Calculați volumul prismei. Aria bazei prismei: de la triunghiular la poligonal

ÎN curiculumul scolarÎntr-un curs de stereometrie, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - poliedrul unei prisme. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri, dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă?

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, ale cărui baze sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru această figură geometrică este paralelipiped drept.

Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară.

Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc un corp geometric. Acestea includ:

Uneori, în problemele de geometrie, puteți întâlni conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric aparținând unui plan de tăiere. Secțiunea poate fi perpendiculară (intersectează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară se ia în considerare și o secțiune diagonală (numărul maxim de secțiuni care pot fi construite este de 2), trecând prin 2 muchii și diagonalele bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru găsirea elementelor prismatice reduse se folosesc diverse relații și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia:

V = Sbas h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a²·h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați dezvoltarea acesteia.

Din desen se poate observa ca suprafata laterala este formata din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Posn h

Ținând cont că perimetrul pătratului este egal cu P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula suprafața totală a prismei, trebuie să adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Full = Sside + 2Smain

În raport cu o prismă regulată patruunghiulară, formula arată astfel:

Stotal = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sbas = V/h;
• zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are secțiunea diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala unei prisme, utilizați formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați relațiile date, puteți exersa și rezolva mai multe sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva sarcini găsite la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o bază de două ori mai lungă?

Ar trebui motivat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea recipient nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți nota lungimea bazei cu A. În acest caz, pentru prima casetă volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Deoarece V₁ = V2, putem echivala expresiile:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă corectă. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că la bază există un pătrat cu diagonala 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași dimensiune, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată printr-o diagonală cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală este găsită folosind formula pentru un cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Zona va fi acoperită cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50·30 = 1500 ruble

Astfel, pentru a rezolva probleme care implică o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Care este volumul unei prisme și cum se găsește

Volumul unei prisme este produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.

Cu toate acestea, știm că la baza prismei poate exista un triunghi, un pătrat sau un alt poliedru.

Prin urmare, pentru a găsi volumul unei prisme, trebuie pur și simplu să calculați aria bazei prismei și apoi să înmulțiți această zonă cu înălțimea ei.

Adică, dacă există un triunghi la baza prismei, atunci mai întâi trebuie să găsiți aria triunghiului. Dacă baza prismei este un pătrat sau alt poligon, atunci mai întâi trebuie să căutați zona pătratului sau a altui poligon.

Trebuie amintit că înălțimea prismei este perpendiculara trasă pe bazele prismei.

Ce este o prismă

Acum să ne amintim definiția unei prisme.

O prismă este un poligon, dintre care două fețe (baze) sunt în planuri paralele, iar toate muchiile situate în afara acestor fețe sunt paralele.

Să-l puneți pur și simplu:

O prismă este orice figură geometrică care are două baze egale și fețe plate.

Numele unei prisme depinde de forma bazei sale. Când baza unei prisme este un triunghi, atunci o astfel de prismă se numește triunghiulară. O prismă poliedrică este o figură geometrică a cărei bază este un poliedru. De asemenea, o prismă este un tip de cilindru.

Ce tipuri de prisme există?

Dacă ne uităm la imaginea de mai sus, vom vedea că prismele sunt drepte, regulate și oblice.

Exercițiu

1. Care prismă se numește corectă?
2. De ce se numește așa?
3. Care este numele unei prisme ale cărei baze sunt poligoane regulate?
4. Care este înălțimea acestei figuri?
5. Cum se numește o prismă ale cărei muchii nu sunt perpendiculare?
6. Definiți o prismă triunghiulară.
7. Poate o prismă să fie un paralelipiped?
8. Ce figură geometrică se numește poligon semiregulat?

Din ce elemente constă o prismă?

O prismă constă din elemente precum o bază inferioară și superioară, fețe laterale, muchii și vârfuri.

Ambele baze ale prismei se află în plane și sunt paralele reciproc.
Fețele laterale ale piramidei sunt paralelograme.
Suprafața laterală a unei piramide este suma fețelor sale laterale.
Laturile comune ale fețelor laterale nu sunt altceva decât marginile laterale ale unei figuri date.
Înălțimea piramidei este segmentul care leagă planurile bazelor și perpendicular pe acestea.

Proprietățile prismei

O figură geometrică, ca o prismă, are o serie de proprietăți. Să aruncăm o privire mai atentă la aceste proprietăți:

În primul rând, bazele unei prisme sunt poligoane egale;
În al doilea rând, fețele laterale ale unei prisme sunt prezentate sub forma unui paralelogram;
În al treilea rând, această figură geometrică are margini paralele și egale;
În al patrulea rând, aria suprafeței totale a prismei este:

Acum să ne uităm la teorema, care oferă formula utilizată pentru a calcula suprafața laterală și demonstrația.

