Tarafımızca tanıtılan vektörler üzerinde doğrusal işlemler için çeşitli ifadeler oluşturmayı mümkün kılar Vektör nicelikleri ve bu işlemler için ayarlanan özellikleri kullanarak bunları dönüştürün.

Belirli bir a 1, ..., a n vektör kümesine dayanarak, formun bir ifadesini oluşturabilirsiniz.

burada a 1, ... ve n keyfi gerçek sayılardır. Bu ifade denir vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1, ..., a n. α i, i = 1, n sayıları temsil eder doğrusal kombinasyon katsayıları. Bir vektör kümesine de denir vektör sistemi.

Tanıtılan vektörlerin doğrusal birleşimi kavramıyla bağlantılı olarak, belirli bir a 1, ..., a n vektör sisteminin doğrusal bir birleşimi olarak yazılabilen bir vektörler kümesini tanımlama sorunu ortaya çıkar. Ek olarak, bir vektörün doğrusal kombinasyon biçiminde temsil edildiği koşullar ve böyle bir temsilin benzersizliği hakkında doğal sorular vardır.

Tanım 2.1. a 1, ... ve n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer α 1 , ... , α n katsayıları kümesi varsa, öyle ki

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2,2)

ve bu katsayılardan en az biri sıfır değildir. Belirtilen katsayılar kümesi mevcut değilse, vektörlere çağrılır. Doğrusal bağımsız.

Eğer α 1 = ... = α n = 0 ise, o zaman açıkça α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 olur. Bunu aklımızda tutarak şunu söyleyebiliriz: a 1, ..., ve vektörleri Eşitlik (2.2)'den tüm α 1 , ... , α n katsayılarının sıfıra eşit olduğu sonucu çıkarsa n doğrusal olarak bağımsızdır.

Aşağıdaki teorem, yeni kavrama neden "bağımlılık" (veya "bağımsızlık") terimi denildiğini açıklar ve doğrusal bağımlılık için basit bir kriter sağlar.

Teorem 2.1. a 1, ... ve n, n > 1 vektörlerinin doğrusal bağımlı olabilmesi için, bunlardan birinin diğerlerinin doğrusal birleşimi olması gerekli ve yeterlidir.

◄ Gereklilik. a 1, ... ve n vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğunu varsayalım. Doğrusal bağımlılığın Tanım 2.1'ine göre, soldaki eşitlikte (2.2) sıfır olmayan en az bir katsayı vardır, örneğin α 1. İlk terimi eşitliğin sol tarafında bırakarak geri kalanını Sağ Taraf, her zamanki gibi işaretlerini değiştiriyorlar. Ortaya çıkan eşitliği α 1'e bölerek şunu elde ederiz:

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

onlar. a 1 vektörünün geri kalan a 2, ..., a n vektörlerinin doğrusal birleşimi olarak temsili.

Yeterlilik. Örneğin, ilk a 1 vektörünün geri kalan vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebildiğini varsayalım: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Tüm terimleri sağ taraftan sola aktararak 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 elde ederiz, yani. a 1, ..., a n vektörlerinin α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n katsayılarına sahip doğrusal bir kombinasyonu, eşittir sıfır vektör. Bu doğrusal kombinasyonda tüm katsayılar sıfır değildir. Tanım 2.1'e göre a 1, ... ve n vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Doğrusal bağımlılığın tanımı ve kriteri, iki veya daha fazla vektörün varlığını ima edecek şekilde formüle edilmiştir. Ancak bir vektörün doğrusal bağımlılığından da söz edebiliriz. Bu ihtimali gerçekleştirmek için “vektörler doğrusal olarak bağımlıdır” yerine “vektörler sistemi doğrusal olarak bağımlıdır” demek gerekir. "Bir vektörden oluşan bir sistem doğrusal olarak bağımlıdır" ifadesinin bu tek vektörün sıfır olduğu anlamına geldiğini görmek kolaydır (doğrusal bir kombinasyonda yalnızca bir katsayı vardır ve sıfıra eşit olmamalıdır).

Doğrusal bağımlılık kavramının basit bir geometrik yorumu vardır. Aşağıdaki üç ifade bu yorumu açıklamaktadır.

Teorem 2.2.İki vektör ancak ve ancak şu durumda doğrusal olarak bağımlıdır: doğrusal.

◄ Eğer a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıysa, bunlardan biri, örneğin a, diğeri aracılığıyla ifade edilir; a = λb, bazı λ gerçek sayıları için. Tanım 1.7'ye göre İşler sayı başına vektörler, a ve b vektörleri doğrusaldır.

Şimdi a ve b vektörleri eşdoğrusal olsun. Her ikisi de sıfır ise, bunların herhangi bir doğrusal birleşimi sıfır vektörüne eşit olduğundan, bunların doğrusal olarak bağımlı oldukları açıktır. Bu vektörlerden birinin, örneğin b vektörünün 0'a eşit olmamasına izin verin. Vektör uzunluklarının oranını λ ile gösterelim: λ = |a|/|b|. Doğrusal vektörler şunlar olabilir: tek yönlü veya zıt yönlü. İkinci durumda λ'nın işaretini değiştiririz. Daha sonra Tanım 1.7'yi kontrol ederek a = λb olduğuna ikna olduk. Teorem 2.1'e göre a ve b vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Açıklama 2.1.İki vektör durumunda, doğrusal bağımlılık kriteri dikkate alınarak kanıtlanmış teorem şu şekilde yeniden formüle edilebilir: iki vektör ancak ve ancak bunlardan birinin diğerinin bir sayı ile çarpımı olarak temsil edilmesi durumunda eşdoğrusaldır. Bu, iki vektörün doğrusallığı için uygun bir kriterdir.

Teorem 2.3.Üç vektör ancak ve ancak aşağıdaki durumlarda doğrusal olarak bağımlıdır: aynı düzlemde.

