Introdus de noi operații liniare pe vectori fac posibilă crearea diferitelor expresii pentru cantități vectorialeși transformați-le folosind proprietățile setate pentru aceste operații.

Pe baza unui set dat de vectori a 1, ..., a n, puteți crea o expresie de forma

unde a 1, ... și n sunt numere reale arbitrare. Această expresie se numește combinație liniară de vectori a 1, ..., a n. Numerele α i, i = 1, n, reprezintă coeficienți de combinație liniară. Se mai numește și un set de vectori sistem de vectori.

În legătură cu conceptul introdus de combinație liniară de vectori, se pune problema descrierii unui set de vectori care poate fi scris ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori a 1, ..., a n. În plus, există întrebări naturale despre condițiile în care există o reprezentare a unui vector sub forma unei combinații liniare și despre unicitatea unei astfel de reprezentări.

Definiție 2.1. Vectorii a 1, ... și n sunt numiți dependent liniar, dacă există o mulțime de coeficienți α 1 , ... , α n astfel încât

α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)

și cel puțin unul dintre acești coeficienți este diferit de zero. Dacă setul specificat de coeficienți nu există, atunci vectorii sunt numiți liniar independent.

Dacă α 1 = ... = α n = 0, atunci, evident, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Având în vedere acest lucru, putem spune astfel: vectori a 1, ..., și n sunt liniar independenți dacă din egalitatea (2.2) rezultă că toți coeficienții α 1 , ... , α n sunt egali cu zero.

Următoarea teoremă explică de ce noul concept este numit termenul „dependență” (sau „independență”) și oferă un criteriu simplu pentru dependența liniară.

Teorema 2.1. Pentru ca vectorii a 1, ..., și n, n > 1 să fie liniar dependenți, este necesar și suficient ca unul dintre ei să fie o combinație liniară a celorlalți.

◄ Necesitatea. Să presupunem că vectorii a 1, ... și n sunt dependenți liniar. Conform Definiției 2.1 a dependenței liniare, în egalitatea (2.2) din stânga există cel puțin un coeficient diferit de zero, de exemplu α 1. Lăsând primul termen în partea stângă a egalității, mutăm restul la partea dreapta, schimbându-și semnele, ca de obicei. Împărțind egalitatea rezultată la α 1, obținem

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n

acestea. reprezentarea vectorului a 1 ca o combinație liniară a vectorilor rămași a 2, ..., a n.

Adecvarea. Fie, de exemplu, primul vector a 1 poate fi reprezentat ca o combinație liniară a vectorilor rămași: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Transferând toți termenii din partea dreaptă spre stânga, obținem a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, adică. o combinație liniară de vectori a 1, ..., a n cu coeficienți α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, egal cu vector zero.În această combinație liniară, nu toți coeficienții sunt zero. Conform Definiției 2.1, vectorii a 1, ... și n sunt dependenți liniar.

Definiția și criteriul pentru dependența liniară sunt formulate pentru a implica prezența a doi sau mai mulți vectori. Totuși, putem vorbi și despre o dependență liniară a unui vector. Pentru a realiza această posibilitate, în loc de „vectorii sunt dependenți liniar”, trebuie să spuneți „sistemul de vectori este dependent liniar”. Este ușor de observat că expresia „un sistem de un vector este dependent liniar” înseamnă că acest singur vector este zero (într-o combinație liniară există un singur coeficient și nu ar trebui să fie egal cu zero).

Conceptul de dependență liniară are o interpretare geometrică simplă. Următoarele trei afirmații clarifică această interpretare.

Teorema 2.2. Doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coliniare.

◄ Dacă vectorii a și b sunt dependenți liniar, atunci unul dintre ei, de exemplu a, este exprimat prin celălalt, adică. a = λb pentru un număr real λ. Conform definiției 1.7 lucrări vectori pe număr, vectorii a și b sunt coliniari.

Fie acum vectorii a și b coliniari. Dacă ambele sunt zero, atunci este evident că sunt dependente liniar, deoarece orice combinație liniară a acestora este egală cu vectorul zero. Fie ca unul dintre acești vectori să nu fie egal cu 0, de exemplu vectorul b. Să notăm cu λ raportul lungimilor vectorului: λ = |a|/|b|. Vectorii coliniari pot fi unidirecțional sau îndreptată opus. În acest din urmă caz, schimbăm semnul lui λ. Apoi, verificând Definiția 1.7, suntem convinși că a = λb. Conform teoremei 2.1, vectorii a și b sunt liniar dependenți.

