Volumul unei formule de prisme triunghiulare regulate. Volumul unei prisme triunghiulare: formula de tip general și formula pentru o prismă regulată

PRISMA DIRECTA. SUPRAFAȚA ȘI VOLUMUL PRISMEI DIRECTE.

§ 68. VOLUMUL UNEI PRISME DIRECTE.

1. Volum direct prisma triunghiulara.

Să presupunem că trebuie să găsim volumul unei prisme triunghiulare drepte, a cărei aria bazei este egală cu S și înălțimea este egală cu h= AA" = = BB" = SS" (desenul 306).

Să desenăm separat baza prismei, adică triunghiul ABC (Fig. 307, a), și să o construim până la un dreptunghi, pentru care trasăm o dreaptă KM prin vârful B || AC și din punctele A și C coborâm perpendicularele AF și CE pe această dreaptă. Obținem dreptunghiul ACEF. Desenând înălțimea ВD a triunghiului ABC, vedem că dreptunghiul ACEF este împărțit în 4 triunghiuri dreptunghiulare. în plus /\ TOATE = /\ BCD și /\ VAF = /\ VAD. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului ACEF este de două ori aria triunghiului ABC, adică egală cu 2S.

La aceasta prisma cu baza ABC vom atasa prisme cu baze ALL si BAF si inaltime h(Figura 307, b). Obținem un paralelipiped dreptunghiular cu bază
ACEF.

Dacă disecăm acest paralelipiped cu un plan care trece prin drepte BD și BB”, vom vedea că paralelipipedul dreptunghiular este format din 4 prisme cu baze.
BCD, ALL, BAD și BAF.

Prismele cu bazele BCD și VSE pot fi combinate, deoarece bazele lor sunt egale ( /\ ВСD = /\ BSE) și marginile lor laterale sunt de asemenea egale, care sunt perpendiculare pe același plan. Aceasta înseamnă că volumele acestor prisme sunt egale. De asemenea, volumele prismelor cu bazele BAD și BAF sunt egale.

Astfel, se dovedește că volumul unei prisme triunghiulare date cu o bază
ABC este jumătate din volumul unui paralelipiped dreptunghic cu bază ACEF.

Știm că volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acestuia, adică în acest caz este egal cu 2S h. Prin urmare, volumul acestei prisme triunghiulare drepte este egal cu S h.

Volumul unei prisme triunghiulare drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.

2. Volumul unei prisme poligonale drepte.

Pentru a afla volumul unei prisme poligonale drepte, de exemplu una pentagonală, cu aria bazei S și înălțimea h, să-l împărțim în prisme triunghiulare (Fig. 308).

Notând ariile bazei prismelor triunghiulare cu S 1, S 2 și S 3 și volumul unei prisme poligonale date cu V, obținem:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, sau
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Și în sfârșit: V = S h.

În același mod, se derivă formula pentru volumul unei prisme drepte cu orice poligon la bază.

Mijloace, Volumul oricărei prisme drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.

Exerciții.

1. Calculați volumul unei prisme drepte cu un paralelogram la bază folosind următoarele date:

2. Calculați volumul unei prisme drepte cu un triunghi la bază folosind următoarele date:

3. Calculați volumul unei prisme drepte având la bază un triunghi echilateral cu latura de 12 cm (32 cm, 40 cm). Inaltimea prismei 60 cm.

4. Calculați volumul unei prisme drepte care are la bază un triunghi dreptunghic cu catete de 12 cm și 8 cm (16 cm și 7 cm; 9 m și 6 m). Înălțimea prismei este de 0,3 m.

5. Calculati volumul unei prisme drepte care are la baza un trapez cu laturile paralele de 18 cm si 14 cm si inaltimea de 7,5 cm.Inaltimea prismei este de 40 cm.

6. Calculați volumul sălii dvs. de clasă (sala de educație fizică, camera dvs.).

7. Suprafața totală a cubului este de 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Calculați volumul acestui cub.

8. Lungimea unei cărămizi de construcție este de 25,0 cm, lățimea ei este de 12,0 cm, grosimea ei este de 6,5 cm. a) Calculați volumul acesteia, b) Determinați-i greutatea dacă 1 centimetru cub de cărămidă cântărește 1,6 g.

