinin alanlarını şu şekilde belirtirsek B 1 , B 2 , B 3 ve H'ye kadar olan toplam yüksekliği elde ederiz:

çokgen prizmanın hacmi = B 1 saat+ B 2 saat+ B 3H =( B 1 + B 2 + B 3)H =

= (ABCDE alanı) H.

Sonuçlar. V, B ve H prizmanın hacmini, taban alanını ve yüksekliğini karşılık gelen birimlerle ifade eden sayılar ise, kanıtlanmış olana göre şunu yazabiliriz:

Prizma hacmi. Problem çözme

Geometri, zihinsel yetilerimizi keskinleştirmenin, doğru düşünmemizi ve akıl yürütmemizi sağlayan en güçlü araçtır.

G. Galileo

Dersin amacı:

• prizmaların hacminin hesaplanmasıyla ilgili problem çözmeyi öğretmek, öğrencilerin prizma ve elemanları hakkında sahip oldukları bilgileri özetlemek ve sistematik hale getirmek, artan karmaşıklıktaki problemleri çözme yeteneğini geliştirmek;
• mantıksal düşünmeyi, bağımsız çalışma yeteneğini, karşılıklı kontrol ve öz kontrol becerilerini, konuşma ve dinleme yeteneğini geliştirmek;
• Duyarlılığı, sıkı çalışmayı ve doğruluğu teşvik ederek bazı yararlı faaliyetlerde sürekli çalışma alışkanlığını geliştirin.

Ders türü: bilgi, beceri ve yeteneklerin uygulanmasına ilişkin ders.

Ekipman: kontrol kartları, medya projektörü, sunum “Ders. Prizma Hacmi”, bilgisayarlar.

Dersler sırasında

• Prizmanın yan kaburgaları (Şekil 2).
• Prizmanın yan yüzeyi (Şekil 2, Şekil 5).
• Prizmanın yüksekliği (Şekil 3, Şekil 4).
• Düz prizma (Şekil 2,3,4).
• Eğik bir prizma (Şekil 5).
• Doğru prizma (Şekil 2, Şekil 3).
• Prizmanın çapraz kesiti (Şekil 2).
• Prizmanın köşegeni (Şekil 2).
• Prizmanın dik kesiti (Şekil 3, Şekil 4).
• Prizmanın yan yüzey alanı.
• Prizmanın toplam yüzey alanı.
• Prizma hacmi.

1. ÖDEV KONTROLÜ (8 dk)

Defterleri değiştirin, slaytlardaki çözümü kontrol edin ve işaretleyin (sorun derlendiyse 10'u işaretleyin)

Resme göre bir problem oluşturun ve çözün. Öğrenci derlediği problemi tahtada savunur. Şekil 6 ve Şekil 7.





Bölüm 2,§3
Sorun.2. Düzgün üçgen prizmanın tüm kenarlarının uzunlukları birbirine eşittir. Yüzey alanı cm2 ise prizmanın hacmini hesaplayın (Şekil 8)



Bölüm 2,§3
Problem 5. ABCA 1B 1C1 dik prizmasının tabanı bir ABC dik üçgenidir (ABC açısı=90°), AB=4cm. ABC üçgeninin çevrelediği dairenin yarıçapı 2,5 cm ve yüksekliği 10 cm olduğuna göre prizmanın hacmini hesaplayınız. (Şekil 9).



Bölüm2,§3
Problem 29. Düzgün dörtgen prizmanın tabanının kenar uzunluğu 3 cm'dir. Prizmanın köşegeni, yan yüzün düzlemi ile 30°'lik bir açı oluşturur. Prizmanın hacmini hesaplayın (Şekil 10).



2. Öğretmen ve sınıf işbirliği (2-3 dk.).

Amaç: teorik ısınmayı özetlemek (öğrenciler not verir) birbirine göre), bir konudaki problemleri çözmenin yollarını incelemek.