Observație 2.1.În cazul a doi vectori, ținând cont de criteriul dependenței liniare, teorema demonstrată poate fi reformulată astfel: doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă unul dintre ei este reprezentat ca produs al celuilalt printr-un număr. Acesta este un criteriu convenabil pentru coliniaritatea a doi vectori.

Teorema 2.3. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă coplanare.

◄ Dacă trei vectori a, b, c sunt liniar dependenți, atunci, conform teoremei 2.1, unul dintre ei, de exemplu a, este o combinație liniară a celorlalți: a = βb + γc. Să combinăm originile vectorilor b și c în punctul A. Atunci vectorii βb, γс vor avea o origine comună în punctul A și de-a lungul conform regulii paralelogramului, suma lor este acestea. vectorul a va fi un vector cu originea A și sfârșitul, care este vârful unui paralelogram construit pe vectori componente. Astfel, toți vectorii se află în același plan, adică coplanari.

Fie vectorii a, b, c coplanari. Dacă unul dintre acești vectori este zero, atunci va fi evident o combinație liniară a celorlalți. Este suficient să luăm toți coeficienții unei combinații liniare egale cu zero. Prin urmare, putem presupune că toți cei trei vectori nu sunt zero. Compatibil a început a acestor vectori într-un punct comun O. Fie ca capetele lor să fie punctele A, B, respectiv C (Fig. 2.1). Prin punctul C trasăm drepte paralele cu drepte care trec prin perechi de puncte O, A și O, B. Desemnând punctele de intersecție A" și B", obținem un paralelogram OA"CB", prin urmare, OC" = OA" + OB". Vector OA" și un vector diferit de zero a = OA sunt coliniare și, prin urmare, primul dintre ele poate fi obținut prin înmulțirea celui de-al doilea cu un număr real α:OA" = αOA. În mod similar, OB" = βOB, β ∈ R. Ca urmare, obținem că OC" = α OA + βOB, adică vectorul c este o combinație liniară a vectorilor a și b. Conform teoremei 2.1, vectorii a, b, c sunt liniar dependenți.

Teorema 2.4. Oricare patru vectori sunt dependenți liniar.

◄ Efectuăm demonstrația după aceeași schemă ca în Teorema 2.3. Luați în considerare patru vectori arbitrari a, b, c și d. Dacă unul dintre cei patru vectori este zero, sau printre ei există doi vectori coliniari sau trei dintre cei patru vectori sunt coplanari, atunci acești patru vectori sunt dependenți liniar. De exemplu, dacă vectorii a și b sunt coliniari, atunci putem face combinația lor liniară αa + βb = 0 cu coeficienți nenuli și apoi adăugați cei doi vectori rămași la această combinație, luând zerouri ca coeficienți. Obținem o combinație liniară de patru vectori egali cu 0, în care există coeficienți nenuli.

Astfel, putem presupune că dintre cei patru vectori selectați, niciun vector nu este zero, nici doi nu sunt coliniari și nici trei nu sunt coplanari. Să alegem ca început comun punctul O. Atunci capetele vectorilor a, b, c, d vor fi niște puncte A, B, C, D (Fig. 2.2). Prin punctul D trasăm trei plane paralele cu planurile OBC, OCA, OAB și fie A", B", C" punctele de intersecție ale acestor plane cu dreptele OA, OB, respectiv OS. Obținem o paralelipiped OA" C "B" C" B"DA", iar vectorii a, b, c se află pe marginile sale care ies din vârful O. Deoarece patrulaterul OC"DC" este un paralelogram, atunci OD = OC" + OC". La rândul său, segmentul OC" este un paralelogram diagonal OA"C"B", deci OC" = OA" + OB" și OD = OA" + OB" + OC" .