9. De câte bucăți de cărămizi de construcție vor fi necesare pentru a construi un zid de cărămidă solidă în formă de paralelipiped dreptunghiular de 12 m lungime, 0,6 m lățime și 10 m înălțime? (Dimensiunile cărămizii din exercițiul 8.)

10. Lungimea unei plăci tăiate curat este de 4,5 m, lățime - 35 cm, grosime - 6 cm a) Calculați volumul b) Determinați greutatea acesteia dacă un decimetru cub al plăcii cântărește 0,6 kg.

11. Câte tone de fân pot fi stivuite într-un fân acoperit cu un acoperiș în fronton (Fig. 309), dacă lungimea fânului este de 12 m, lățimea este de 8 m, înălțimea este de 3,5 m și înălțimea coama acoperișului este de 1,5 m? (Luați greutatea specifică a fânului ca 0,2.)

12. Se cere saparea unui sant de 0,8 km lungime; în secțiune șanțul să aibă forma unui trapez cu baze de 0,9 m și 0,4 m, iar adâncimea șanțului să fie de 0,5 m (desenul 310). Câți metri cubi de pământ vor trebui îndepărtați?

Volumul prismei. Rezolvarea problemelor

Geometria este cel mai puternic mijloc de a ne ascuți facultățile mentale și de a ne permite să gândim și să raționăm corect.

G. Galileo

Scopul lecției:

• preda rezolvarea problemelor de calcul al volumului prismelor, rezumă și sistematizează informațiile pe care elevii le au despre o prismă și elementele acesteia, dezvoltă capacitatea de a rezolva probleme de complexitate crescută;
• dezvolta gândirea logică, capacitatea de a lucra independent, abilitățile de control reciproc și autocontrol, capacitatea de a vorbi și de a asculta;
• să dezvolte obiceiul de angajare constantă într-o activitate utilă, încurajând receptivitatea, munca grea și acuratețea.

Tipul de lecție: lecție despre aplicarea cunoștințelor, abilităților și abilităților.

Echipament: carduri de control, proiector media, prezentare „Lecția. Prism Volume”, computere.

În timpul orelor

• Nervurile laterale ale prismei (Fig. 2).
• Suprafața laterală a prismei (Figura 2, Figura 5).
• Înălțimea prismei (Fig. 3, Fig. 4).
• Prismă dreaptă (Figura 2,3,4).
• O prismă înclinată (Figura 5).
• Prisma corectă (Fig. 2, Fig. 3).
• Secțiunea diagonală a prismei (Figura 2).
• Diagonala prismei (Figura 2).
• Secțiune perpendiculară a prismei (Fig. 3, Fig. 4).
• Suprafața laterală a prismei.
• Suprafața totală a prismei.
• Volumul prismei.

1. VERIFICAREA TEMEI (8 min)

Schimbați caietele, verificați soluția pe diapozitive și marcați-o (marcați 10 dacă problema a fost compilată)

Intocmește o problemă pe baza imaginii și rezolvă-o. Elevul apără problema pe care a întocmit-o la consiliu. Figura 6 și Figura 7.





Capitolul 2,§3
Problema.2. Lungimile tuturor marginilor unei prisme triunghiulare regulate sunt egale între ele. Calculați volumul prismei dacă suprafața acesteia este cm 2 (Fig. 8)



Capitolul 2,§3
Problema 5. Baza unei prisme drepte ABCA 1B 1C1 este un triunghi dreptunghic ABC (unghi ABC=90°), AB=4cm. Calculați volumul prismei dacă raza cercului circumscris triunghiului ABC este de 2,5 cm și înălțimea prismei este de 10 cm. (Figura 9).



Capitolul2,§3
Problema 29. Lungimea laturii bazei unei prisme patrulatere regulate este de 3 cm. Diagonala prismei formează un unghi de 30° cu planul feței laterale. Calculați volumul prismei (Figura 10).



2. Colaborare între profesor și clasă (2-3 min.).

Scop: rezumarea încălzirii teoretice (elevii acordă note reciproc), studierea modalităților de rezolvare a problemelor pe o temă.

3. MINUT FIZIC (3 min)
4. REZOLVARE PROBLEME (10 min)

În această etapă, profesorul organizează lucru frontal privind repetarea metodelor de rezolvare a problemelor planimetrice și a formulelor planimetrice. Clasa este împărțită în două grupe, unii rezolvă probleme, alții lucrează la calculator. Apoi se schimbă. Elevii sunt rugați să rezolve toate Nr. 8 (oral), Nr. 9 (oral). Apoi se împart în grupuri și trec la rezolvarea problemelor nr. 14, nr. 30, nr. 32.