3. FİZİKSEL DAKİKA (3 dk)
4. SORUN ÇÖZME (10 dk)

Bu aşamada öğretmen, planimetrik problemleri ve planimetrik formülleri çözmek için tekrarlanan yöntemler üzerine ön çalışma düzenler. Sınıf iki gruba ayrılır, bazıları problem çözer, diğerleri bilgisayarda çalışır. Sonra değişirler. Öğrencilerden 8 numaranın (sözlü olarak), 9 numaranın (sözlü olarak) tamamını çözmeleri istenir. Daha sonra gruplara ayrılarak 14, 30, 32 numaralı problemleri çözmeye başlarlar.

Bölüm 2, §3, sayfa 66-67

Problem 8. Düzgün üçgen prizmanın tüm kenarları birbirine eşittir. Alt tabanın kenarından ve üst tabanın yan tarafının ortasından geçen düzlemin kesit alanı cm'ye eşitse prizmanın hacmini bulun (Şekil 11).



Bölüm 2,§3, sayfa 66-67
Problem 9. Düz prizmanın tabanı karedir ve yan kenarları tabanın kenarının iki katı büyüklüğündedir. Tabanın yanından ve karşı yan kenarın ortasından geçen bir düzlem tarafından prizmanın kesitinin yakınında açıklanan dairenin yarıçapı cm'ye eşitse prizmanın hacmini hesaplayın (Şekil 12)



Bölüm 2,§3, sayfa 66-67
Sorun 14 Düz bir prizmanın tabanı, köşegenlerinden biri kenarına eşit olan bir eşkenar dörtgendir. Prizmanın hacmi eşitse ve tüm yan yüzler kare ise, alt tabanın ana köşegeninden geçen bir düzlemle kesitin çevresini hesaplayın (Şekil 13).



Bölüm 2,§3, sayfa 66-67
Sorun 30 ABCA 1 B 1 C 1, tüm kenarları birbirine eşit olan normal bir üçgen prizmadır, nokta BB 1 kenarının ortasıdır. Prizmanın hacmi eşitse, prizmanın kesitine AOS düzlemi tarafından yazılan dairenin yarıçapını hesaplayın (Şekil 14).



Bölüm 2,§3, sayfa 66-67
Sorun 32.Düzenli bir dörtgen prizmada tabanların alanlarının toplamı yan yüzeyin alanına eşittir. Alt tabanın iki köşesi ile üst tabanın karşı tepe noktasından geçen bir düzlemin prizmanın kesitine yakın çizdiği dairenin çapı 6 cm ise prizmanın hacmini hesaplayınız (Şekil 15).



Öğrenciler problem çözerken cevaplarını öğretmenin gösterdiği cevaplarla karşılaştırırlar. Bu detaylı yorumlarla bir soruna örnek çözüm... Bir öğretmenin “güçlü” öğrencilerle bireysel çalışması (10 dk.).

5. Bağımsız iş bilgisayarda bir test üzerinde çalışan öğrenciler

1. Düzgün üçgen prizmanın tabanının bir kenarı eşittir ve yüksekliği 5'tir. Prizmanın hacmini bulun.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Doğru ifadeyi seçin.

1) Tabanı dik üçgen olan dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

2) Düzenli bir üçgen prizmanın hacmi V = 0,25a 2 h formülüyle hesaplanır - burada a, tabanın kenarı, h ise prizmanın yüksekliğidir.

3) Düz bir prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

4) Düzgün bir dörtgen prizmanın hacmi V = a 2 h formülüyle hesaplanır; burada a tabanın kenarı, h ise prizmanın yüksekliğidir.

5) Düzenli bir altıgen prizmanın hacmi V = 1,5a 2 h formülüyle hesaplanır; burada a, tabanın kenarı, h ise prizmanın yüksekliğidir.

3. Düzgün üçgen prizmanın tabanının bir kenarı eşittir. Alt tabanın kenarı ile üst tabanın karşı köşesi boyunca tabana 45° açıyla geçen bir düzlem çizilir. Prizmanın hacmini bulun.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Dik prizmanın tabanı, bir kenarı 13, köşegenlerinden biri 24 olan bir eşkenar dörtgendir. Yan yüzün köşegeni 14 ise prizmanın hacmini bulun.

Farklı prizmalar birbirinden farklıdır. Aynı zamanda pek çok ortak noktaları var. Prizmanın tabanının alanını bulmak için ne tür olduğunu anlamanız gerekir.