Te-ai gândit vreodată la asta fapt interesant că o prismă poate fi nu numai un corp geometric, ci și alte obiecte din jurul nostru. Chiar și un fulg de zăpadă obișnuit, în funcție de temperatură, se poate transforma într-o prismă de gheață, luând forma unei figuri hexagonale.

Dar cristalele de calcit au un fenomen atât de unic, cum ar fi ruperea în fragmente și ia forma unui paralelipiped. Și ceea ce este cel mai uimitor este că, indiferent cât de mici sunt zdrobite cristalele de calcit, rezultatul este întotdeauna același: se transformă în paralelipipede minuscule.

Se dovedește că prisma a câștigat popularitate nu numai în matematică, demonstrându-și corpul geometric, ci și în domeniul artei, deoarece ea stă la baza picturilor create de artiști atât de mari precum P. Picasso, Braque, Griss și alții.

Prisme diferite sunt diferite una de cealaltă. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi zona bazei prismei, va trebui să înțelegeți ce tip are.

Teoria generala

O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, baza sa poate fi orice poliedru - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale este faptul că acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate necesita cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori problemele implică înălțimea. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria de bază a unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre pe fețele de sus și de jos, atunci zonele lor vor fi egale.

Prisma triunghiulara

Are la baza o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, poate fi diferit. Dacă da, este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notația matematică arată astfel: S = ½ av.

Pentru a afla zona bazei în vedere generala, vor fi de folos formulele: Stârc și cel în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.

Prima formulă trebuie scrisă după cum urmează: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Această notație conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.

Al doilea: S = ½ n a * a.

Dacă trebuie să cunoașteți zona bazei prisma triunghiulara, care este regulat, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Există o formulă pentru aceasta: S = ¼ a 2 * √3.

Prismă patruunghiulară

Baza sa este oricare dintre patrulaturile cunoscute. Poate fi dreptunghi sau pătrat, paralelipiped sau romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = ab, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.

Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la temelie. S = a 2.

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n a. Se întâmplă să fie date latura unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: n a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea n este opusă acestui unghi.

Dacă la baza prismei există un romb, atunci pentru a-i determina aria veți avea nevoie de aceeași formulă ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar poți folosi și asta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.

Prismă pentagonală regulată

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să aibă un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.

Prismă hexagonală regulată

Folosind principiul descris pentru o prismă pentagonală, este posibilă împărțirea hexagonului bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria de bază a unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai că ar trebui înmulțit cu șase.

Formula va arăta astfel: S = 3/2 a 2 * √3.

Sarcini

Nr. 1. Având în vedere o linie dreaptă regulată, diagonala acesteia este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.

Soluţie. Baza prismei este un pătrat, dar latura sa este necunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (h). x 2 = d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 = a 2 + a 2. Astfel, rezultă că a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați doar aria bazei: 12 * 12 = 144 cm 2.

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori suprafața de bază și să multiplicați de patru ori zona laterală. Acesta din urmă poate fi găsit cu ușurință folosind formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei se dovedește a fi de 960 cm 2.

Răspuns. Aria bazei prismei este de 144 cm 2. Toata suprafata este de 960 cm2.

Nr 2. Având în vedere La bază există un triunghi cu latura de 6 cm.În acest caz, diagonala feței laterale este de 10 cm.Calculează ariile: baza și suprafața laterală.

Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat, înmulțit cu ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm. Pentru a calcula ariile lor, trebuie doar să înmulțiți aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale a rănii se dovedește a fi de 180 cm 2.

Răspuns. Zone: baza - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.

Volumul prismei. Rezolvarea problemelor

Geometria este cel mai puternic mijloc de a ne ascuți facultățile mentale și de a ne permite să gândim și să raționăm corect.

G. Galileo

Scopul lecției:

• preda rezolvarea problemelor de calcul al volumului prismelor, rezumă și sistematizează informațiile pe care elevii le au despre o prismă și elementele acesteia, dezvoltă capacitatea de a rezolva probleme de complexitate crescută;
• dezvolta gândirea logică, capacitatea de a lucra independent, abilitățile de control reciproc și autocontrol, capacitatea de a vorbi și de a asculta;
• să dezvolte obiceiul de angajare constantă într-o activitate utilă, încurajând receptivitatea, munca grea și acuratețea.

Tipul de lecție: lecție despre aplicarea cunoștințelor, abilităților și abilităților.

Echipament: carduri de control, proiector media, prezentare „Lecția. Prism Volume”, computere.

În timpul orelor

• Nervurile laterale ale prismei (Fig. 2).
• Suprafața laterală a prismei (Figura 2, Figura 5).
• Înălțimea prismei (Fig. 3, Fig. 4).
• Prismă dreaptă (Figura 2,3,4).
• O prismă înclinată (Figura 5).
• Prisma corectă(Figura 2, Figura 3).
• Secțiunea diagonală a prismei (Figura 2).
• Diagonala prismei (Figura 2).
• Secțiune perpendiculară a prismei (Fig. 3, Fig. 4).
• Suprafața laterală a prismei.
• Suprafața totală a prismei.
• Volumul prismei.