Capitolul 2, §3, paginile 66-67

Problema 8. Toate muchiile unei prisme triunghiulare regulate sunt egale între ele. Găsiți volumul prismei dacă aria secțiunii transversale a planului care trece prin marginea bazei inferioare și mijlocul laturii bazei superioare este egală cu cm (Fig. 11).



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 9. Baza unei prisme drepte este un pătrat, iar marginile sale laterale sunt de două ori mai mari decât latura bazei. Calculați volumul prismei dacă raza cercului descris în apropierea secțiunii transversale a prismei de un plan care trece prin latura bazei și mijlocul muchiei laterale opuse este egală cu cm (Fig. 12)



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 14 Baza unei prisme drepte este un romb, una dintre diagonalele căruia este egală cu latura sa. Calculați perimetrul secțiunii cu un plan care trece prin diagonala majoră a bazei inferioare, dacă volumul prismei este egal și toate fețele laterale sunt pătrate (Fig. 13).



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 30 ABCA 1 B 1 C 1 este o prismă triunghiulară obișnuită, toate marginile care sunt egale între ele, punctul este mijlocul muchiei BB 1. Calculați raza cercului înscris în secțiunea prismei de planul AOS, dacă volumul prismei este egal cu (Fig. 14).



Capitolul 2,§3, pag. 66-67
Problema 32.Într-o prismă patruunghiulară regulată, suma ariilor bazelor este egală cu aria suprafeței laterale. Calculați volumul prismei dacă diametrul cercului descris în apropierea secțiunii transversale a prismei de un plan care trece prin cele două vârfuri ale bazei inferioare și vârful opus al bazei superioare este de 6 cm (Fig. 15).



În timpul rezolvării problemelor, elevii își compară răspunsurile cu cele prezentate de profesor. Acesta este un exemplu de soluție la o problemă cu comentarii detaliate... Lucrul individual al unui profesor cu elevi „puternici” (10 min.).

5. Muncă independentă elevii care lucrează la un test la calculator

1. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu , iar înălțimea este 5. Aflați volumul prismei.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Alegeți afirmația corectă.

1) Volumul unei prisme drepte a cărei bază este un triunghi dreptunghic este egal cu produsul dintre aria bazei și înălțimea.

2) Volumul unei prisme triunghiulare regulate se calculează prin formula V = 0,25a 2 h - unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

3) Volumul unei prisme drepte este egal cu jumătate din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

4) Volumul unei prisme patruunghiulare obișnuite se calculează cu formula V = a 2 h-unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

5) Volumul unei prisme hexagonale regulate se calculează cu formula V = 1,5a 2 h, unde a este latura bazei, h este înălțimea prismei.

3. Latura bazei unei prisme triunghiulare regulate este egală cu . Un plan este trasat prin latura bazei inferioare și vârful opus al bazei superioare, care trece la un unghi de 45° față de bază. Aflați volumul prismei.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Baza unei prisme drepte este un romb, a cărui latură este 13, iar una dintre diagonale este 24. Aflați volumul prismei dacă diagonala feței laterale este 14.

Să desenăm separat baza prismei, adică triunghiul ABC (Fig. 307, a), și să o construim până la un dreptunghi, pentru care trasăm o dreaptă KM prin vârful B || AC și din punctele A și C coborâm perpendicularele AF și CE pe această dreaptă. Obținem dreptunghiul ACEF. Desenând înălțimea ВD a triunghiului ABC, vedem că dreptunghiul ACEF este împărțit în 4 triunghiuri dreptunghiulare. Mai mult, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD și \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Aceasta înseamnă că aria dreptunghiului ACEF este de două ori aria triunghiului ABC, adică egală cu 2S.

La aceasta prisma cu baza ABC vom atasa prisme cu baze ALL si BAF si inaltime h(Fig. 307, b). Obținem un paralelipiped dreptunghiular cu bază ACEF.

Dacă disecăm acest paralelipiped cu un plan care trece prin drepte BD și BB’, vom vedea că paralelipipedul dreptunghiular este format din 4 prisme cu bazele BCD, ALL, BAD și BAF.