◄ Üç vektör a, b, c doğrusal olarak bağımlıysa, o zaman Teorem 2.1'e göre bunlardan biri, örneğin a, diğerlerinin doğrusal birleşimidir: a = βb + γс. b ve c vektörlerinin kökenlerini A noktasında birleştirelim. O zaman βb, γс vektörleri A noktasında ve boyunca ortak bir kökene sahip olacaktır. paralelkenar kuralına göre bunların toplamı onlar. a vektörü, A kökenli bir vektör olacaktır ve son bileşen vektörleri üzerine kurulu bir paralelkenarın tepe noktasıdır. Böylece tüm vektörler aynı düzlemde, yani aynı düzlemde yer alır.

a, b, c vektörleri eş düzlemli olsun. Bu vektörlerden biri sıfırsa, bu açıkça diğerlerinin doğrusal bir birleşimi olacaktır. Doğrusal bir kombinasyonun tüm katsayılarını sıfıra eşit almak yeterlidir. Bu nedenle üç vektörün de sıfır olmadığını varsayabiliriz. Uyumlu başladı Bu vektörlerin ortak bir noktası O'dur. Uçları sırasıyla A, B, C noktaları olsun (Şekil 2.1). C noktasından O, A ve O, B nokta çiftlerinden geçen çizgilere paralel çizgiler çizeriz. Kesişme noktalarını A" ve B" olarak belirleyerek bir OA"CB" paralelkenarı elde ederiz, dolayısıyla OC" = OA" + OB". OA" vektörü ve sıfır olmayan bir vektör a = OA eşdoğrusaldır ve bu nedenle bunlardan ilki, ikincisinin α:OA" = αOA gerçek sayısıyla çarpılmasıyla elde edilebilir. Benzer şekilde, OB" = βOB, β ∈ R. Sonuç olarak OC" = α OA + βOB elde ederiz, yani c vektörü a ve b vektörlerinin doğrusal bir birleşimidir. Teorem 2.1'e göre a, b, c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2.4. Herhangi dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır.

◄ İspatı Teorem 2.3'teki şemaya göre gerçekleştiriyoruz. Rastgele dört a, b, c ve d vektörünü düşünün. Dört vektörden biri sıfırsa veya aralarında iki eşdoğrusal vektör varsa veya dört vektörden üçü aynı düzlemdeyse, bu dört vektör doğrusal olarak bağımlıdır. Örneğin, a ve b vektörleri eşdoğrusal ise, sıfır olmayan katsayılarla bunların doğrusal kombinasyonunu αa + βb = 0 yapabilir ve ardından katsayı olarak sıfırları alarak geri kalan iki vektörü bu kombinasyona ekleyebiliriz. Sıfır olmayan katsayıların bulunduğu, 0'a eşit dört vektörün doğrusal bir kombinasyonunu elde ederiz.

Böylece, seçilen dört vektör arasında hiçbir vektörün sıfır olmadığını, hiçbir ikisinin eşdoğrusal olmadığını ve hiçbir üçünün eşdüzlemsel olmadığını varsayabiliriz. Ortak başlangıç ​​noktası olarak O noktasını seçelim, o zaman a, b, c, d vektörlerinin uçları A, B, C, D gibi bazı noktalar olacaktır (Şekil 2.2). D noktasından OBC, OCA, OAB düzlemlerine paralel üç düzlem çizeriz ve bu düzlemlerin sırasıyla OA, OB, OS düz çizgileriyle kesişme noktaları A", B", C" olsun. paralel yüzlü OA" C "B" C" B"DA" ve a, b, c vektörleri O tepe noktasından çıkan kenarlarında yer alır. OC"DC" dörtgeni bir paralelkenar olduğundan, OD = OC" + OC". Buna karşılık, OC" segmenti bir OA"C"B" köşegen paralelkenarıdır, dolayısıyla OC" = OA" + OB" ve OD = OA" + OB" + OC" .

OA ≠ 0 ve OA", OB ≠ 0 ve OB", OC ≠ 0 ve OC" vektör çiftlerinin eşdoğrusal olduğunu ve bu nedenle α, β, γ katsayılarını şu şekilde seçmek mümkündür: OA" = αOA, OB" = βOB ve OC" = γOC. Sonunda OD = αOA + βOB + γOC elde ederiz. Sonuç olarak, OD vektörü diğer üç vektör aracılığıyla ifade edilir ve Teorem 2.1'e göre dört vektörün tümü doğrusal olarak bağımlıdır.

Tanım 18.2 Fonksiyon sistemiF, ..., fpismindebenben neip o H ve içinde ve ile ve m. yaklaşık th aralığında(A, (3), eğer önemsiz değilse 5 bu fonksiyonların doğrusal birleşimi bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir:

Tanım 18.3 Vektör sistemi f1, ..., Bu vektörlerin bazı önemsiz, doğrusal kombinasyonları madde işareti vektörüne eşitse, x n'nin a b i c i m'de doğrusal olduğu söylenir:

L Karışıklığı önlemek için, aşağıda vektör bileşeninin sayısını (vektör fonksiyonu) alt simgeyle ve vektörün sayısını (bu tür birkaç vektör varsa) üst dizinle göstereceğiz.

“İçindeki tüm katsayılar sıfır değilse, doğrusal bir kombinasyonun önemsiz olmayan olarak adlandırıldığını hatırlatırız.

Tanım 18.4 x 1 ^),..., x n (t) vektör fonksiyonları sistemine doğrusal denir H ve içinde ve ile ve aralıkta,(A, /3), eğer bu vektör fonksiyonlarının önemsiz olmayan bazı doğrusal kombinasyonları bu aralıktaki sıfır vektörüne tamamen eşitse:

Bu üç kavramın (fonksiyonların doğrusal bağımlılığı, vektörler ve vektör fonksiyonları) birbirleriyle olan bağlantısını anlamak önemlidir.

Öncelikle (18.6) formülünü genişletilmiş biçimde sunarsak (her birinin x g (1) bir vektördür)

o zaman eşitlik sistemine eşdeğer olduğu ortaya çıkıyor

doğrusal bağımlılık anlamına gelir g bileşeni ilk tanım anlamında (işlevler olarak). Vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığının onları gerektirdiğini söylüyorlar bileşen-bileşen doğrusal bağımlılık.