Rămâne de observat că perechile de vectori OA ≠ 0 și OA" , OB ≠ 0 și OB" , OC ≠ 0 și OC" sunt coliniari și, prin urmare, este posibil să se selecteze coeficienții α, β, γ astfel încât OA" = aOA, OB" = pOB și OC" = yOC. În cele din urmă obținem OD = αOA + βOB + γOC. În consecință, vectorul OD este exprimat prin ceilalți trei vectori, iar toți cei patru vectori, conform teoremei 2.1, sunt liniar dependenți.

Definiție 18.2 Sistem de funcțiif, ..., f pnumitli- neip o h iar in si cu si m. cam pe th pe interval(A, (3), dacă unele netriviale 5 o combinație liniară a acestor funcții este egală cu zero pe acest interval în mod identic:

Definiție 18.3 Sistem vectorial f 1, ..., x n se spune că este liniar în a b i c i m dacă o combinație netrivială, liniară a acestor vectori este egală cu vectorul marcator:

L Pentru a evita confuzia, în cele ce urmează vom nota numărul componentei vectoriale (funcția vectorială) cu indicele, iar numărul vectorului în sine (dacă există mai mulți astfel de vectori) cu indicele superior.

„Vă reamintim că o combinație liniară se numește non-trivială dacă nu toți coeficienții din ea sunt zero.

Definiție 18.4 Sistemul de funcții vectoriale x 1 ^),..., x n (t) se numește liniar h și în și cu și în interval,(A, /3), dacă o combinație liniară netrivială a acestor funcții vectoriale este identic egală cu vectorul zero pe acest interval:

Este important să înțelegem legătura dintre aceste trei concepte (dependența liniară a funcțiilor, vectorilor și funcțiilor vectoriale) între ele.

În primul rând, dacă prezentăm formula (18.6) în formă extinsă (reținând că fiecare dintre x g (1) este un vector)

atunci se dovedește a fi echivalent cu sistemul de egalități

adică dependență liniară componenta gîn sensul primei definiţii (ca funcţii). Ei spun că dependența liniară a funcțiilor vectoriale le implică componentă cu componentă dependență liniară.

Reversul, în general, nu este adevărat: este suficient să luăm în considerare exemplul unei perechi de funcții vectoriale

Primele componente ale acestor funcții vectoriale pur și simplu coincid, ceea ce înseamnă că sunt dependente liniar. Cele doua componente sunt proporționale, adică. sunt, de asemenea, dependente liniar. Totuși, dacă încercăm să construim combinația lor liniară, care este identic egală cu zero, atunci din relație

primim sistemul imediat

care are o soluție unică S - S-2 - 0. Astfel, funcțiile noastre vectoriale sunt liniar independente.

Care este motivul acestei proprietăți ciudate? Care este trucul care vă permite să construiți funcții vectoriale liniar independente din funcții dependente în mod evident?

Rezultă că întregul punct nu este atât în ​​dependența liniară a componentelor, cât în ​​proporția de coeficienți care este necesar pentru a obține zero. În cazul dependenței liniare a funcțiilor vectoriale, același set de coeficienți servește tuturor componentelor, indiferent de număr. Dar în exemplul pe care l-am dat, o componentă necesita o proporție de coeficienți, iar alta necesita alta. Deci trucul este de fapt simplu: pentru a obține o dependență liniară a funcțiilor vectoriale ca un întreg dintr-o dependență liniară „în funcție de componente”, este necesar ca toate componentele să fie dependente liniar „în aceeași proporție”.

Să trecem acum la studiul conexiunii dintre dependența liniară a funcțiilor vectoriale și a vectorilor. Aici este aproape evident că din dependența liniară a funcțiilor vectoriale rezultă că pentru fiecare fix t* vector

va fi dependent liniar.

Reversul, în general, nu este valabil: din dependența liniară a vectorilor pentru fiecare t Dependența liniară a funcțiilor vectoriale nu urmează. Acest lucru este ușor de văzut folosind exemplul a două funcții vectoriale

La t=1, t=2 și t=3 obținem perechi de vectori

respectiv. Fiecare pereche de vectori este proporțională (cu coeficienții 1,2 și respectiv 3). Este ușor de înțeles că pentru orice fix t* perechea noastră de vectori va fi proporțională cu coeficientul t*.