Prismele cu bazele BCD și BC pot fi combinate, deoarece bazele lor sunt egale (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) și marginile lor laterale, care sunt perpendiculare pe același plan, sunt de asemenea egale. Aceasta înseamnă că volumele acestor prisme sunt egale. De asemenea, volumele prismelor cu bazele BAD și BAF sunt egale.

Astfel, se dovedește că volumul unei prisme triunghiulare date cu baza ABC este jumătate din volumul unui paralelipiped dreptunghic cu baza ACEF.

Știm că volumul unui paralelipiped dreptunghiular este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acestuia, adică în acest caz este egal cu 2S h. Prin urmare, volumul acestei prisme triunghiulare drepte este egal cu S h.

Volumul unei prisme triunghiulare drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.

2. Volumul unei prisme poligonale drepte.

Notând ariile bazei prismelor triunghiulare cu S 1, S 2 și S 3 și volumul unei prisme poligonale date cu V, obținem:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, sau

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Și în sfârșit: V = S h.

În același mod, se derivă formula pentru volumul unei prisme drepte cu orice poligon la bază.

Mijloace, Volumul oricărei prisme drepte este egal cu produsul dintre suprafața bazei sale și înălțimea acesteia.

Volumul prismei

Teorema. Volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Mai întâi demonstrăm această teoremă pentru o prismă triunghiulară și apoi pentru una poligonală.

1) Să desenăm (Fig. 95) prin muchia AA 1 a prismei triunghiulare ABCA 1 B 1 C 1 un plan paralel cu faţa BB 1 C 1 C, iar prin muchia CC 1 un plan paralel cu faţa AA 1 B 1 B ; apoi vom continua planurile ambelor baze ale prismei până când acestea se intersectează cu planurile desenate.

Apoi obținem un paralelipiped BD 1, care este împărțit de planul diagonal AA 1 C 1 C în două prisme triunghiulare (dintre care una este aceasta). Să demonstrăm că aceste prisme au dimensiuni egale. Pentru a face acest lucru, desenăm o secțiune perpendiculară abcd. Secțiunea transversală va produce un paralelogram a cărui diagonală ac este împărțit în două triunghiuri egale. Această prismă este egală ca dimensiune cu o prismă dreaptă a cărei bază este \(\Delta\) abc, iar înălțimea este muchia AA 1. O altă prismă triunghiulară are o suprafață egală cu o linie dreaptă a cărei bază este \(\Delta\) adc, iar înălțimea este muchia AA 1. Dar două prisme drepte cu baze egale și înălțimi egale sunt egale (pentru că atunci când sunt introduse sunt combinate), ceea ce înseamnă că prismele ABCA 1 B 1 C 1 și ADCA 1 D 1 C 1 au dimensiuni egale. Rezultă de aici că volumul acestei prisme este jumătate din volumul paralelipipedului BD 1; prin urmare, notând înălțimea prismei cu H, obținem:

$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Să desenăm plane diagonale AA 1 C 1 C şi AA 1 D 1 D prin muchia AA 1 a prismei poligonale (Fig. 96).

Apoi această prismă va fi tăiată în mai multe prisme triunghiulare. Suma volumelor acestor prisme constituie volumul necesar. Dacă notăm zonele bazelor lor prin b 1 , b 2 , b 3 și înălțimea totală prin H, obținem:

volumul prismei poligonale = b 1H+ b 2H+ b 3 H =( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (zona ABCDE) H.

Consecinţă. Dacă V, B și H sunt numere care exprimă în unitățile corespunzătoare volumul, aria bazei și înălțimea prismei, atunci, conform celor dovedite, putem scrie:

ÎN curiculumul scolarÎntr-un curs de stereometrie, studiul figurilor tridimensionale începe de obicei cu un corp geometric simplu - poliedrul unei prisme. Rolul bazelor sale este îndeplinit de 2 poligoane egale situate în planuri paralele. Un caz special este o prismă patruunghiulară obișnuită. Bazele sale sunt 2 patrulatere regulate identice, față de care laturile sunt perpendiculare, având formă de paralelograme (sau dreptunghiuri, dacă prisma nu este înclinată).

Cum arată o prismă?

O prismă patruunghiulară obișnuită este un hexagon, ale cărui baze sunt 2 pătrate, iar fețele laterale sunt reprezentate prin dreptunghiuri. Un alt nume pentru această figură geometrică este paralelipiped drept.