Genel teori

Prizma, kenarları paralelkenar şeklinde olan herhangi bir çokyüzlüdür. Dahası, tabanı üçgenden n-gon'a kadar herhangi bir çokyüzlü olabilir. Üstelik prizmanın tabanları her zaman birbirine eşittir. Yan yüzler için geçerli olmayan şey, boyutlarının önemli ölçüde değişebilmesidir.

Problemleri çözerken sadece prizmanın taban alanıyla karşılaşılmaz. Yan yüzeyin yani taban olmayan tüm yüzlerin bilinmesini gerektirebilir. Tam yüzey, prizmayı oluşturan tüm yüzlerin birleşimi olacaktır.

Bazen sorunlar yükseklikle ilgilidir. Tabanlara diktir. Bir çokyüzlünün köşegeni, aynı yüze ait olmayan herhangi iki köşeyi çiftler halinde birleştiren bir segmenttir.

Düz veya eğimli bir prizmanın taban alanının, yan yüzler ile aralarındaki açıya bağlı olmadığı unutulmamalıdır. Üst ve alt yüzleri aynı rakamlara sahipse alanları eşit olacaktır.

Üçgen prizma

Tabanında üç köşeli bir şekil, yani bir üçgen vardır. Bildiğiniz gibi farklı olabilir. Eğer öyleyse, alanının bacakların çarpımının yarısı kadar belirlendiğini hatırlamak yeterlidir.

Matematiksel gösterim şu şekildedir: S = ½ av.

Tabanın alanını bulmak için Genel görünüm formüller işinize yarayacaktır: Balıkçıl ve kenarın yarısının kendisine çizilen yüksekliğe alındığı formül.

İlk formül şu şekilde yazılmalıdır: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Bu gösterim bir yarı-çevre (p), yani üç kenarın toplamının ikiye bölünmesiyle elde edilir.

İkincisi: S = ½ n a * a.

Düzenli olan bir üçgen prizmanın tabanının alanını bulmak istiyorsanız, üçgenin eşkenar olduğu ortaya çıkar. Bunun bir formülü var: S = ¼ a 2 * √3.

Dörtgen prizma

Tabanı bilinen dörtgenlerden herhangi biridir. Dikdörtgen veya kare, paralel yüzlü veya eşkenar dörtgen olabilir. Her durumda prizmanın tabanının alanını hesaplamak için kendi formülünüze ihtiyacınız olacak.

Taban bir dikdörtgen ise alanı şu şekilde belirlenir: S = ab, burada a, b dikdörtgenin kenarlarıdır.

Dörtgen prizma söz konusu olduğunda, normal prizmanın tabanının alanı kare formülü kullanılarak hesaplanır. Çünkü temelde yatan odur. S = a 2.

Tabanın paralel boru olması durumunda aşağıdaki eşitliğe ihtiyaç duyulacaktır: S = a * n a. Bir paralel yüzün tarafı ve açılardan biri verilir. Daha sonra yüksekliği hesaplamak için ek bir formül kullanmanız gerekecektir: n a = b * sin A. Üstelik A açısı “b” kenarına bitişiktir ve n yüksekliği bu açının karşısındadır.

Prizmanın tabanında bir eşkenar dörtgen varsa, o zaman alanını belirlemek için paralelkenarla aynı formüle ihtiyacınız olacaktır (çünkü bu onun özel bir durumudur). Ancak şunu da kullanabilirsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 ve d 2 eşkenar dörtgenin iki köşegenidir.

Düzenli beşgen prizma

Bu durum, çokgeni, alanlarını bulmanın daha kolay olduğu üçgenlere bölmeyi içerir. Her ne kadar rakamların farklı sayıda köşeleri olsa da.

Prizmanın tabanı düzgün bir beşgen olduğundan beş eşkenar üçgene bölünebilir. Daha sonra prizmanın tabanının alanı, böyle bir üçgenin alanına eşittir (formül yukarıda görülebilir), beş ile çarpılır.

Düzenli altıgen prizma

Beşgen prizma için açıklanan prensibi kullanarak tabanın altıgenini 6 eşkenar üçgene bölmek mümkündür. Böyle bir prizmanın taban alanı formülü öncekine benzer. Sadece altıyla çarpılmalıdır.

