Bu konu, pek çok basit olmayan formül nedeniyle ilk başta karmaşık görünebilir. İkinci dereceden denklemlerin kendileri uzun notasyonlara sahip olmakla kalmaz, aynı zamanda kökler de diskriminant aracılığıyla bulunur. Toplamda üç yeni formül elde edilir. Hatırlanması çok kolay değil. Bu da ancak bu tür denklemlerin sık sık çözülmesiyle mümkündür. Daha sonra tüm formüller kendiliğinden hatırlanacak.

İkinci dereceden bir denklemin genel görünümü

Burada onların açık kayıtlarını öneriyoruz, en çok yüksek dereceönce, sonra azalan sırayla yazılır. Çoğu zaman terimlerin tutarsız olduğu durumlar vardır. O zaman denklemi değişkenin derecesine göre azalan sırada yeniden yazmak daha iyidir.

Bazı gösterimleri tanıtalım. Bunlar aşağıdaki tabloda sunulmaktadır.

Bu gösterimleri kabul edersek, tüm ikinci dereceden denklemler aşağıdaki gösterime indirgenir.

Üstelik a katsayısı ≠ 0. Bu formülün bir numara olarak atanmasına izin verin.

Bir denklem verildiğinde cevabın kaç kök olacağı belli değildir. Çünkü üç seçenekten biri her zaman mümkündür:

• çözümün iki kökü olacak;
• cevap bir sayı olacak;
• denklemin hiçbir kökü olmayacaktır.

Ve karar kesinleşene kadar belirli bir durumda hangi seçeneğin ortaya çıkacağını anlamak zordur.

İkinci dereceden denklemlerin kayıt türleri

Görevlerde farklı girişler olabilir. Her zaman genel formüle benzemeyecekler ikinci dereceden denklem. Bazen bazı terimler eksik olabilir. Yukarıda yazılanlar tam denklem. Eğer içindeki ikinci veya üçüncü terimi çıkarırsanız, başka bir şey elde edersiniz. Bu kayıtlara ikinci dereceden denklemler de denir, ancak eksiktir.

Üstelik yalnızca “b” ve “c” katsayılı terimler ortadan kaybolabilir. "A" sayısı hiçbir durumda sıfıra eşit olamaz. Çünkü bu durumda formül doğrusal bir denkleme dönüşür. Eksik denklem formu için formüller aşağıdaki gibi olacaktır:

Yani sadece iki tür vardır; tam olanlara ek olarak ikinci dereceden tamamlanmamış denklemler de vardır. İlk formülün iki numara, ikinci formülün ise üç olmasına izin verin.

Ayrımcı ve kök sayısının değerine bağımlılığı

Denklemin köklerini hesaplamak için bu sayıyı bilmeniz gerekir. İkinci dereceden denklemin formülü ne olursa olsun her zaman hesaplanabilir. Diskriminant hesaplamak için aşağıda yazılı olan ve dört rakamı olacak eşitliği kullanmanız gerekir.

Bu formülde katsayı değerlerini değiştirdikten sonra sayıları elde edebilirsiniz. farklı işaretler. Cevap evet ise denklemin cevabı iki farklı kök olacaktır. Sayı negatifse ikinci dereceden denklemin kökleri olmayacaktır. Sıfıra eşitse tek cevap olacaktır.

İkinci dereceden tam bir denklem nasıl çözülür?

Aslında bu konunun değerlendirilmesi çoktan başladı. Çünkü önce bir ayrımcı bulmanız gerekiyor. İkinci dereceden denklemin köklerinin olduğu belirlendikten ve sayıları bilindikten sonra değişkenler için formüller kullanmanız gerekir. İki kök varsa aşağıdaki formülü uygulamanız gerekir.

İçinde “±” işareti bulunduğu için iki anlamı olacaktır. Karekök işaretinin altındaki ifade diskriminanttır. Bu nedenle formül farklı şekilde yeniden yazılabilir.

Beş numaralı formül. Aynı kayıttan, diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda her iki kökün de aynı değerleri alacağı açıktır.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü henüz çözülmemişse, diskriminant ve değişken formülleri uygulamadan önce tüm katsayıların değerlerini yazmak daha iyidir. Daha sonra bu an zorluklara neden olmayacak. Ancak başlangıçta bir kafa karışıklığı var.

Tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem nasıl çözülür?

Burada her şey çok daha basit. Ek formüllere gerek bile yok. Ve zaten ayırt edici ve bilinmeyen için yazılmış olanlara ihtiyaç duyulmayacak.

Öncelikle iki numaralı tamamlanmamış denkleme bakalım. Bu eşitlikte bilinmeyen miktarı parantezlerden çıkarıp parantez içinde kalacak doğrusal denklemi çözmek gerekir. Cevabın iki kökü olacak. İlki zorunlu olarak sıfıra eşittir çünkü değişkenin kendisinden oluşan bir çarpan vardır. İkincisi doğrusal bir denklemin çözülmesiyle elde edilecektir.

Eksik üç numaralı denklem, eşitliğin sol tarafındaki sayının sağa kaydırılmasıyla çözülür. O zaman bilinmeyenin karşısındaki katsayıya bölmeniz gerekir. Geriye kalan tek şey karekökü çıkarmak ve bunu iki kez zıt işaretlerle yazmayı hatırlamak.