Mai jos este prezentat un desen care prezintă o prismă pătrangulară.

Se vede si in poza cele mai importante elemente care alcătuiesc un corp geometric. Acestea includ:

Uneori, în problemele de geometrie, puteți întâlni conceptul de secțiune. Definiția va suna astfel: o secțiune reprezintă toate punctele unui corp volumetric aparținând unui plan de tăiere. Secțiunea poate fi perpendiculară (intersectează marginile figurii la un unghi de 90 de grade). Pentru o prismă dreptunghiulară se ia în considerare și o secțiune diagonală (numărul maxim de secțiuni care pot fi construite este de 2), trecând prin 2 muchii și diagonalele bazei.

Dacă secțiunea este desenată în așa fel încât planul de tăiere să nu fie paralel nici cu bazele, nici cu fețele laterale, rezultatul este o prismă trunchiată.

Pentru găsirea elementelor prismatice reduse se folosesc diverse relații și formule. Unele dintre ele sunt cunoscute din cursul planimetriei (de exemplu, pentru a găsi aria bazei unei prisme, este suficient să amintim formula pentru aria unui pătrat).

Suprafața și volumul

Pentru a determina volumul unei prisme folosind formula, trebuie să cunoașteți aria bazei și înălțimea acesteia:

V = Sbas h

Deoarece baza unei prisme tetraedrice obișnuite este un pătrat cu latura A, Puteți scrie formula într-o formă mai detaliată:

V = a²·h

Dacă vorbim despre un cub - o prismă obișnuită cu lungime, lățime și înălțime egale, volumul se calculează după cum urmează:

Pentru a înțelege cum să găsiți suprafața laterală a unei prisme, trebuie să vă imaginați dezvoltarea acesteia.

Din desen se poate observa ca suprafata laterala este formata din 4 dreptunghiuri egale. Aria sa este calculată ca produsul dintre perimetrul bazei și înălțimea figurii:

Sside = Posn h

Ținând cont că perimetrul pătratului este egal cu P = 4a, formula ia forma:

Sside = 4a h

Pentru cub:

Sside = 4a²

Pentru a calcula aria suprafeței totale a prismei, trebuie să adăugați 2 zone de bază în zona laterală:

Full = Sside + 2Smain

În raport cu o prismă regulată patruunghiulară, formula arată astfel:

Stotal = 4a h + 2a²

Pentru suprafața unui cub:

Plin = 6a²

Cunoscând volumul sau suprafața, puteți calcula elementele individuale ale unui corp geometric.

Găsirea elementelor prisme

Adesea apar probleme in care se da volumul sau se cunoaste valoarea suprafetei laterale, unde este necesar sa se determine lungimea laturii bazei sau inaltimea. În astfel de cazuri, formulele pot fi derivate:

• lungimea laturii de baza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• înălțimea sau lungimea coastei laterale: h = Latura / 4a = V / a²;
• suprafata de baza: Sbas = V/h;
• zona feței laterale: Latură gr = Sside / 4.

Pentru a determina câtă zonă are secțiunea diagonală, trebuie să cunoașteți lungimea diagonalei și înălțimea figurii. Pentru un pătrat d = a√2. Prin urmare:

Sdiag = ah√2

Pentru a calcula diagonala unei prisme, utilizați formula:

dprize = √(2a² + h²)

Pentru a înțelege cum să aplicați relațiile date, puteți exersa și rezolva mai multe sarcini simple.

Exemple de probleme cu soluții

Iată câteva sarcini găsite la examenele finale de stat la matematică.

Exercitiul 1.

Nisipul este turnat într-o cutie în formă de prismă patruunghiulară obișnuită. Înălțimea nivelului său este de 10 cm.Care va fi nivelul nisipului dacă îl mutați într-un recipient de aceeași formă, dar cu o bază de două ori mai lungă?

Ar trebui motivat după cum urmează. Cantitatea de nisip din primul și al doilea recipient nu s-a schimbat, adică volumul său în ele este același. Puteți nota lungimea bazei cu A. În acest caz, pentru prima casetă volumul substanței va fi:

V₁ = ha² = 10a²

Pentru a doua cutie, lungimea bazei este 2a, dar înălțimea nivelului nisipului este necunoscută:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Deoarece V₁ = V2, putem echivala expresiile:

10a² = 4ha²

După reducerea ambelor părți ale ecuației cu a², obținem:

Ca urmare nou nivel nisipul va fi h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Sarcina 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ este o prismă corectă. Se știe că BD = AB₁ = 6√2. Găsiți suprafața totală a corpului.