Genel anlamda bunun tersi doğru değildir: bir çift vektör fonksiyonu örneğini dikkate almak yeterlidir.

Bu vektör fonksiyonlarının ilk bileşenleri basitçe çakışır, bu da onların doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir. İkinci bileşenler orantılıdır yani. aynı zamanda doğrusal bağımlıdır. Bununla birlikte, sıfıra eşit olan doğrusal kombinasyonlarını oluşturmaya çalışırsak, o zaman ilişkiden

sistemi hemen alıyoruz

benzersiz bir çözümü olan S-S-2 - 0. Dolayısıyla vektör fonksiyonlarımız doğrusal olarak bağımsızdır.

Bu tuhaf özelliğin nedeni nedir? Açıkça bağımlı fonksiyonlardan doğrusal bağımsız vektör fonksiyonları oluşturmanıza izin veren püf noktası nedir?

Bütün meselenin bileşenlerin doğrusal bağımlılığında değil, sıfır elde etmek için gerekli olan katsayıların oranında olduğu ortaya çıktı. Vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığı durumunda, aynı katsayılar seti, sayıdan bağımsız olarak tüm bileşenlere hizmet eder. Ancak verdiğimiz örnekte, bir bileşen bir oranda katsayı gerektiriyordu, diğeri ise başka bir orantı gerektiriyordu. Dolayısıyla işin püf noktası aslında basit: "Bileşen bazında" doğrusal bağımlılıktan bir bütün olarak vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığını elde etmek için, tüm bileşenlerin "aynı oranda" doğrusal olarak bağımlı olması gerekir.

Şimdi vektör fonksiyonları ile vektörlerin doğrusal bağımlılığı arasındaki bağlantıyı incelemeye geçelim. Burada, vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığından her sabit için şu sonucun çıktığı neredeyse açıktır. T* vektör

doğrusal bağımlı olacaktır.

Genel anlamda bunun tersi geçerli değildir: her biri için vektörlerin doğrusal bağımlılığından T Vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığı takip edilmez. İki vektör fonksiyonu örneğini kullanarak bunu görmek kolaydır

Şu tarihte: t=1, t=2 ve t=3 vektör çiftlerini elde ediyoruz

sırasıyla. Her bir vektör çifti orantılıdır (sırasıyla 1,2 ve 3 katsayılarıyla). Herhangi bir sabit için bunu anlamak kolaydır. T* vektör çiftimiz katsayı ile orantılı olacaktır T*.

Sıfıra eşit olan vektör fonksiyonlarının doğrusal bir kombinasyonunu oluşturmaya çalışırsak, o zaman ilk bileşenler zaten bize ilişkiyi verir

bu ancak şu durumda mümkün olabilir: İLE = İLE2 = 0. Böylece vektör fonksiyonlarımız doğrusal olarak bağımsız çıktı. Yine bu etkinin açıklaması, vektör fonksiyonlarının doğrusal bağımlılığı durumunda, aynı Cj sabitleri kümesinin tüm değerlere hizmet etmesidir. T, ve örneğimizde her değer için T katsayılar arasında belirli bir orantı gerekliydi.

Fonksiyonların limitin (n-1) türevleri olsun.

Belirleyiciyi düşünün: (1)

W(x)'e fonksiyonlar için Wronski determinantı denir.

Teorem 1. Eğer fonksiyonlar (a, b) aralığında doğrusal olarak bağımlıysa, bu durumda onların Wronskian W(x)'i bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir.

Kanıt. Teoremin koşullarına göre ilişki sağlanır

, (2) burada hepsi sıfıra eşit değildir. İzin vermek . Daha sonra

(3). Bu kimliği n-1 kez farklılaştırıyoruz ve,

Bunun yerine elde edilen değerleri Wronsky determinantına koyarsak,

şunu elde ederiz:

(4).

Wronski determinantında son sütun, önceki n-1 sütunların doğrusal birleşimidir ve bu nedenle (a, b) aralığındaki tüm noktalarda sıfıra eşittir.

Teorem 2. Eğer y1,..., yn fonksiyonları L[y] = 0 denkleminin doğrusal bağımsız çözümleriyse ve bunların tüm katsayıları (a, b) aralığında sürekliyse, o zaman bu çözümlerin Wronskian'ı denklemin her noktasında sıfırdan farklıdır. aralık (a, b).

Kanıt. Tam tersini varsayalım. W(X0)=0 olan X0 vardır. N denklemden oluşan bir sistem oluşturalım

(5).

Açıkçası, sistem (5) sıfırdan farklı bir çözüme sahiptir. (6) olsun.

y1,…, yn çözümlerinin doğrusal bir kombinasyonunu yapalım.

Y(x), L[y] = 0 denkleminin bir çözümüdür. Ayrıca . Sıfır ile L[y] = 0 denkleminin çözümü için teklik teoremi sayesinde başlangıç ​​koşulları yalnızca sıfır olabilir, yani .

Hepsinin sıfıra eşit olmadığı özdeşliği elde ederiz, bu da y1,..., yn'nin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir, bu da teoremin koşullarıyla çelişir. Sonuç olarak W(X0)=0 diye bir nokta yoktur.

Teorem 1 ve Teorem 2'ye dayanarak aşağıdaki ifade formüle edilebilir. L[y] = 0 denkleminin n çözümünün (a, b) aralığında doğrusal bağımsız olması için, bunların Wronskian'ının bu aralığın herhangi bir noktasında kaybolmaması gerekli ve yeterlidir.

Wronskian'ın aşağıdaki belirgin özellikleri de kanıtlanmış teoremlerden kaynaklanmaktadır.

1. L[y] = 0 denkleminin n çözümünün Wronskian'ı, tüm pi(x) katsayılarının sürekli olduğu (a, b) aralığından bir x = x0 noktasında sıfıra eşitse, o zaman şuna eşittir: bu aralığın her noktasında sıfırdır.
2. L[y] = 0 denkleminin n çözümünün Wronskian'ı, (a, b) aralığından bir x = x0 noktasında sıfırdan farklıysa, bu aralığın tüm noktalarında sıfırdan farklıdır.