Formül şu şekilde görünecektir: S = 3/2 a 2 * √3.

Görevler

Hayır. 1. Düzenli bir düz çizgi verildiğinde, köşegeni 22 cm, polihedronun yüksekliği 14 cm'dir Prizmanın tabanının ve tüm yüzeyin alanını hesaplayın.

Çözüm. Prizmanın tabanı karedir ancak kenarı bilinmemektedir. Değerini prizmanın köşegeni (d) ve yüksekliği (h) ile ilişkili olan karenin köşegeninden (x) bulabilirsiniz. x2 = d2 - n2. Öte yandan bu “x” parçası, kenarları karenin kenarına eşit olan bir üçgenin hipotenüsüdür. Yani x 2 = a 2 + a 2. Böylece a 2 = (d 2 - n 2)/2 olduğu ortaya çıkar.

D yerine 22 sayısını değiştirin ve "n" değerini - 14 ile değiştirin, karenin kenarının 12 cm olduğu ortaya çıkıyor Şimdi sadece tabanın alanını bulun: 12 * 12 = 144 cm 2.

Tüm yüzeyin alanını bulmak için taban alanının iki katını ve yan alanın dört katını eklemeniz gerekir. İkincisi, bir dikdörtgen formülü kullanılarak kolayca bulunabilir: çokyüzlünün yüksekliğini ve tabanın yan tarafını çarpın. Yani 14 ve 12, bu sayı 168 cm2'ye eşit olacaktır. Prizmanın toplam yüzey alanı 960 cm2 olarak ortaya çıkıyor.

Cevap. Prizmanın tabanının alanı 144 cm2'dir. Tüm yüzey 960 cm2'dir.

No.2. Verilen Tabanda kenarı 6 cm olan bir üçgen vardır, bu durumda yan yüzün köşegeni 10 cm'dir Alanları hesaplayın: taban ve yan yüzey.

Çözüm. Prizma düzgün olduğundan tabanı eşkenar üçgendir. Bu nedenle alanı 6'nın karesine, ¼ ile çarpımına ve 3'ün kareköküne eşit olur. Basit bir hesaplama şu sonuca yol açar: 9√3 cm2. Bu prizmanın bir tabanının alanıdır.

Tüm yan yüzler aynıdır ve kenarları 6 ve 10 cm olan dikdörtgenlerdir, alanlarını hesaplamak için bu sayıları çarpmanız yeterlidir. Sonra bunları üçle çarpın çünkü prizmanın tam olarak bu kadar çok yan yüzü var. Daha sonra yaranın yan yüzeyinin alanı 180 cm2 olur.

Cevap. Alanlar: taban - 9√3 cm2, prizmanın yan yüzeyi - 180 cm2.

İÇİNDE Okul müfredatı Bir stereometri kursunda, üç boyutlu şekillerin incelenmesi genellikle basit bir geometrik cisimle (bir prizmanın çokyüzlüsü) başlar. Tabanlarının rolü paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, kenarları dik olan, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgen) şeklinde olan 2 özdeş normal dörtgendir.

Bir prizma neye benziyor?

Düzenli bir dörtgen prizma, tabanları 2 kare olan ve yan yüzleri dikdörtgenlerle temsil edilen bir altıgendir. Bu geometrik şeklin bir başka adı da düz paralel yüzlüdür.

Aşağıda dörtgen prizmayı gösteren bir çizim gösterilmektedir.

Resimde de görebilirsiniz geometrik bir gövdeyi oluşturan en önemli unsurlar. Bunlar şunları içerir:

Bazen geometri problemlerinde kesit kavramıyla karşılaşabilirsiniz. Tanım şu şekilde olacaktır: bir bölüm, bir kesme düzlemine ait hacimsel bir gövdenin tüm noktalarıdır. Bölüm dik olabilir (şeklin kenarlarıyla 90 derecelik bir açıyla kesişir). Dikdörtgenler prizması için, tabanın 2 kenarından ve köşegenlerinden geçen çapraz bir bölüm de dikkate alınır (yapılabilecek maksimum bölüm sayısı 2'dir).

Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse sonuç kesik bir prizma olur.