Pentru a înțelege mai ușor ce elemente sunt cunoscute, puteți desena o figură.

Deoarece vorbim despre o prismă regulată, putem concluziona că la bază există un pătrat cu diagonala 6√2. Diagonala feței laterale are aceeași dimensiune, prin urmare, fața laterală are și forma unui pătrat egal cu baza. Se dovedește că toate cele trei dimensiuni - lungime, lățime și înălțime - sunt egale. Putem concluziona că ABCDA₁B₁C₁D₁ este un cub.

Lungimea oricărei muchii este determinată printr-o diagonală cunoscută:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Suprafața totală este găsită folosind formula pentru un cub:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Sarcina 3.

Camera este in renovare. Se știe că podeaua are forma unui pătrat cu o suprafață de 9 m². Înălțimea camerei este de 2,5 m. Care este cel mai mic cost al tapetării unei camere dacă 1 m² costă 50 de ruble?

Deoarece podeaua și tavanul sunt pătrate, adică patrulatere regulate, iar pereții săi sunt perpendiculari pe suprafețele orizontale, putem concluziona că este o prismă regulată. Este necesar să se determine aria suprafeței sale laterale.

Lungimea camerei este a = √9 = 3 m.

Zona va fi acoperită cu tapet Latura = 4 3 2,5 = 30 m².

Cel mai mic cost al tapetului pentru această cameră va fi 50·30 = 1500 ruble

Astfel, pentru a rezolva probleme care implică o prismă dreptunghiulară, este suficient să poți calcula aria și perimetrul unui pătrat și dreptunghi, precum și să cunoști formulele de aflare a volumului și a suprafeței.

Cum să găsiți aria unui cub

Prisme diferite sunt diferite una de cealaltă. În același timp, au multe în comun. Pentru a găsi zona bazei prismei, va trebui să înțelegeți ce tip are.

Teoria generala

O prismă este orice poliedru ale cărui laturi au forma unui paralelogram. Mai mult, baza sa poate fi orice poliedru - de la un triunghi la un n-gon. În plus, bazele prismei sunt întotdeauna egale între ele. Ceea ce nu se aplică fețelor laterale este faptul că acestea pot varia semnificativ în dimensiune.

La rezolvarea problemelor, nu se întâlnește numai zona bazei prismei. Poate necesita cunoașterea suprafeței laterale, adică a tuturor fețelor care nu sunt baze. Suprafața completă va fi unirea tuturor fețelor care alcătuiesc prisma.

Uneori problemele implică înălțimea. Este perpendicular pe baze. Diagonala unui poliedru este un segment care leagă în perechi oricare două vârfuri care nu aparțin aceleiași fețe.

Trebuie remarcat faptul că aria de bază a unei prisme drepte sau înclinate nu depinde de unghiul dintre ele și fețele laterale. Dacă au aceleași cifre pe fețele de sus și de jos, atunci zonele lor vor fi egale.

Prisma triunghiulara

Are la baza o figură cu trei vârfuri, adică un triunghi. După cum știți, poate fi diferit. Dacă da, este suficient să ne amintim că aria sa este determinată de jumătate din produsul picioarelor.

Notația matematică arată astfel: S = ½ av.

Pentru a afla zona bazei în vedere generala, vor fi de folos formulele: Stârc și cel în care jumătate din latură este dusă la înălțimea trasă la ea.

Prima formulă trebuie scrisă după cum urmează: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Această notație conține un semiperimetru (p), adică suma a trei laturi împărțită la două.

Al doilea: S = ½ n a * a.

Dacă doriți să aflați aria bazei unei prisme triunghiulare, care este regulată, atunci triunghiul se dovedește a fi echilateral. Există o formulă pentru aceasta: S = ¼ a 2 * √3.

Prismă patruunghiulară

Baza sa este oricare dintre patrulaturile cunoscute. Poate fi dreptunghi sau pătrat, paralelipiped sau romb. În fiecare caz, pentru a calcula aria bazei prismei, veți avea nevoie de propria formulă.