Dacă încercăm să construim o combinație liniară de funcții vectoriale care este identic egală cu zero, atunci deja primele componente ne dau relația

ceea ce este posibil numai dacă CU = CU2 = 0. Astfel, funcțiile noastre vectoriale s-au dovedit a fi liniar independente. Din nou, explicația pentru acest efect este că, în cazul dependenței liniare a funcțiilor vectoriale, același set de constante Cj servește toate valorile. t, iar în exemplul nostru pentru fiecare valoare t era necesară o proporţie specifică între coeficienţi.

Fie ca funcțiile să aibă derivate ale limitei (n-1).

Luați în considerare determinantul: (1)

W(x) se numește determinant Wronski pentru funcții.

Teorema 1. Dacă funcțiile sunt dependente liniar în intervalul (a, b), atunci Wronskianul lor W(x) este identic egal cu zero în acest interval.

Dovada. Conform condițiilor teoremei, relația este îndeplinită

, (2) unde nu toate sunt egale cu zero. Lăsa . Apoi

(3). Diferențiem această identitate de n-1 ori și,

Înlocuind în schimb valorile lor obținute în determinantul Wronsky,

primim:

(4).

În determinantul Wronski, ultima coloană este o combinație liniară a coloanelor anterioare n-1 și, prin urmare, este egală cu zero în toate punctele din intervalul (a, b).

Teorema 2. Dacă funcțiile y1,…, yn sunt soluții liniar independente ale ecuației L[y] = 0, ai căror coeficienți sunt continui în intervalul (a, b), atunci Wronskianul acestor soluții este diferit de zero în fiecare punct al intervalul (a, b).

Dovada. Să presupunem contrariul. Există X0, unde W(X0)=0. Să creăm un sistem de n ecuații

(5).

În mod evident, sistemul (5) are o soluție diferită de zero. Fie (6).

Să facem o combinație liniară de soluții y1,…, yn.

Y(x) este o soluție a ecuației L[y] = 0. În plus, . În virtutea teoremei unicității pentru soluția ecuației L[y] = 0 cu zero condiții inițiale poate fi doar zero, adică .

Obținem identitatea în care nu toate sunt egale cu zero, ceea ce înseamnă că y1,..., yn sunt dependente liniar, ceea ce contrazice condițiile teoremei. În consecință, nu există un astfel de punct în care W(X0)=0.

Pe baza teoremei 1 și teoremei 2, se poate formula următoarea afirmație. Pentru ca n soluții ale ecuației L[y] = 0 să fie liniar independente în intervalul (a, b), este necesar și suficient ca Wronskianul lor să nu dispară în niciun punct al acestui interval.

Următoarele proprietăți evidente ale lui Wronskian decurg, de asemenea, din teoremele dovedite.

1. Dacă Wronskianul a n soluții ale ecuației L[y] = 0 este egal cu zero într-un punct x = x0 din intervalul (a, b), în care toți coeficienții pi(x) sunt continui, atunci este egal cu zero în toate punctele acestui interval.
2. Dacă Wronskianul a n soluții pentru ecuația L[y] = 0 este nenulă la un punct x = x0 din intervalul (a, b), atunci este nenulă în toate punctele acestui interval.

Astfel, pentru liniaritatea a n soluții independente ale ecuației L[y] = 0 în intervalul (a, b), în care coeficienții ecuației рi(x) sunt continui, este necesar și suficient ca Wronskianul lor să fie diferit de zero cel puțin într-un punct al acestui interval.

Următoarele oferă câteva criterii pentru dependența liniară și, în consecință, independența liniară a sistemelor vectoriale.

Teorema. (Condiție necesară și suficientă pentru dependența liniară a vectorilor.)

Un sistem de vectori este dependent dacă și numai dacă unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți ai acestui sistem.

Dovada. Necesitate. Fie ca sistemul să fie dependent liniar. Apoi, prin definiție, reprezintă vectorul zero în mod netrivial, adică. există o combinație netrivială a acestui sistem de vectori egală cu vectorul zero:

unde cel puțin unul dintre coeficienții acestei combinații liniare nu este egal cu zero. Lăsa , .

Să împărțim ambele părți ale egalității anterioare la acest coeficient diferit de zero (adică înmulțim cu:

Să notăm: , unde .