Dolayısıyla, рi(x) denkleminin katsayılarının sürekli olduğu (a, b) aralığındaki L[y] = 0 denkleminin n bağımsız çözümünün doğrusallığı için, bunların Wronskian'ının olması gerekli ve yeterlidir. bu aralığın en az bir noktasında sıfırdan farklıdır.

Aşağıda vektör sistemlerinin doğrusal bağımlılığı ve buna bağlı olarak doğrusal bağımsızlığı için çeşitli kriterler verilmektedir.

Teorem. (Vektörlerin doğrusal bağımlılığı için gerekli ve yeterli koşul.)

Bir vektör sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesi durumunda bağımlıdır.

Kanıt. Gereklilik. Sistemin doğrusal bağımlı olmasına izin verin. Daha sonra tanım gereği sıfır vektörünü önemsiz olmayan bir şekilde temsil eder, yani. sıfır vektörüne eşit olan bu vektörler sisteminin önemsiz olmayan bir kombinasyonu vardır:

bu doğrusal kombinasyonun katsayılarından en az birinin sıfıra eşit olmadığı yer. İzin vermek , .

Önceki eşitliğin her iki tarafını da sıfır olmayan bu katsayıya bölelim (yani şununla çarpalım):

Şunu belirtelim: , nerede .

onlar. sistemin vektörlerinden biri bu sistemin diğerleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir, vb.

Yeterlilik. Sistemin vektörlerinden birinin bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilmesine izin verin:

Vektörü bu eşitliğin sağına taşıyalım:

Vektörün katsayısı eşit olduğundan, sıfırın bir vektörler sistemi tarafından önemsiz olmayan bir temsiline sahibiz, bu da bu vektörler sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. anlamına gelir.

Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

1. Bir vektör uzayındaki bir vektörler sistemi, ancak ve ancak sistemin vektörlerinden hiçbiri bu sistemin diğer vektörleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilmiyorsa doğrusal olarak bağımsızdır.

2. Sıfır vektör veya iki eşit vektör içeren bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

1) Gereklilik. Sistemin doğrusal bağımsız olmasına izin verin. Bunun tersini varsayalım ve sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen bir vektörü vardır. O zaman teoreme göre sistem doğrusal bağımlıdır ve bir çelişkiye varırız.

Yeterlilik. Sistemin vektörlerinden hiçbirinin diğerleri cinsinden ifade edilmesine izin vermeyin. Tam tersini varsayalım. Sistemin doğrusal olarak bağımlı olmasına izin verin, ancak o zaman teoremden, bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilen sistemin bir vektörünün olduğu sonucu çıkar ve yine bir çelişkiye geliriz.

2a) Sistemin sıfır vektör içermesine izin verin. Kesinlik için vektörün : olduğunu varsayalım. O zaman eşitlik açıktır

onlar. sistemin vektörlerinden biri bu sistemin diğer vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden böyle bir vektör sisteminin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.

Bu gerçeğin doğrudan doğrusal bağımlı bir vektör sisteminden kanıtlanabileceğini unutmayın.

olduğundan aşağıdaki eşitlik açıktır.

Bu, sıfır vektörünün önemsiz olmayan bir temsilidir; bu, sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

2b) Sistemin iki eşit vektörü olsun. için izin ver. O zaman eşitlik açıktır

Onlar. ilk vektör aynı sistemin geri kalan vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilir. Teoremden bu sistemin doğrusal olarak bağımlı olduğu vb. sonucu çıkar.

Önceki ifadeye benzer şekilde bu ifade, doğrusal bağımlı bir sistem tanımlanarak doğrudan kanıtlanabilir.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı.
Vektörlerin temeli. Afin koordinat sistemi

Oditoryumda çikolatalarla dolu bir araba var ve bugün her ziyaretçi tatlı bir çiftle karşılaşacak: analitik geometri ve doğrusal cebir. Bu makale yüksek matematiğin iki bölümüne aynı anda değinecek ve bunların tek bir pakette nasıl bir arada var olduklarını göreceğiz. Biraz ara verin, bir Twix yiyin! ...kahretsin, ne kadar saçmalık. Her ne kadar tamam, puan vermeyeceğim, sonuçta çalışmaya karşı olumlu bir tutuma sahip olmalısınız.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı, doğrusal vektör bağımsızlığı, vektörlerin temeli ve diğer terimlerin yalnızca geometrik bir yorumu değil, her şeyden önce cebirsel bir anlamı vardır. Doğrusal cebir açısından "vektör" kavramı her zaman bir düzlemde veya uzayda tasvir edebileceğimiz "sıradan" bir vektör değildir. Kanıt için çok uzaklara bakmanıza gerek yok, beş boyutlu uzayın vektörünü çizmeyi deneyin . Veya az önce Gismeteo'ya gittiğim hava durumu vektörü: – sıcaklık ve Atmosfer basıncı sırasıyla. Örnek, elbette, vektör uzayının özellikleri açısından yanlıştır, ancak yine de hiç kimse bu parametrelerin bir vektör olarak resmileştirilmesini yasaklamaz. Sonbaharın nefesi...

Hayır, sizi teoriyle, doğrusal vektör uzaylarıyla sıkmayacağım. anlamak Tanımlar ve teoremler. Yeni terimler (doğrusal bağımlılık, bağımsızlık, doğrusal kombinasyon, temel vb.) cebirsel açıdan tüm vektörler için geçerlidir ancak geometrik örnekler verilecektir. Böylece her şey basit, erişilebilir ve anlaşılır. Analitik geometri problemlerine ek olarak bazı tipik cebir problemlerini de ele alacağız. Materyalde ustalaşmak için derslere aşina olmanız tavsiye edilir. Aptallar için vektörler Ve Determinant nasıl hesaplanır?