Aşağıda ikinci dereceden denklemlere dönüşen her türlü eşitliği nasıl çözeceğinizi öğrenmenize yardımcı olacak bazı adımlar bulunmaktadır. Öğrencinin dikkatsizlikten kaynaklanan hatalardan kaçınmasına yardımcı olacaktır. Bu eksiklikler, kapsamlı bir konu olan “İkinci Dereceden Denklemler (8. Sınıf)” çalışırken notların düşük olmasına neden olabilir. Daha sonra bu eylemlerin sürekli olarak yapılmasına gerek kalmayacaktır. Çünkü istikrarlı bir beceri ortaya çıkacak.

• Öncelikle denklemi standart biçimde yazmanız gerekir. Yani, önce değişkenin en büyük derecesine sahip terim, sonra derecesi olmadan ve son olarak sadece bir sayı.

• “a” katsayısından önce bir eksi belirirse, ikinci dereceden denklemleri çalışmaya yeni başlayan birinin işini zorlaştırabilir. Ondan kurtulmak daha iyi. Bunun için tüm eşitliklerin “-1” ile çarpılması gerekmektedir. Bu, tüm terimlerin işaretinin tersine değişeceği anlamına gelir.

• Kesirlerden de aynı şekilde kurtulmanız tavsiye edilir. Paydaların birbirini götürmesi için denklemi uygun faktörle çarpmanız yeterlidir.

Örnekler

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemleri çözmek gerekir:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

İlk denklem: x 2 − 7x = 0. Eksik olduğundan ikinci formülde anlatıldığı gibi çözülür.

Parantezlerden çıkardıktan sonra şu ortaya çıkıyor: x (x - 7) = 0.

İlk kök x 1 = 0 değerini alır. İkincisi ise doğrusal denklemden bulunur: x - 7 = 0. X 2 = 7 olduğunu görmek kolaydır.

İkinci denklem: 5x 2 + 30 = 0. Yine eksik. Sadece üçüncü formülde anlatıldığı gibi çözülür.

30'u aktardıktan sonra Sağ Taraf eşitlik: 5x 2 = 30. Şimdi 5'e bölmeniz gerekiyor. Görünüşe göre: x 2 = 6. Cevaplar şu sayılar olacaktır: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Üçüncü denklem: 15 − 2x − x 2 = 0. Burada ve ayrıca ikinci dereceden denklemleri çözmeye, onları standart biçimde yeniden yazarak başlayacağız: − x 2 − 2x + 15 = 0. Şimdi ikinciyi kullanma zamanı faydalı tavsiye ve her şeyi eksi birle çarpın. X 2 + 2x - 15 = 0 ortaya çıkıyor. Dördüncü formülü kullanarak diskriminantı hesaplamanız gerekir: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Bu pozitif bir sayıdır. Yukarıda söylenenlerden denklemin iki kökü olduğu ortaya çıkıyor. Beşinci formül kullanılarak hesaplanmaları gerekir. x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2 olduğu ortaya çıkıyor. O halde x 1 = 3, x 2 = - 5 olur.

Dördüncü denklem x 2 + 8 + 3x = 0 şuna dönüştürülür: x 2 + 3x + 8 = 0. Diskriminantı şu değere eşittir: -23. Bu sayı negatif olduğundan bu görevin cevabı şu giriş olacaktır: "Kök yok."

Beşinci denklem 12x + x 2 + 36 = 0 şu şekilde yeniden yazılmalıdır: x 2 + 12x + 36 = 0. Diskriminant formülü uygulandıktan sonra sıfır sayısı elde edilir. Bu, tek bir kökü olacağı anlamına gelir: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Altıncı denklem (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2), önce parantezleri açarak benzer terimleri getirmeniz gerektiği gerçeğinden oluşan dönüşümleri gerektirir. İlkinin yerine şu ifade gelecektir: x 2 + 2x + 1. Eşitlikten sonra bu girdi ortaya çıkacaktır: x 2 + 3x + 2. Benzer terimler sayıldıktan sonra denklem şu şekli alacaktır: x 2 - x = 0. Eksik hale geldi. Buna benzer bir şey zaten biraz daha yukarıda tartışılmıştı. Bunun kökleri 0 ve 1 sayıları olacaktır.

Bu matematik programıyla şunları yapabilirsiniz: ikinci dereceden denklemi çöz.

Program sadece sorunun cevabını vermekle kalmıyor, aynı zamanda çözüm sürecini de iki şekilde gösteriyor:
- diskriminant kullanmak
- Vieta teoremini kullanarak (mümkünse).

Üstelik cevap yaklaşık olarak değil kesin olarak görüntülenir.
Örneğin, \(81x^2-16x-1=0\) denklemi için cevap aşağıdaki biçimde görüntülenir:

Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okul hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz? Ev ödevi matematikte mi yoksa cebirde mi? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

İkinci dereceden polinom girme kurallarına aşina değilseniz, bunları öğrenmenizi öneririz.

İkinci dereceden polinom girme kuralları

Herhangi bir Latin harfi değişken görevi görebilir.
Örneğin: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), vb.

Sayılar tam veya kesirli sayı olarak girilebilir.
Üstelik kesirli sayılar yalnızca ondalık sayı biçiminde değil aynı zamanda sıradan kesir biçiminde de girilebilir.

Ondalık kesirleri girme kuralları.
Ondalık kesirlerde kesirli kısım bütün kısımdan nokta veya virgülle ayrılabilir.
Örneğin, girebilirsiniz ondalık sayılarşu şekilde: 2,5x - 3,5x^2

Sıradan kesirleri girme kuralları.
Yalnızca bir tam sayı bir kesrin pay, payda ve tam sayı kısmı olarak işlev görebilir.