1. VERIFICAREA TEMEI (8 min)

Schimbați caietele, verificați soluția pe diapozitive și marcați-o (marcați 10 dacă problema a fost compilată)

Intocmește o problemă pe baza imaginii și rezolvă-o. Elevul apără problema pe care a întocmit-o la consiliu. Figura 6 și Figura 7.





Capitolul 2,§3
Problema.2. Lungimile tuturor marginilor unei prisme triunghiulare regulate sunt egale între ele. Calculați volumul prismei dacă suprafața acesteia este cm 2 (Fig. 8)



Capitolul 2,§3
Problema 5. Baza prismei drepte ABCA 1B 1C1 este un triunghi dreptunghic ABC (unghi ABC=90°), AB=4cm. Calculați volumul prismei dacă raza cercului circumscris triunghiului ABC este de 2,5 cm și înălțimea prismei este de 10 cm. (Figura 9).



Capitolul2,§3
Problema 29. Lungimea laturii bazei unei prisme patrulatere regulate este de 3 cm. Diagonala prismei formează un unghi de 30° cu planul feței laterale. Calculați volumul prismei (Figura 10).



2. Colaborare între profesor și clasă (2-3 min.).

Scop: însumarea rezultatelor încălzirii teoretice (elevii se notează unii pe alții), învățarea cum să rezolve problemele pe tema.

3. MINUT FIZIC (3 min)
4. REZOLVARE PROBLEME (10 min)

În această etapă, profesorul organizează lucru frontal privind repetarea metodelor de rezolvare a problemelor planimetrice și a formulelor planimetrice. Clasa este împărțită în două grupe, unii rezolvă probleme, alții lucrează la calculator. Apoi se schimbă. Elevii sunt rugați să rezolve toate Nr. 8 (oral), Nr. 9 (oral). Apoi se împart în grupuri și trec la rezolvarea problemelor nr. 14, nr. 30, nr. 32.

Capitolul 2, §3, paginile 66-67

Problema 8. Toate muchiile unei prisme triunghiulare regulate sunt egale între ele. Aflați volumul prismei dacă aria secțiunii transversale a planului care trece prin marginea bazei inferioare și mijlocul laturii bazei superioare este egală cu cm (Fig. 11).



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 9. Baza unei prisme drepte este un pătrat, iar marginile sale laterale sunt de două ori mai mari decât latura bazei. Calculați volumul prismei dacă raza cercului descris în apropierea secțiunii transversale a prismei de un plan care trece prin latura bazei și mijlocul muchiei laterale opuse este egală cu cm (Fig. 12)



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 14 Baza unei prisme drepte este un romb, una dintre diagonalele căruia este egală cu latura sa. Calculați perimetrul secțiunii cu un plan care trece prin diagonala majoră a bazei inferioare, dacă volumul prismei este egal și toate fețele laterale sunt pătrate (Fig. 13).



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 30 ABCA 1 B 1 C 1 este o prismă triunghiulară obișnuită, toate marginile care sunt egale între ele, punctul este mijlocul muchiei BB 1. Calculați raza cercului înscris în secțiunea prismei de planul AOS, dacă volumul prismei este egal cu (Fig. 14).



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 32.Într-o prismă patruunghiulară regulată, suma ariilor bazelor este egală cu aria suprafeței laterale. Calculați volumul prismei dacă diametrul cercului descris în apropierea secțiunii transversale a prismei de un plan care trece prin cele două vârfuri ale bazei inferioare și vârful opus al bazei superioare este de 6 cm (Fig. 15).



În timpul rezolvării problemelor, elevii își compară răspunsurile cu cele prezentate de profesor. Acesta este un exemplu de soluție la o problemă cu comentarii detaliate... Lucrul individual al unui profesor cu elevi „puternici” (10 min.).

5. Muncă independentă elevii care lucrează la un test la calculator

1. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu , iar înălțimea este 5. Aflați volumul prismei.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Alegeți afirmația corectă.

1) Volumul unei prisme drepte a cărei bază este un triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea.

2) Volumul unei prisme triunghiulare regulate se calculează prin formula V = 0,25a 2 h - unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

3) Volumul unei prisme drepte este egal cu jumătate din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

4) Volumul unei prisme patruunghiulare obișnuite se calculează cu formula V = a 2 h-unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

5) Volumul unei prisme hexagonale regulate se calculează cu formula V = 1,5a 2 h, unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

3. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu . Un plan este trasat prin latura bazei inferioare și vârful opus al bazei superioare, care trece la un unghi de 45° față de bază. Aflați volumul prismei.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Baza unei prisme drepte este un romb, a cărui latură este 13, iar una dintre diagonale este 24. Aflați volumul prismei dacă diagonala feței laterale este 14.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul contine 5 subiecte mari, 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.