Düzlem vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Düzlem temeli ve afin koordinat sistemi

Bilgisayar masanızın düzlemini düşünelim (sadece bir masa, komodin, zemin, tavan, ne isterseniz). Görev aşağıdaki eylemlerden oluşacaktır:

1) Düzlem tabanını seçin. Kabaca söylemek gerekirse, bir masa tablasının uzunluğu ve genişliği vardır, dolayısıyla temeli oluşturmak için iki vektörün gerekli olacağı sezgiseldir. Bir vektör kesinlikle yeterli değil, üç vektör çok fazla.

2) Seçilen esasa göre koordinat sistemini ayarla(koordinat ızgarası) tablodaki tüm nesnelere koordinatlar atamak için kullanılır.

Şaşırmayın, ilk başta açıklamalar parmaklarda kalacak. Üstelik seninkinde. Lütfen yerleştirin işaret parmağı sol el monitöre bakması için masanın kenarına. Bu bir vektör olacak. Şimdi yer Serçe parmak sağ el aynı şekilde masanın kenarında - monitör ekranına yönlendirilecek şekilde. Bu bir vektör olacak. Gülümse, harika görünüyorsun! Vektörler hakkında ne söyleyebiliriz? Veri vektörleri doğrusal, yani doğrusal birbirleriyle ifade edilir:
, peki, ya da tam tersi: burada sıfırdan farklı bir sayı var.

Bu eylemin bir resmini sınıfta görebilirsiniz. Aptallar için vektörler Burada bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını açıkladım.

Parmaklarınız bilgisayar masasının düzlemine temel oluşturacak mı? Belli ki değil. Doğrusal vektörler ileri geri hareket eder yalnız yönü vardır ve bir düzlemin uzunluğu ve genişliği vardır.

Bu tür vektörlere denir doğrusal bağımlı.

Referans: “Doğrusal”, “doğrusal” kelimeleri, matematiksel denklemlerde ve ifadelerde kare, küp, diğer kuvvetler, logaritma, sinüs vb. bulunmadığını ifade eder. Yalnızca doğrusal (1. derece) ifadeler ve bağımlılıklar vardır.

İki düzlem vektörü doğrusal bağımlı ancak ve ancak eşdoğrusal olmaları durumunda.

Parmaklarınızı masanın üzerinde aralarında 0 veya 180 derece dışında herhangi bir açı olacak şekilde çaprazlayın. İki düzlem vektörüdoğrusal Olumsuz bağımlı ancak ve ancak eşdoğrusal değillerse. Böylece temel elde edilmiş olur. Temelin farklı uzunluklarda dik olmayan vektörlerle “çarpık” olduğu ortaya çıkmasından utanmanıza gerek yok. Çok yakında, yapımı için yalnızca 90 derecelik bir açının uygun olmadığını ve yalnızca eşit uzunlukta birim vektörlerin uygun olmadığını göreceğiz.

Herhangi düzlem vektör tek yol esasına göre genişletilir:
, gerçek sayılar nerede? Numaralar denir vektör koordinatları bu temelde.

Ayrıca söyleniyor ki vektörolarak sunuldu doğrusal kombinasyon temel vektörleri. Yani ifade denir vektör ayrışmasıtemelde veya doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Örneğin, vektörün düzlemin ortonormal bazında ayrıştırıldığını veya vektörlerin doğrusal bir birleşimi olarak temsil edildiğini söyleyebiliriz.

Hadi formüle edelim temelin tanımı resmi olarak: Uçağın temeli doğrusal olarak bağımsız (doğrusal olmayan) vektör çifti olarak adlandırılır, , burada herhangi bir düzlem vektörü temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir.

Tanımın önemli bir noktası, vektörlerin alınmış olmasıdır. belli bir sırayla. Üsler – bunlar tamamen farklı iki temel! Dedikleri gibi, sağ elinizin küçük parmağının yerine sol elinizin küçük parmağını koyamazsınız.

Temelini çözdük ama bilgisayar masanızdaki her öğeye bir koordinat ızgarası ayarlamak ve koordinatları atamak yeterli değil. Neden yeterli değil? Vektörler serbesttir ve tüm düzlem boyunca dolaşırlar. Peki, çılgın bir hafta sonundan kalan masadaki o küçük kirli noktalara koordinatları nasıl atarsınız? Bir başlangıç ​​noktasına ihtiyaç var. Ve böyle bir dönüm noktası herkesin bildiği bir noktadır - koordinatların kökeni. Koordinat sistemini anlayalım:

“Okul” sistemiyle başlayacağım. Zaten giriş dersinde Aptallar için vektörler Dikdörtgen koordinat sistemi ile ortonormal taban arasındaki bazı farklılıkların altını çizdim. İşte standart resim:

Onlar hakkında konuştuklarında dikdörtgen koordinat sistemi, o zaman çoğu zaman orijin, koordinat eksenleri ve eksenler boyunca ölçek anlamına gelir. Bir arama motoruna “dikdörtgen koordinat sistemi” yazmayı deneyin; birçok kaynağın size 5-6. Sınıflardan aşina olduğunuz koordinat eksenlerini ve düzlemdeki noktaların nasıl çizileceğini anlatacağını göreceksiniz.

Öte yandan, dikdörtgen bir koordinat sisteminin tamamen ortonormal bir temele göre tanımlanabileceği görülmektedir. Ve bu neredeyse doğru. İfade şu şekildedir:

Menşei, Ve ortonormal temel belirlendi Kartezyen dikdörtgen düzlem koordinat sistemi . Yani dikdörtgen koordinat sistemi kesinlikle tek bir nokta ve iki birim dik vektörlerle tanımlanır. Bu yüzden yukarıda verdiğim çizimi görüyorsunuz - geometrik problemlerde hem vektörler hem de koordinat eksenleri sıklıkla (ancak her zaman değil) çizilir.

Sanırım herkes bir nokta (köken) ve ortonormal temel kullanmanın bunu anladığını düşünüyorum. Düzlemdeki HERHANGİ BİR NOKTA ve düzlemdeki HERHANGİ BİR VEKTÖR koordinatlar atanabilir. Mecazi anlamda konuşursak, "bir düzlemdeki her şey numaralandırılabilir."