Payda negatif olamaz.

Sayısal bir kesir girerken pay, paydadan bir bölme işaretiyle ayrılır: /
Parçanın tamamı kesirden ve işaretiyle ayrılır: &
Giriş: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Sonuç: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Bir ifade girerken parantez kullanabilirsiniz. Bu durumda, ikinci dereceden bir denklemi çözerken, tanıtılan ifade ilk önce basitleştirilir.
Örneğin: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.
Bu durumda devre dışı bırakın ve sayfayı yenileyin.

Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir.
Lütfen bekleyin saniye...

Eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz.
Unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver alanlara girin.

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

İkinci dereceden denklem ve kökleri. Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler

Denklemlerin her biri
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
benziyor
\(ax^2+bx+c=0, \)
burada x bir değişkendir, a, b ve c sayılardır.
Birinci denklemde a = -1, b = 6 ve c = 1,4, ikincisinde a = 8, b = -7 ve c = 0, üçüncüsünde ise a = 1, b = 0 ve c = 4/9 bulunmaktadır. Bu tür denklemlere denir ikinci dereceden denklemler.

Tanım.
İkinci dereceden denklem ax 2 +bx+c=0 biçiminde bir denklem denir; burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve \(a \neq 0 \).

a, b ve c sayıları ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır. A sayısına birinci katsayı, b sayısına ikinci katsayı, c sayısına ise serbest terim denir.

ax 2 +bx+c=0 formundaki denklemlerin her birinde (burada \(a\neq 0\), x değişkeninin en büyük kuvveti bir karedir. Bu nedenle adı: ikinci dereceden denklem.

İkinci dereceden bir denklemin ikinci dereceden bir denklem olarak da adlandırıldığını unutmayın, çünkü sol tarafı ikinci dereceden bir polinomdur.

x 2 katsayısının 1'e eşit olduğu ikinci dereceden denklem denir verilen ikinci dereceden denklem. Örneğin, verilen ikinci dereceden denklemler denklemlerdir
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

İkinci dereceden bir denklemde ax 2 +bx+c=0 b veya c katsayılarından en az biri sıfıra eşitse, böyle bir denklem denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklem. Dolayısıyla -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 denklemleri tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir. Bunlardan ilkinde b=0, ikincisinde c=0, üçüncüsünde b=0 ve c=0 olur.

Üç tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklem vardır:
1) ax 2 +c=0, burada \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, burada \(b \neq 0 \);
3) balta 2 =0.

Bu türlerin her birinin denklemlerini çözmeyi düşünelim.

\(c \neq 0 \ için) ax 2 +c=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi çözmek için, serbest terimini sağ tarafa taşıyın ve denklemin her iki tarafını da a'ya bölün:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) olduğundan \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Eğer \(-\frac(c)(a)>0\), o zaman denklemin iki kökü vardır.

Eğer \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemi \(b \neq 0 \) ile çözmek için genişletin Sol Taraf faktörlere göre ve denklemi elde edin
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.\)

Bu, \(b \neq 0 \) için ax 2 +bx=0 formundaki tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemin her zaman iki kökü olduğu anlamına gelir.

ax 2 =0 formundaki tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem, x 2 =0 denklemine eşdeğerdir ve bu nedenle tek bir kökü 0'dır.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

Şimdi hem bilinmeyenlerin katsayıları hem de serbest terimin sıfırdan farklı olduğu ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine bakalım.

İkinci dereceden denklemi genel formda çözelim ve sonuç olarak köklerin formülünü elde edelim. Bu formül daha sonra herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek için kullanılabilir.

İkinci dereceden denklemi çözün ax 2 +bx+c=0

Her iki tarafı a'ya bölerek eşdeğer indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Binomun karesini seçerek bu denklemi dönüştürelim:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Radikal ifade denir ikinci dereceden bir denklemin diskriminantı ax 2 +bx+c=0 (Latince'de “ayırıcı” - ayrımcı) D harfiyle belirtilir, yani.
\(D = b^2-4ac\)

Şimdi diskriminant gösterimini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin formülünü yeniden yazıyoruz:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), burada \(D= b^2-4ac \)

Şu açıktır:
1) D>0 ise ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır.
2) Eğer D=0 ise ikinci dereceden denklemin bir kökü vardır \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Eğer D Dolayısıyla, diskriminantın değerine bağlı olarak, ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olabilir (D > 0 için), bir kökü olabilir (D = 0 için) veya hiç kökü olmayabilir (D için) Bunu kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken formülü aşağıdaki şekilde yapmanız önerilir:
1) diskriminantı hesaplayın ve sıfırla karşılaştırın;
2) Diskriminant pozitif veya sıfıra eşitse kök formülünü kullanın; diskriminant negatifse kök olmadığını yazın.

Vieta'nın teoremi

Verilen ikinci dereceden ax 2 -7x+10=0 denkleminin kökleri 2 ve 5'tir. Köklerin toplamı 7, çarpımı ise 10'dur. Köklerin toplamının tersi ile alınan ikinci katsayıya eşit olduğunu görüyoruz. işareti ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Kökleri olan herhangi bir indirgenmiş ikinci dereceden denklem bu özelliğe sahiptir.

Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı, ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Onlar. Vieta teoremi, indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 +px+q=0'ın kökleri x 1 ve x 2'nin şu özelliğe sahip olduğunu belirtir:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Umarım bu makaleyi inceledikten sonra ikinci dereceden tam bir denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Diskriminant kullanılarak yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür; tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız diğer yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? Bu ax 2 + b x + c = 0 formundaki denklemler a, b ve c katsayılarının sıfıra eşit olmadığı durumda. Dolayısıyla ikinci dereceden bir denklemi tam olarak çözmek için diskriminant D'yi hesaplamamız gerekir.

D = b 2 – 4ac.

Diskriminantın değerine bağlı olarak cevabı yazacağız.

Diskriminant negatif bir sayı ise (D< 0),то корней нет.

Diskriminant sıfır ise x = (-b)/2a olur. Diskriminant pozitif bir sayı olduğunda (D > 0),

bu durumda x 1 = (-b - √D)/2a ve x 2 = (-b + √D)/2a olur.

Örneğin. Denklemi çözün x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Cevap: Kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Cevap: – 3.5; 1.

Şimdi Şekil 1'deki diyagramı kullanarak tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü hayal edelim.

Bu formülleri kullanarak herhangi bir tam ikinci dereceden denklemi çözebilirsiniz. Sadece dikkatli olman gerekiyor denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmıştır

A x 2 + bx + c, aksi halde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 = 0 denklemini yazarken yanlışlıkla şuna karar verebilirsiniz:

a = 1, b = 3 ve c = 2. O halde

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ve bu durumda denklemin iki kökü vardır. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, eğer denklem standart formda bir polinom olarak yazılmamışsa, öncelikle ikinci dereceden denklemin tamamı standart formda bir polinom olarak yazılmalıdır (en büyük üssü olan monom ilk önce gelmelidir, yani A x 2 , daha azıyla – bx ve sonra ücretsiz bir üye İle.

İkinci dereceden ikinci dereceden denklemi ve çift katsayılı ikinci dereceden denklemi çözerken, diğer formülleri kullanabilirsiniz. Gelin bu formülleri tanıyalım. Tam ikinci dereceden bir denklemde ikinci terimin çift katsayısı varsa (b = 2k), o zaman denklemi Şekil 2'deki şemada gösterilen formülleri kullanarak çözebilirsiniz.

Tam bir ikinci dereceden denklem, eğer katsayı x 2 bire eşittir ve denklem şu şekli alır: x 2 + piksel + q = 0. Böyle bir denklem çözüm için verilebileceği gibi denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle de elde edilebilir. A, ayakta x 2 .

Şekil 3, indirgenmiş kareyi çözmek için bir diyagramı göstermektedir
denklemler. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasına bir örnek verelim.

Örnek. Denklemi çözün

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3))))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3))))/6 = –1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3

Bu denklemde x'in katsayısının çift sayı olduğunu fark edebilirsiniz, yani b = 6 veya b = 2k, dolayısıyla k = 3. O halde denklemi, şekil D'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözmeye çalışalım. 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3. Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölünebilir olduğunu fark edip bölme işlemini gerçekleştirerek indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz x 2 + 2x – 2 = 0 Bu denklemi indirgenmiş ikinci dereceden denklem formüllerini kullanarak çözün
denklemler şekil 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Cevap: –1 – √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözdüğümüzde aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere tamamen hakim olduğunuzda, her zaman herhangi bir ikinci dereceden denklemi tam olarak çözebileceksiniz.

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Matematikteki bazı problemler karekök değerini hesaplama becerisini gerektirir. Bu tür problemler ikinci dereceden denklemlerin çözülmesini içerir. Bu yazımızda sunacağımız etkili yöntem kareköklerin hesaplanması ve ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüllerle çalışırken kullanılması.

Karekök nedir?

Matematikte bu kavram √ sembolüne karşılık gelir. Tarihsel veriler, ilk kez 16. yüzyılın ilk yarısında Almanya'da kullanıldığını söylüyor (Christoph Rudolf'un cebir üzerine ilk Alman çalışması). Bilim adamları belirtilen sembolün dönüştürülmüş bir sembol olduğuna inanıyor Latince harf r (radix Latince'de "kök" anlamına gelir).

Herhangi bir sayının kökü, karesi radikal ifadeye karşılık gelen değere eşittir. Matematik dilinde bu tanım şu şekilde görünecektir: √x = y, eğer y 2 = x ise.

Pozitif bir sayının kökü (x > 0) da pozitif bir sayıdır (y > 0), ancak negatif bir sayının kökünü alırsanız (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

İşte iki basit örnek:

√9 = 3, çünkü 3 2 = 9; √(-9) = 3i, çünkü i 2 = -1.

Heron'un karekök değerlerini bulmak için yinelemeli formülü

Yukarıdaki örnekler çok basittir ve bunların içindeki kökleri hesaplamak zor değildir. Bir doğal sayının karesi olarak temsil edilemeyen herhangi bir değer için kök değerleri bulurken bile zorluklar ortaya çıkmaya başlar, örneğin √10, √11, √12, √13, pratikte öyle olduğu gerçeğinden bahsetmeye bile gerek yok tamsayı olmayan sayıların köklerini bulmak gerekir: örneğin √(12.15), √(8.5) vb.