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți ai acestui sistem etc.

Adecvarea. Fie ca unul dintre vectorii sistemului să fie exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem:

Să mutăm vectorul la dreapta acestei egalități:

Deoarece coeficientul vectorului este egal cu , atunci avem o reprezentare netrivială a zero printr-un sistem de vectori, ceea ce înseamnă că acest sistem de vectori este dependent liniar etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1. Un sistem de vectori dintr-un spațiu vectorial este liniar independent dacă și numai dacă niciunul dintre vectorii sistemului nu este exprimat liniar în termenii altor vectori ai acestui sistem.

2. Un sistem de vectori care conțin un vector zero sau doi vectori egali este dependent liniar.

Dovada.

1) Necesitatea. Fie sistemul liniar independent. Să presupunem contrariul și există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem. Apoi, conform teoremei, sistemul este dependent liniar și ajungem la o contradicție.

Adecvarea. Niciunul dintre vectorii sistemului nu fie exprimat în termenii celorlalți. Să presupunem contrariul. Fie ca sistemul să fie dependent liniar, dar din teoremă rezultă că există un vector al sistemului care este exprimat liniar prin alți vectori ai acestui sistem și ajungem din nou la o contradicție.

2a) Fie ca sistemul să conțină un vector zero. Să presupunem pentru certitudine că vectorul :. Atunci egalitatea este evidentă

acestea. unul dintre vectorii sistemului este exprimat liniar prin ceilalți vectori ai acestui sistem. Din teoremă rezultă că un astfel de sistem de vectori este dependent liniar etc.

Rețineți că acest fapt poate fi demonstrat direct dintr-un sistem de vectori dependent liniar.

Deoarece , următoarea egalitate este evidentă

Aceasta este o reprezentare non-trivială a vectorului zero, ceea ce înseamnă că sistemul este dependent liniar.

2b) Fie ca sistemul să aibă doi vectori egali. Lasă pentru . Atunci egalitatea este evidentă

Acestea. primul vector este exprimat liniar prin vectorii rămași ai aceluiași sistem. Din teoremă rezultă că acest sistem este dependent liniar etc.

Similar cu cea precedentă, această afirmație poate fi demonstrată direct prin definirea unui sistem dependent liniar.

Dependența liniară și independența liniară a vectorilor.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În sală există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar fiecare vizitator de astăzi va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni ale matematicii superioare și vom vedea cum ele coexistă într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă un Twix! ... la naiba, ce grămadă de prostii. Deși, bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să ai o atitudine pozitivă față de studiu.

Dependența liniară a vectorilor, independența vectorului liniar, baza de vectori iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem descrie într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru o dovadă, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul meteo, pe care tocmai am fost la Gismeteo pentru: – temperatura si Presiunea atmosferică respectiv. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) se aplică tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar se vor da exemple geometrice. Astfel, totul este simplu, accesibil și clar. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva probleme tipice de algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Să luăm în considerare planul biroului computerului tău (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice îți place). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, un blat de masă are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv că vor fi necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este în mod clar suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Bazat pe baza selectată setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor obiectelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător mâna stângă pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic mana dreapta pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce putem spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în clasă. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul biroului computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, iar un plan are lungime și lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile și expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, altul decât 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar Nu dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este obținută. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „deformată” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale este extins în funcție de baza:
, unde sunt numerele reale. Numerele sunt numite coordonate vectorialeîn această bază.

Se mai spune că vectorprezentat ca combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăpe baza sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, putem spune că vectorul este descompus de-a lungul unei baze ortonormale a planului, sau putem spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definirea bazei oficial: Baza avionului se numește pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice un vector plan este o combinație liniară de vectori de bază.

Un punct esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. Bazele – acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, nu poți înlocui degetul mic de la mâna stângă în locul degetului mic de la mâna dreaptă.