Koordinat vektörlerinin birim olması gerekiyor mu? Hayır, sıfır olmayan isteğe bağlı bir uzunluğa sahip olabilirler. Sıfır olmayan uzunlukta keyfi bir nokta ve iki dik vektör düşünün:

Böyle bir temel denir dikey. Vektörlerle koordinatların kökeni bir koordinat ızgarası ile tanımlanır ve düzlemdeki herhangi bir noktanın, herhangi bir vektörün belirli bir temelde koordinatları vardır. Örneğin veya. Bariz rahatsızlık, koordinat vektörlerinin Genel olarak birlik dışında farklı uzunluklara sahiptir. Uzunluklar birliğe eşitse, olağan ortonormal taban elde edilir.

! Not : ortogonal temelde ve düzlem ve uzayın afin tabanlarında eksenler boyunca birimler dikkate alınır ŞARTLI. Örneğin, x ekseni boyunca bir birim 4 cm, ordinat ekseni boyunca bir birim 2 cm içerir Bu bilgi, gerekirse "standart dışı" koordinatları "normal santimetremize" dönüştürmek için yeterlidir.

Aslında zaten yanıtlanmış olan ikinci soru ise temel vektörler arasındaki açının 90 dereceye eşit olup olmaması gerektiğidir. HAYIR! Tanımda belirtildiği gibi temel vektörler şu şekilde olmalıdır: yalnızca doğrusal olmayan. Buna göre açı 0 ile 180 derece dışında herhangi bir değer olabilir.

Uçakta adı verilen bir nokta Menşei, Ve doğrusal olmayan vektörler, , ayarlamak afin düzlem koordinat sistemi :

Bazen böyle bir koordinat sistemine denir eğik sistem. Örnek olarak çizimde noktalar ve vektörler gösterilmektedir:

Anladığınız gibi, afin koordinat sistemi daha da az kullanışlıdır, dersin ikinci bölümünde tartıştığımız vektörlerin ve bölümlerin uzunluklarına ilişkin formüller bu sistemde çalışmıyor Aptallar için vektörler ile ilgili birçok lezzetli formül vektörlerin skaler çarpımı. Ancak vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralları, bu ilişkide bir parçayı bölme formülleri ve yakında ele alacağımız diğer bazı problem türleri geçerlidir.

Ve sonuç şu ki, afin koordinat sisteminin en uygun özel durumu Kartezyen dikdörtgen sistemdir. Bu yüzden onu en sık görmen gerekiyor canım. ...Ancak, bu hayatta her şey görecelidir; eğik bir açının (ya da örneğin başka bir açının) olduğu pek çok durum vardır. kutupsal) koordinat sistemi. Ve insansılar bu tür sistemleri sevebilir =)

Pratik kısma geçelim. Bu dersteki tüm problemler hem dikdörtgen koordinat sistemi hem de genel afin durum için geçerlidir. Burada karmaşık bir şey yok, tüm materyallere bir okul çocuğu bile erişebilir.

Düzlem vektörlerin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Tipik bir şey. İki düzlem vektörü için eşdoğrusal olsaydı, karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterliydi Aslında bu, bariz ilişkinin koordinat bazında detaylandırılmasıdır.

örnek 1

a) Vektörlerin doğrusal olup olmadığını kontrol edin .
b) Vektörler bir taban oluşturuyor mu? ?

Çözüm:
a) Vektörler için var olup olmadığını bulalım. eşitlikler sağlanacak şekilde orantı katsayısı:

Pratikte oldukça işe yarayan bu kuralı uygulamanın “züppece” versiyonunu size mutlaka anlatacağım. Buradaki fikir, hemen oranı telafi etmek ve doğru olup olmadığına bakmaktır:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranlarından bir orantı kuralım:

Kısaltalım:
dolayısıyla karşılık gelen koordinatlar orantılıdır, bu nedenle,

İlişki tam tersi şekilde de kurulabilir; bu eşdeğer bir seçenektir:

Kendi kendini test etmek için eşdoğrusal vektörlerin birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği gerçeğini kullanabilirsiniz. Bu durumda eşitlik sağlanır . Geçerlilikleri, vektörlerle yapılan temel işlemlerle kolayca doğrulanabilir:

b) İki düzlem vektörü eşdoğrusal (doğrusal olarak bağımsız) değillerse bir temel oluştururlar. Doğrusallık açısından vektörleri inceliyoruz . Bir sistem oluşturalım:

İlk denklemden şu çıkıyor, ikinci denklemden şu çıkıyor, yani sistem tutarsız(çözüm yok). Dolayısıyla vektörlerin karşılık gelen koordinatları orantılı değildir.

Çözüm: vektörler doğrusal olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Çözümün basitleştirilmiş bir versiyonu şuna benzer:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından bir orantı kuralım :
Bu, bu vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bir temel oluşturduğu anlamına gelir.

Genellikle bu seçenek incelemeciler tarafından reddedilmez, ancak bazı koordinatların sıfıra eşit olduğu durumlarda sorun ortaya çıkar. Bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Burada orantı nasıl çalışılır? (aslında sıfıra bölemezsiniz). Bu nedenle basitleştirilmiş çözüme "züppe" adını verdim.

Cevap: a) , b) şeklinde.

Kendi çözümünüz için küçük, yaratıcı bir örnek:

Örnek 2

Vektörler parametrenin hangi değerindedir? doğrusal olacaklar mı?

Örnek çözümde parametre orantı yoluyla bulunur.

Vektörleri doğrusallık açısından kontrol etmenin zarif bir cebirsel yolu var. Bilgimizi sistematize edelim ve beşinci nokta olarak ekleyelim:

İki düzlem vektör için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler eşdoğrusal değildir;

+ 5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Sırasıyla, aşağıdaki zıt ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler doğrusal olarak bağımlıdır;
2) vektörler bir temel oluşturmaz;
3) vektörler doğrusaldır;
4) vektörler birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilebilir;
+ 5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfıra eşittir.

Şimdiye kadar karşılaştığınız tüm terimleri ve ifadeleri zaten anladığınızı gerçekten çok umuyorum.