Yukarıdaki durumların hepsinde karekök hesaplamak için özel bir yöntem kullanılmalıdır. Şu anda bu tür birkaç yöntem bilinmektedir: örneğin Taylor serisi genişletme, sütun bölme ve diğerleri. Bilinen tüm yöntemler arasında belki de en basit ve en etkili olanı, Babil'in karekökleri belirleme yöntemi olarak da bilinen Heron'un yinelemeli formülünün kullanılmasıdır (eski Babillilerin bunu pratik hesaplamalarında kullandıklarına dair kanıtlar vardır).

√x'in değerini belirlemek gerekli olsun. Karekök bulma formülü aşağıdaki gibidir:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), burada lim n->∞ (a n) => x.

Bu matematiksel gösterimi deşifre edelim. √x'i hesaplamak için belirli bir a 0 sayısını almalısınız (isteğe bağlı olabilir, ancak sonucu hızlı bir şekilde elde etmek için, onu (a 0) 2 x'e mümkün olduğunca yakın olacak şekilde seçmelisiniz. Daha sonra bunu yerine koyun) karekök hesaplamak için belirtilen formül ve istenen değere daha yakın olacak yeni bir 1 sayısı elde edin.Bundan sonra ifadeye 1'i koyup 2 almanız gerekir. Bu prosedür gerekli olana kadar tekrarlanmalıdır. doğruluk elde edilir.

Heron'un yinelemeli formülünü kullanma örneği

Belirli bir sayının karekökünü elde etmek için yukarıda açıklanan algoritma birçok kişiye oldukça karmaşık ve kafa karıştırıcı gelebilir, ancak gerçekte her şey çok daha basit çıkıyor çünkü bu formül çok hızlı bir şekilde yakınsıyor (özellikle seçerseniz) şanslı numara bir 0).

Basit bir örnek verelim: √11'i hesaplamanız gerekiyor. 3 2 = 9 olduğundan, 11'e 4 2 = 16'dan daha yakın olduğundan 0 = 3'ü seçelim. Formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3,333333;

a 2 = 1/2(3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;

a 3 = 1/2(3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.

Hesaplamalara devam etmenin bir anlamı yok, çünkü a 2 ile a 3'ün yalnızca 5. ondalık basamakta farklılık göstermeye başladığını bulduk. Böylece √11'i 0,0001 doğrulukla hesaplamak için formülü yalnızca 2 kez uygulamak yeterliydi.

Günümüzde kökleri hesaplamak için hesap makineleri ve bilgisayarlar yaygın olarak kullanılmaktadır, ancak bunların tam değerini manuel olarak hesaplayabilmek için işaretli formülü hatırlamakta fayda vardır.

İkinci dereceden denklemler

Karekökün ne olduğunu anlamak ve onu hesaplama yeteneği ikinci dereceden denklemlerin çözümünde kullanılır. Bu denklemlere bir bilinmeyenli eşitlikler denir. Genel form aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Burada c, b ve a bazı sayıları temsil eder ve a sıfıra eşit olmamalıdır ve c ve b'nin değerleri sıfıra eşit olmak üzere tamamen keyfi olabilir.

Şekilde belirtilen eşitliği sağlayan herhangi bir x değerine kökleri denir (bu kavram, karekök √ ile karıştırılmamalıdır). Söz konusu denklem 2. dereceden (x 2) olduğundan, ikiden fazla kökü olamaz. Makalede bu kökleri nasıl bulacağımıza daha ayrıntılı olarak bakalım.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma (formül)

Söz konusu eşitlik türlerini çözmenin bu yöntemine evrensel yöntem veya ayırma yöntemi de denir. Herhangi ikinci dereceden denklemler için kullanılabilir. İkinci dereceden denklemin diskriminant ve köklerinin formülü aşağıdaki gibidir:

Köklerin denklemin üç katsayısının her birinin değerine bağlı olduğunu gösterir. Üstelik x 1'in hesaplanması, x 2'nin hesaplanmasından yalnızca karekökün önündeki işaret nedeniyle farklılık gösterir. b 2 - 4ac'ye eşit olan radikal ifadesi, söz konusu eşitliğin diskriminantından başka bir şey değildir. İkinci dereceden bir denklemin kökleri formülündeki diskriminant önemli bir rol oynar çünkü çözümlerin sayısını ve türünü belirler. Yani sıfıra eşitse tek bir çözüm olacaktır, pozitifse denklemin iki gerçek kökü vardır ve son olarak negatif bir diskriminant iki karmaşık kök x 1 ve x 2'ye yol açar.

Vieta teoremi veya ikinci dereceden denklemlerin köklerinin bazı özellikleri

16. yüzyılın sonlarında modern cebirin kurucularından biri olan Fransız, ikinci dereceden denklemler üzerinde çalışarak cebirin köklerinin özelliklerini elde edebildi. Matematiksel olarak şu şekilde yazılabilirler:

x 1 + x 2 = -b / a ve x 1 * x 2 = c / a.

Her iki eşitlik de herkes tarafından kolayca elde edilebilir; bunun için, diskriminant formülü ile elde edilen köklerle uygun matematiksel işlemleri yapmanız yeterlidir.

Bu iki ifadenin birleşimi haklı olarak ikinci dereceden bir denklemin kökleri için ikinci formül olarak adlandırılabilir, bu da çözümlerini diskriminant kullanmadan tahmin etmeyi mümkün kılar. Burada her iki ifadenin de her zaman geçerli olmasına rağmen, yalnızca çarpanlarına ayrılabiliyorsa bir denklemi çözmek için bunları kullanmanın uygun olduğuna dikkat edilmelidir.