Dacă baza este un dreptunghi, atunci aria sa se determină astfel: S = ab, unde a, b sunt laturile dreptunghiului.

Când vine vorba de o prismă patruunghiulară, aria bazei unei prisme obișnuite este calculată folosind formula pentru un pătrat. Pentru că el este cel care stă la temelie. S = a 2.

În cazul în care baza este un paralelipiped, va fi necesară următoarea egalitate: S = a * n a. Se întâmplă să fie date latura unui paralelipiped și unul dintre unghiuri. Apoi, pentru a calcula înălțimea, va trebui să utilizați o formulă suplimentară: n a = b * sin A. În plus, unghiul A este adiacent laturii „b”, iar înălțimea n este opusă acestui unghi.

Dacă la baza prismei există un romb, atunci pentru a-i determina aria veți avea nevoie de aceeași formulă ca și pentru un paralelogram (deoarece este un caz special al acestuia). Dar poți folosi și asta: S = ½ d 1 d 2. Aici d 1 și d 2 sunt două diagonale ale rombului.

Prismă pentagonală regulată

Acest caz implică împărțirea poligonului în triunghiuri, ale căror zone sunt mai ușor de aflat. Deși se întâmplă ca figurile să aibă un număr diferit de vârfuri.

Deoarece baza prismei este un pentagon regulat, aceasta poate fi împărțită în cinci triunghiuri echilaterale. Apoi, aria bazei prismei este egală cu aria unui astfel de triunghi (formula poate fi văzută mai sus), înmulțită cu cinci.

Prismă hexagonală regulată

Folosind principiul descris pentru o prismă pentagonală, este posibilă împărțirea hexagonului bazei în 6 triunghiuri echilaterale. Formula pentru aria de bază a unei astfel de prisme este similară cu cea anterioară. Numai că ar trebui înmulțit cu șase.

Formula va arăta astfel: S = 3/2 a 2 * √3.

Sarcini

Nr. 1. Având în vedere o linie dreaptă regulată, diagonala acesteia este de 22 cm, înălțimea poliedrului este de 14 cm. Calculați aria bazei prismei și întreaga suprafață.

Soluţie. Baza prismei este un pătrat, dar latura sa este necunoscută. Puteți găsi valoarea sa din diagonala pătratului (x), care este legată de diagonala prismei (d) și înălțimea acesteia (h). x 2 = d 2 - n 2. Pe de altă parte, acest segment „x” este ipotenuza dintr-un triunghi ale cărui catete sunt egale cu latura pătratului. Adică x 2 = a 2 + a 2. Astfel, rezultă că a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Înlocuiți numărul 22 în loc de d și înlocuiți „n” cu valoarea sa - 14, se dovedește că latura pătratului este de 12 cm. Acum aflați doar aria bazei: 12 * 12 = 144 cm 2.

Pentru a afla suprafața întregii suprafețe, trebuie să adăugați de două ori suprafața de bază și să multiplicați de patru ori zona laterală. Acesta din urmă poate fi găsit cu ușurință folosind formula pentru un dreptunghi: înmulțiți înălțimea poliedrului și latura bazei. Adică, 14 și 12, acest număr va fi egal cu 168 cm 2. Suprafața totală a prismei se dovedește a fi de 960 cm 2.

Răspuns. Aria bazei prismei este de 144 cm 2. Toata suprafata este de 960 cm2.

Nr 2. Având în vedere La bază există un triunghi cu latura de 6 cm.În acest caz, diagonala feței laterale este de 10 cm.Calculează ariile: baza și suprafața laterală.

Soluţie. Deoarece prisma este regulată, baza sa este un triunghi echilateral. Prin urmare, aria sa se dovedește a fi egală cu 6 pătrat, înmulțit cu ¼ și rădăcina pătrată de 3. Un calcul simplu duce la rezultatul: 9√3 cm 2. Aceasta este aria unei baze a prismei.

Toate fețele laterale sunt aceleași și sunt dreptunghiuri cu laturile de 6 și 10 cm. Pentru a calcula ariile lor, trebuie doar să înmulțiți aceste numere. Apoi înmulțiți-le cu trei, deoarece prisma are exact atâtea fețe laterale. Apoi, zona suprafeței laterale a rănii se dovedește a fi de 180 cm 2.

Răspuns. Zone: baza - 9√3 cm 2, suprafața laterală a prismei - 180 cm 2.