İndirgenmiş prizmatik elemanları bulmak için çeşitli ilişkiler ve formüller kullanılır. Bazıları planimetri dersinden bilinmektedir (örneğin, bir prizmanın tabanının alanını bulmak için karenin alan formülünü hatırlamak yeterlidir).

Yüzey alanı ve hacim

Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için tabanının ve yüksekliğinin alanını bilmeniz gerekir:

V = Sbas h

Düzenli bir tetrahedral prizmanın tabanı bir kenarı olan bir kare olduğundan A, Formülü daha ayrıntılı biçimde yazabilirsiniz:

V = a²·h

Eşit uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip normal bir prizma olan bir küpten bahsediyorsak, hacim şu şekilde hesaplanır:

Bir prizmanın yan yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için onun gelişimini hayal etmeniz gerekir.

Çizimden yan yüzeyin 4 eşit dikdörtgenden oluştuğu görülmektedir. Alanı, tabanın çevresinin ve şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:

S tarafı = Pozn h

Karenin çevresinin eşit olduğunu dikkate alırsak P = 4a, formül şu şekli alır:

S tarafı = 4a saat

Küp için:

Kenar = 4a²

Prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı eklemeniz gerekir:

Tam = Yan Taraf + 2K Ana

Dörtgen düzenli bir prizmayla ilgili olarak formül şöyle görünür:

Toplam = 4a h + 2a²

Bir küpün yüzey alanı için:

Tam = 6a²

Hacmi veya yüzey alanını bilerek geometrik bir cismin bireysel elemanlarını hesaplayabilirsiniz.

Prizma elemanlarını bulma

Çoğu zaman hacmin verildiği veya yan yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın yan tarafının uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu problemler vardır. Bu gibi durumlarda formüller türetilebilir:

• taban yan uzunluğu: a = Skenar / 4h = √(V / h);
• yükseklik veya yan kaburga uzunluğu: h = Syan / 4a = V / a²;
• taban alanı: Sbas = V/h;
• yan yüz alanı: Taraf gr = Yan taraf / 4.

Çapraz bölümün ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. Bir kare için d = a√2.Öyleyse:

Sdiag = ah√2

Bir prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanın:

dödülü = √(2a² + h²)

Verilen ilişkilerin nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.

Çözümlü problem örnekleri

Matematikte devlet final sınavlarında bulunan bazı görevler.

1. Egzersiz.

Kum, düzenli dörtgen prizma şeklindeki bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir, aynı şekle sahip ancak tabanı iki kat daha uzun olan bir kaba taşırsanız kum seviyesi ne olur?

Aşağıdaki gibi gerekçelendirilmelidir. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi yani içlerindeki hacim aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde belirtebilirsiniz: A. Bu durumda ilk kutu için maddenin hacmi şöyle olacaktır:

V₁ = ha² = 10a²

İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Çünkü V₁ = V₂ ifadeleri eşitleyebiliriz:

10a² = 4ha²

Denklemin her iki tarafını da a² azaltınca şunu elde ederiz:

Sonuç olarak yeni seviye kum olacak h = 10 / 4 = 2,5 santimetre.

Görev 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ doğru bir prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.

Hangi unsurların bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.

Düzenli bir prizmadan bahsettiğimize göre tabanda köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı boyuta sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şekline sahiptir. Üç boyutun da (uzunluk, genişlik ve yükseklik) eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.

Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen bir köşegen aracılığıyla belirlenir:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Toplam yüzey alanı küp formülü kullanılarak bulunur:

Tam = 6a² = 6 6² = 216

Görev 3.

Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir, 1 m² 50 ruble ise, bir odayı duvar kağıdıyla kaplamanın en düşük maliyeti nedir?

Zemin ve tavan kare, yani düzgün dörtgen olduğundan ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğundan, şu sonuca varabiliriz: doğru prizma. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gereklidir.

Odanın uzunluğu bir = √9 = 3 M.

Alan duvar kağıdıyla kaplanacak Kenar = 4 3 2,5 = 30 m².

Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50.30 = 1500 ruble

Bu nedenle dikdörtgen prizma ile ilgili problemleri çözmek için kare ve dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, ayrıca hacim ve yüzey alanını bulma formüllerini bilmek yeterlidir.

Bir küpün alanı nasıl bulunur