Edinilen bilgiyi pekiştirme görevi

Haydi karar verelim Matematik problemi Makalede tartışılan tüm teknikleri göstereceğiz. Problemin koşulları şu şekildedir: Çarpımı -13 ve toplamı 4 olan iki sayı bulmanız gerekiyor.

Bu durum bize hemen Vieta teoremini hatırlatıyor; kareköklerin toplamı ve çarpımı formüllerini kullanarak şunu yazıyoruz:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c/a = -13.

a = 1 olduğunu varsayarsak b = -4 ve c = -13 olur. Bu katsayılar ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızı sağlar:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Formülü diskriminantla birlikte kullanalım ve aşağıdaki kökleri elde edelim:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Yani sorun √68 sayısını bulmaya indirgenmişti. 68 = 4 * 17 olduğuna dikkat edin, o zaman karekök özelliğini kullanarak şunu elde ederiz: √68 = 2√17.

Şimdi dikkate alınan karekök formülünü kullanalım: a 0 = 4, o zaman:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4,125;

a 2 = 1/2(4,125 + 17/4,125) = 4,1231.

Bulunan değerler arasında sadece 0,02 fark olduğu için 3 hesaplamaya gerek yoktur. Böylece √68 = 8,246 olur. Bunu x 1,2 formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

x 1 = (4 + 8,246)/2 = 6,123 ve x 2 = (4 - 8,246)/2 = -2,123.

Gördüğümüz gibi bulunan sayıların toplamı gerçekte 4'e eşittir, ancak çarpımlarını bulursak o zaman -12,999'a eşit olacaktır, bu da problemin koşullarını 0,001 doğrulukla karşılar.

İkinci dereceden denklemler. Ayrımcı. Çözüm, örnekler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

İkinci dereceden denklem türleri

İkinci dereceden denklem nedir? Nasıl görünüyor? Dönem içi ikinci dereceden denklem anahtar kelime "kare". Bu şu anlama gelir: denklemde mutlaka bir x kare olmalı. Buna ek olarak, denklem yalnızca X'i (birinci kuvvete göre) ve yalnızca bir sayıyı içerebilir (ya da içermeyebilir!) (Ücretsiz Üye). Ve ikiden büyük bir kuvvetin X'i olmamalıdır.

Matematiksel açıdan ikinci dereceden bir denklem, şu formdaki bir denklemdir:

Burada a, b ve c- bazı sayılar. b ve c- kesinlikle herhangi biri, ancak A– sıfırdan başka herhangi bir şey. Örneğin:

Burada A =1; B = 3; C = -4

Burada A =2; B = -0,5; C = 2,2

Burada A =-3; B = 6; C = -18

Peki, anlıyorsun...

Soldaki bu ikinci dereceden denklemlerde tam setüyeler. Katsayılı X'in karesi A, x üzeri katsayılı birinci kuvvet B Ve ücretsiz üye

Bu tür ikinci dereceden denklemlere denir tam dolu.

Ve eğer B= 0, ne elde ederiz? Sahibiz X'in birinci kuvveti kaybolacak. Bu, sıfırla çarpıldığında meydana gelir.) Örneğin şu şekilde ortaya çıkıyor:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Ve benzeri. Ve eğer her iki katsayı da B Ve C sıfıra eşitse, o zaman daha da basittir:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Bir şeyin eksik olduğu bu tür denklemlere denir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler. Bu oldukça mantıklı.) Lütfen x karenin tüm denklemlerde mevcut olduğunu unutmayın.

Bu arada neden A sıfıra eşit olamaz mı? Ve onun yerine sen geçiyorsun A sıfır.) X karemiz kaybolacak! Denklem doğrusal hale gelecektir. Ve çözüm tamamen farklı...

İkinci dereceden denklemlerin tüm ana türleri bunlardır. Tam ve eksik.

İkinci dereceden denklemlerin çözümü.

Tam ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

İkinci dereceden denklemlerin çözülmesi kolaydır. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada verilen denklemi şu şekilde azaltmak gerekir: standart görünüm yani forma:

Eğer denklem size zaten bu formda verilmişse, ilk aşamayı yapmanıza gerek yoktur.) Önemli olan tüm katsayıları doğru belirlemek, A, B Ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü şuna benzer:

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir ayrımcı. Ama onun hakkında daha fazla bilgiyi aşağıda bulabilirsiniz. Gördüğünüz gibi X'i bulmak için şunu kullanıyoruz: sadece a, b ve c. Onlar. ikinci dereceden bir denklemin katsayıları. Değerleri dikkatlice değiştirin a, b ve c Bu formüle göre hesaplıyoruz. Hadi değiştirelim kendi işaretlerinle! Örneğin denklemde:

A =1; B = 3; C= -4. İşte bunu yazıyoruz:

Örnek neredeyse çözüldü:

Cevap bu.

Her şey çok basit. Peki hata yapmanın imkansız olduğunu mu düşünüyorsun? Evet, nasıl...

En yaygın hatalar işaret değerleriyle karışıklıktır a, b ve c. Daha doğrusu, işaretleriyle değil (nerede karıştırılmalı?), Kökleri hesaplama formülüne negatif değerlerin eklenmesiyle. Burada yardımcı olan, formülün belirli sayılarla ayrıntılı bir şekilde kaydedilmesidir. Hesaplamalarda sorun varsa, yap bunu!

Aşağıdaki örneği çözmemiz gerektiğini varsayalım:

Burada A = -6; B = -5; C = -1

Diyelim ki ilk seferde nadiren yanıt alabildiğinizi biliyorsunuz.