Yeni beşinci noktaya daha yakından bakalım: iki düzlem vektörleri ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eşdoğrusaldırlar:. Bu özelliği uygulamak için elbette şunları yapabilmeniz gerekir: belirleyicileri bul.

Haydi karar verelimÖrnek 1 ikinci şekilde:

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım. :
Bu, bu vektörlerin doğrusal olduğu anlamına gelir.

b) İki düzlem vektörü eşdoğrusal (doğrusal olarak bağımsız) değillerse bir temel oluştururlar. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım :
Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve bir temel oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: a) , b) şeklinde.

Orantılı bir çözümden çok daha kompakt ve daha güzel görünüyor.

Ele alınan malzemenin yardımıyla, yalnızca vektörlerin eşdoğrusallığını oluşturmak değil, aynı zamanda parçaların ve düz çizgilerin paralelliğini de kanıtlamak mümkündür. Belirli geometrik şekillerle ilgili birkaç problemi ele alalım.

Örnek 3

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt: Çözüm tamamen analitik olacağından problemde çizim oluşturmaya gerek yoktur. Paralelkenarın tanımını hatırlayalım:
Paralelkenar Karşılıklı kenarları paralel olan çiftlere dörtgen denir.

Bu nedenle şunu kanıtlamamız gerekiyor:
1) karşıt tarafların paralelliği ve;
2) karşıt tarafların paralelliği ve.

Kanıtlıyoruz:

1) Vektörleri bulun:

2) Vektörleri bulun:

Sonuç aynı vektördür (“okula göre” – eşit vektörler). Eşdoğrusallık oldukça açıktır, ancak kararı düzenlemeyle net bir şekilde resmileştirmek daha iyidir. Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:
, bu, bu vektörlerin eşdoğrusal olduğu anlamına gelir ve .

Çözüm: Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çiftler halinde paraleldir, bu da tanımı gereği bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. Q.E.D.

Daha iyi ve farklı rakamlar:

Örnek 4

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin yamuk olduğunu kanıtlayın.

Kanıtın daha titiz bir formülasyonu için, elbette yamuğun tanımını almak daha iyidir, ancak neye benzediğini hatırlamak yeterlidir.

Bu sizin kendi başınıza çözmeniz gereken bir görevdir. Tam çözüm dersin sonunda.

Ve şimdi yavaş yavaş uçaktan uzaya geçme zamanı:

Uzay vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Kural çok benzer. İki uzay vektörünün eşdoğrusal olabilmesi için karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..

Örnek 5

Aşağıdaki uzay vektörlerinin eşdoğrusal olup olmadığını öğrenin:

A) ;
B)
V)

Çözüm:
a) Vektörlerin karşılık gelen koordinatları için bir orantı katsayısı olup olmadığını kontrol edelim:

Sistemin çözümü yoktur, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

Oran kontrol edilerek “Basitleştirilmiş” resmileştirilir. Bu durumda:
– karşılık gelen koordinatlar orantılı değildir; bu, vektörlerin eşdoğrusal olmadığı anlamına gelir.

Cevap: vektörler eşdoğrusal değildir.

b-c) Bunlar bağımsız karar verme noktalarıdır. İki şekilde deneyin.

Üçüncü dereceden bir determinant aracılığıyla uzaysal vektörlerin eşdoğrusallık açısından kontrol edilmesi için bir yöntem vardır, Bu method makalede ele alınan Vektörlerin vektör çarpımı.

Düzlem durumuna benzer şekilde, dikkate alınan araçlar, uzaysal bölümlerin ve düz çizgilerin paralelliğini incelemek için kullanılabilir.

İkinci bölüme hoş geldiniz:

Üç boyutlu uzayda vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Uzamsal temel ve afin koordinat sistemi

Uçakta incelediğimiz desenlerin birçoğu uzay için de geçerli olacak. Teori notlarını en aza indirmeye çalıştım çünkü Aslan payı bilgiler zaten çiğnendi. Ancak yeni terim ve kavramlar çıkacağı için giriş kısmını dikkatli okumanızı tavsiye ederim.

Artık bilgisayar masasının düzlemi yerine üç boyutlu uzayı keşfediyoruz. Öncelikle temelini oluşturalım. Birileri artık içeride, birileri dışarıda ama her halükarda üç boyuttan kaçamıyoruz: genişlik, uzunluk ve yükseklik. Bu nedenle, bir temel oluşturmak için üç uzaysal vektör gerekli olacaktır. Bir veya iki vektör yeterli değildir, dördüncüsü gereksizdir.

Ve yine parmaklarımızda ısınıyoruz. Lütfen elinizi kaldırın ve farklı yönlere yayın. başparmak, işaret parmağı ve orta parmak . Bunlar vektörler olacak, farklı yönlere bakıyorlar, farklı uzunluklara sahipler ve kendi aralarında farklı açılara sahipler. Tebrikler, üç boyutlu uzayın temeli hazır! Bu arada parmaklarınızı ne kadar bükerseniz çevirin bunu öğretmenlere göstermenize gerek yok ama tanımlardan kaçış yok =)

Sonra soralım önemli konu, herhangi üç vektör üç boyutlu uzayın temelini oluşturur mu?? Lütfen üç parmağınızı bilgisayar masasının üstüne sıkıca bastırın. Ne oldu? Üç vektör aynı düzlemde yer alıyor ve kabaca konuşursak boyutlardan birini kaybettik - yükseklik. Bu tür vektörler aynı düzlemde ve üç boyutlu uzayın temelinin yaratılmadığı çok açıktır.

Eş düzlemli vektörlerin aynı düzlemde olması gerekmediğine dikkat edilmelidir, paralel düzlemlerde olabilirler (bunu parmaklarınızla yapmayın, bunu yalnızca Salvador Dali yaptı =)).

Tanım: vektörlere denir aynı düzlemde, eğer paralel oldukları bir düzlem varsa. Buraya şunu eklemek mantıklıdır: Böyle bir düzlem yoksa vektörler aynı düzlemde olmayacaktır.