Tembel olmayın. Fazladan bir satır yazmak yaklaşık 30 saniye sürecektir ve hata sayısı keskin bir şekilde azalacak. Bu yüzden tüm parantez ve işaretlerle birlikte ayrıntılı olarak yazıyoruz:

Bu kadar dikkatli yazmak inanılmaz derecede zor görünüyor. Ama sadece öyle görünüyor. Bir şans ver. Peki ya da seç. Hangisi daha iyi, hızlı mı yoksa doğru mu? Üstelik seni mutlu edeceğim. Bir süre sonra her şeyi bu kadar dikkatli yazmaya gerek kalmayacak. Kendi kendine düzelecektir. Özellikle aşağıda açıklanan pratik teknikleri kullanıyorsanız. Pek çok eksiği olan bu kötü örnek, kolayca ve hatasız çözülebilir!

Ancak ikinci dereceden denklemler sıklıkla biraz farklı görünür. Örneğin şöyle:

Tanıdın mı?) Evet! Bu tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü.

Genel bir formül kullanılarak da çözülebilirler. Sadece burada neye eşit olduklarını doğru anlamanız gerekiyor. a, b ve c.

Anladın mı? İlk örnekte bir = 1; b = -4; A C? Hiç orada değil! Evet, doğru. Matematikte bu şu anlama gelir: c = 0 ! Bu kadar. Bunun yerine formülde sıfırı değiştirin C, ve başaracağız. İkinci örnekle aynı. Yalnız burada sıfır yok İle, A B !

Ancak tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler çok daha basit bir şekilde çözülebilir. Herhangi bir formül olmadan. İlk tamamlanmamış denklemi ele alalım. Sol tarafta ne yapabilirsiniz? X'i parantezlerden çıkarabilirsiniz! Hadi çıkaralım.

Peki bundan ne haber? Ve çarpımın sıfıra eşit olması ancak ve ancak faktörlerden herhangi birinin sıfıra eşit olması durumunda! Bana inanmıyor musun? Tamam, o zaman çarpıldığında sıfır verecek iki sıfır olmayan sayı bulun!
Çalışmıyor? Bu kadar...
Bu nedenle güvenle yazabiliriz: x 1 = 0, x 2 = 4.

Tüm. Bunlar denklemimizin kökleri olacak. Her ikisi de uygundur. Bunlardan herhangi birini orijinal denklemde yerine koyduğumuzda doğru özdeşliği 0 = 0 elde ederiz. Gördüğünüz gibi çözüm, genel formülü kullanmaktan çok daha basittir. Bu arada, hangi X'in birinci, hangisinin ikinci olacağını kesinlikle kayıtsız bırakmama izin verin. Sırayla yazmakta fayda var x 1- daha küçük olan ve x 2- hangisi daha büyükse.

İkinci denklem de basit bir şekilde çözülebilir. 9'u sağ tarafa taşıyın. Şunu elde ederiz:

Geriye kalan tek şey 9'dan kökü çıkarmak, hepsi bu. Ortaya çıkacak:

Ayrıca iki kök . x1 = -3, x 2 = 3.

Tüm tamamlanmamış ikinci dereceden denklemler bu şekilde çözülür. Ya X'i parantezlerin dışına yerleştirerek ya da sayıyı sağa taşıyıp ardından kökü çıkartarak.
Bu teknikleri karıştırmak son derece zordur. Basitçe, çünkü ilk durumda X'in kökünü çıkarmak zorunda kalacaksınız ki bu bir şekilde anlaşılmazdır ve ikinci durumda parantez içinde çıkarılacak hiçbir şey yoktur...

Ayrımcı. Ayırıcı formül.

sihirli kelime ayrımcı ! Nadiren bir lise öğrencisi bu kelimeyi duymamıştır! “Ayrımcı aracılığıyla çözüyoruz” ifadesi güven ve güvence veriyor. Çünkü ayrımcıdan hile beklemeye gerek yok! Kullanımı basit ve sorunsuzdur.) En çok hatırlatırım Genel formülçözümler için herhangi ikinci dereceden denklemler:

Kök işaretinin altındaki ifadeye diskriminant denir. Tipik olarak ayrımcı harfle gösterilir D. Diskriminant formülü:

D = b 2 - 4ac

Peki bu ifadede bu kadar dikkat çekici olan ne? Neden özel bir ismi hak etti? Ne diskriminantın anlamı? Nihayet -B, veya 2a bu formülde ona özel olarak hiçbir şey demiyorlar... Harfler ve harfler.

İşte olay şu. Bu formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken mümkündür sadece üç vaka.

1. Diskriminant pozitiftir. Bu, kökün ondan çıkarılabileceği anlamına gelir. Kökün iyi mi yoksa kötü mü çıkarıldığı başka bir sorudur. Önemli olan prensipte neyin çıkarıldığıdır. O halde ikinci dereceden denkleminizin iki kökü vardır. İki farklı çözüm.

2. Diskriminant sıfırdır. O zaman tek bir çözümünüz olacak. Çünkü paya sıfır eklemek veya çıkarmak hiçbir şeyi değiştirmez. Aslına bakılırsa bu tek bir kök değil, iki özdeş. Ancak basitleştirilmiş bir versiyonda, hakkında konuşmak gelenekseldir. bir çözüm.