Üç eş düzlemli vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır yani birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirler. Basitleştirmek için, yine aynı düzlemde olduklarını hayal edelim. İlk olarak, vektörler sadece eş düzlemli değildir, aynı zamanda doğrusal da olabilirler, bu durumda herhangi bir vektör herhangi bir vektör aracılığıyla ifade edilebilir. İkinci durumda, örneğin vektörler eşdoğrusal değilse, üçüncü vektör bunlar aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir: (ve önceki bölümdeki materyallerden nedenini tahmin etmek kolaydır).

Tam tersi ifade de doğrudur: eş düzlemli olmayan üç vektör her zaman doğrusal olarak bağımsızdır yani hiçbir şekilde birbirleri aracılığıyla ifade edilmezler. Ve açıkçası, yalnızca bu tür vektörler üç boyutlu uzayın temelini oluşturabilir.

Tanım: Üç boyutlu uzayın temeli doğrusal olarak bağımsız (eş düzlemli olmayan) vektörlerin üçlüsü olarak adlandırılır, belli bir sıraya göre alınır ve uzayın herhangi bir vektörü tek yol belirli bir temele göre ayrıştırılır; bu temeldeki vektörün koordinatları nerededir?

Vektörün formda temsil edildiğini de söyleyebileceğimizi hatırlatmama izin verin. doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Koordinat sistemi kavramı, düzlem durumuyla tamamen aynı şekilde tanıtılmıştır; bir nokta ve doğrusal olarak bağımsız herhangi üç vektör yeterlidir:

Menşei, Ve eş düzlemli olmayan vektörler, belli bir sıraya göre alınır, ayarlamak üç boyutlu uzayın afin koordinat sistemi :

Elbette koordinat ızgarası "eğik" ve elverişsizdir, ancak yine de oluşturulan koordinat sistemi bize izin verir kesinlikle herhangi bir vektörün koordinatlarını ve uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarını belirler. Daha önce bahsettiğim bazı formüller tıpkı düzlem gibi uzayın afin koordinat sisteminde çalışmayacaktır.

Herkesin tahmin ettiği gibi, afin koordinat sisteminin en tanıdık ve kullanışlı özel durumu şudur: dikdörtgen uzay koordinat sistemi:

Uzayda bir noktaya denir Menşei, Ve ortonormal temel belirlendi Kartezyen dikdörtgen uzay koordinat sistemi . Tanıdık resim:

Pratik görevlere geçmeden önce bilgileri tekrar sistematize edelim:

Üç uzay vektörü için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler doğrusal olarak bağımsızdır;
2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler eş düzlemli değildir;
4) vektörler birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilemez;
5) Bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Zıt ifadelerin anlaşılır olduğunu düşünüyorum.

Uzay vektörlerinin doğrusal bağımlılığı/bağımsızlığı geleneksel olarak bir determinant (nokta 5) kullanılarak kontrol edilir. Geriye kalan pratik görevler belirgin bir cebirsel nitelikte olacaktır. Geometri çubuğunu bir kenara bırakıp lineer cebirin beyzbol sopasını kullanmanın zamanı geldi:

Uzayın üç vektörü ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir: .

Dikkatinizi küçük bir teknik nüansa çekmek istiyorum: vektörlerin koordinatları yalnızca sütunlarda değil satırlarda da yazılabilir (bu nedenle determinantın değeri değişmeyecektir - determinantların özelliklerine bakın). Ancak bazı pratik sorunların çözümünde daha faydalı olduğu için sütunlarda çok daha iyidir.

Belirleyicileri hesaplama yöntemlerini biraz unutmuş veya belki de hiç anlamayan okuyuculara en eski derslerimden birini öneriyorum: Determinant nasıl hesaplanır?

Örnek 6

Aşağıdaki vektörlerin üç boyutlu uzayın temelini oluşturup oluşturmadığını kontrol edin:

Çözüm: Aslında tüm çözüm determinantın hesaplanmasından ibarettir.

a) Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım (determinant ilk satırda ortaya çıkıyor):

Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu (eş düzlemli olmadığı) ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: bu vektörler bir temel oluşturur

b) Bu bağımsız karar verilmesi gereken bir noktadır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ayrıca yaratıcı görevler de vardır:

Örnek 7

Parametrenin hangi değerinde vektörler eş düzlemli olacaktır?

Çözüm: Vektörler ancak ve ancak bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir:

Temel olarak determinantı olan bir denklemi çözmeniz gerekir. Jerboalardaki uçurtmalar gibi sıfırlara saldırıyoruz - ikinci satırdaki determinantı açmak ve eksilerden hemen kurtulmak en iyisidir:

Daha fazla basitleştirmeler yapıyoruz ve konuyu en basit doğrusal denklem haline getiriyoruz:

Cevap: saat

Burayı kontrol etmek kolaydır; bunu yapmak için, elde edilen değeri orijinal determinantın yerine koymanız ve şu şekilde olduğundan emin olmanız gerekir: , tekrar açıyorum.

Sonuç olarak, doğası gereği daha cebirsel olan ve geleneksel olarak doğrusal cebir dersine dahil edilen başka bir tipik problemi ele alacağız. O kadar yaygındır ki kendi konusunu hak etmektedir:

3 vektörün üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğunu kanıtlayın
ve bu temelde 4. vektörün koordinatlarını bulun

Örnek 8

Vektörler verilmiştir. Vektörlerin üç boyutlu uzayda bir taban oluşturduğunu gösterin ve bu tabandaki vektörün koordinatlarını bulun.

Çözüm: Öncelikle durumu ele alalım. Koşula göre dört vektör verilmiştir ve görebileceğiniz gibi bunların bazı temellerde koordinatları zaten vardır. Bu temelin ne olduğu bizi ilgilendirmiyor. Ve şu şey ilgi çekicidir: Üç vektör pekala yeni bir temel oluşturabilir. Ve ilk aşama tamamen Örnek 6'nın çözümüyle örtüşmektedir; vektörlerin gerçekten doğrusal olarak bağımsız olup olmadığının kontrol edilmesi gerekmektedir:

Vektör koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım:

Bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu ve üç boyutlu uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.