3. Diskriminant negatiftir. Negatif bir sayının karekökü alınamaz. İyi tamam. Bu, hiçbir çözümün olmadığı anlamına gelir.

Dürüst olmak gerekirse, ikinci dereceden denklemleri basit bir şekilde çözerken, diskriminant kavramına gerçekten ihtiyaç duyulmaz. Katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız ve sayarız. Orada her şey kendi kendine oluyor, iki kök, bir ve yok. Ancak daha karmaşık görevleri bilgi olmadan çözerken diskriminantın anlamı ve formülü yeterli değil. Özellikle parametreli denklemlerde. Bu tür denklemler Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı için akrobasi niteliğindedir!)

Bu yüzden, ikinci dereceden denklemler nasıl çözülür hatırladığın ayrımcı aracılığıyla. Veya öğrendiniz ki bu da fena değil.) Nasıl doğru bir şekilde belirleyeceğinizi biliyorsunuz a, b ve c. Nasıl olduğunu biliyor musun? dikkatle bunları kök formülde değiştirin ve dikkatle sonucu sayın. Buradaki anahtar kelimenin şu olduğunu anlıyorsunuz: dikkatle mi?

Şimdi hata sayısını önemli ölçüde azaltan pratik teknikleri not edin. Dikkatsizlikten kaynaklananların aynısı... Daha sonra acı verici ve rencide edici hale gelenler...

İlk randevu . İkinci dereceden bir denklemi çözmeden ve onu standart forma getirmeden önce tembel olmayın. Bu ne anlama gelir?
Diyelim ki tüm dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülünü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle oranları karıştıracaksınız a, b ve c.Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi, sonra karesiz, sonra da serbest terim. Bunun gibi:

Ve yine acele etmeyin! X karesinin önündeki eksi sizi gerçekten üzebilir. Unutmak kolaydır... Eksilerden kurtulun. Nasıl? Evet, önceki konuda öğretildiği gibi! Denklemin tamamını -1 ile çarpmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz:

Ancak artık köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği çözmeyi tamamlayabilirsiniz. Kendin için karar ver. Artık 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Resepsiyon ikinci. Kökleri kontrol edin! Vieta teoremine göre. Korkma, her şeyi açıklayacağım! Kontrol etme son şey denklem. Onlar. kök formülü yazarken kullandığımız formül. Eğer (bu örnekte olduğu gibi) katsayı bir = 1, kökleri kontrol etmek kolaydır. Bunları çoğaltmak yeterlidir. Sonuç ücretsiz bir üye olmalıdır, yani. bizim durumumuzda -2. Lütfen dikkat, 2 değil, -2! Ücretsiz Üye senin burcunla . Eğer işe yaramazsa, bu zaten bir yerlerde işleri berbat ettikleri anlamına gelir. Hatayı arayın.

İşe yararsa kökleri eklemeniz gerekir. Son ve son kontrol. Katsayı şu şekilde olmalıdır: Bİle zıt aşina. Bizim durumumuzda -1+2 = +1. bir katsayı B X'ten önce gelen -1'e eşittir. Yani her şey doğru!
Bunun yalnızca x karenin saf olduğu ve katsayılı olduğu örnekler için bu kadar basit olması üzücü bir = 1. Ama en azından bu tür denklemleri kontrol edin! Gittikçe daha az hata olacak.

Üçüncü resepsiyon . Denkleminizin kesirli katsayıları varsa kesirlerden kurtulun! "Denklemler nasıl çözülür? Kimlik dönüşümleri" dersinde anlatıldığı gibi denklemi ortak bir paydayla çarpın. Kesirlerle çalışırken bazı nedenlerden dolayı hatalar ortaya çıkmaya devam ediyor...

Bu arada, kötü örneği bir sürü eksiyle basitleştireceğime söz verdim. Lütfen! İşte burada.

Eksilerle karıştırılmamak için denklemi -1 ile çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Bu kadar! Çözmek bir zevktir!

O halde konuyu özetleyelim.

Pratik tavsiye:

1. Çözmeden önce ikinci dereceden denklemi standart forma getirip oluşturuyoruz Sağ.

2. X karenin önünde negatif bir katsayı varsa denklemin tamamını -1 ile çarparak onu ortadan kaldırırız.

3. Katsayılar kesirli ise denklemin tamamını karşılık gelen faktörle çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

4. Eğer x kare safsa katsayısı bire eşitse çözüm Vieta teoremi kullanılarak kolayca doğrulanabilir. Yap!

Artık karar verebiliriz.)

Denklemleri çözün:

8x2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Cevaplar (karışıklık içinde):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - herhangi bir sayı

x1 = -3
x 2 = 3

çözüm yok

x 1 = 0,25
x2 = 0,5

Her şey uyuyor mu? Harika! İkinci dereceden denklemler sana göre değil baş ağrısı. İlk üçü işe yaradı ama geri kalanı işe yaramadı mı? O zaman sorun ikinci dereceden denklemlerde değil. Sorun denklemlerin özdeş dönüşümlerindedir. Linke bir göz atın, işinize yarar.

Pek işe yaramıyor mu? Yoksa hiç mi işe yaramıyor? O zaman Bölüm 555 size yardımcı olacaktır.Bütün bu örnekler burada ayrıntılı olarak verilmiştir. Gösterilen anaÇözümdeki hatalar. Elbette çeşitli denklemlerin çözümünde aynı dönüşümlerin kullanılmasından da bahsediyoruz. Çok yardımcı oluyor!

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.