Am descoperit baza, dar nu este suficient să setați o grilă de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu este suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe tot planul. Deci, cum atribui coordonatele acelor mici locuri murdare de pe masă rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de reper este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Să înțelegem sistemul de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva diferențe între sistemul de coordonate dreptunghiular și baza ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbesc despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea înseamnă originea, axele de coordonate și scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” într-un motor de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să reprezentați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se pare că un sistem de coordonate dreptunghiular poate fi complet definit în termenii unei baze ortonormale. Și asta este aproape adevărat. Formularea este următoarea:

origine, Și ortonormal baza este pusă Sistem de coordonate plan cartezian dreptunghiular . Adică sistemul de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea vezi desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt adesea (dar nu întotdeauna) desenate.

Cred că toată lumea înțelege că folosind un punct (origine) și o bază ortonormală ORICE PUNCT din avion și ORICE VECTOR din avion pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul dintr-un avion poate fi numerotat”.

Este necesar ca vectorii de coordonate să fie unitar? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare un punct și doi vectori ortogonali de lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori este definită de o grilă de coordonate, iar orice punct din plan, orice vector își are coordonatele într-o bază dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unitatea, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul axei x conține 4 cm, iar o unitate de-a lungul axei ordonatelor conține 2 cm. Aceste informații sunt suficiente pentru, dacă este necesar, pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns, este dacă unghiul dintre vectorii de bază trebuie să fie egal cu 90 de grade? Nu! După cum afirmă definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistem de coordonate plan afin :

Uneori este numit un astfel de sistem de coordonate oblic sistem. Ca exemple, desenul prezintă puncte și vectori:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil; formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, despre care am discutat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în această relație, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine este sistemul dreptunghiular cartezian. De aceea, cel mai adesea trebuie să o vezi, draga mea. ...Totuși, totul în această viață este relativ - există multe situații în care un unghi oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Și umanoizilor le-ar putea plăcea astfel de sisteme =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru sistemul de coordonate dreptunghiulare, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici; tot materialul este accesibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani au fost coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționaleÎn esență, aceasta este o detaliere coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Să aflăm dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să inventezi imediat proporția și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Să scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută invers; aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotest, puteți folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, au loc egalitățile . Valabilitatea lor poate fi ușor verificată prin operații elementare cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Să facem o proporție din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, această opțiune nu este respinsă de evaluatori, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să lucrezi prin proporție aici? (într-adevăr, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Un mic exemplu creativ pentru propria dvs. soluție:

Exemplul 2

La ce valoare a parametrului sunt vectorii vor fi coliniari?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero.

Sper cu adevărat că până acum înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile pe care le-ați întâlnit.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a aplica această caracteristică, desigur, trebuie să fii capabil găsiți determinanți.

Să decidem Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Să calculăm determinantul alcătuit din coordonatele vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale :
, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Arată mult mai compact și mai frumos decât o soluție cu proporții.

Cu ajutorul materialului luat în considerare, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și demonstrarea paralelismului segmentelor și liniilor drepte. Să luăm în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să creați un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Să ne amintim definiția paralelogramului:
Paralelogram Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi se numește.

Astfel, trebuie să demonstrăm:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și.

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („după școală” – vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să formalizezi decizia clar, cu aranjament. Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele în perechi, ceea ce înseamnă că este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient să vă amintiți pur și simplu cum arată.

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Soluție completă la sfarsitul lectiei.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
V)

Soluţie:
a) Să verificăm dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se formalizează prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali printr-un determinant de ordinul trei, aceasta metoda acoperite în articol Produs vectorial al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor spațiale și al liniilor drepte.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor în spațiul tridimensional.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre modelele pe care le-am examinat în avion vor fi valabile pentru spațiu. Am încercat să minimizez notele de teorie pentru că partea leului informațiile au fost deja stricate. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul biroului computerului, explorăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar, în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, vor fi necesari trei vectori spațiali. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să o întindeți în direcții diferite degetul mare, index și degetul mijlociu . Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu este nevoie să le demonstrați profesorilor acest lucru, oricât de tare vă răsuciți degetele, dar nu există nicio scăpare de la definiții =)

În continuare, să întrebăm problema importanta, oricare trei vectori formează o bază a spațiului tridimensional? Vă rugăm să apăsați ferm trei degete pe partea de sus a biroului computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre dimensiuni - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, este destul de evident că baza spațiului tridimensional nu este creată.

Trebuie remarcat faptul că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali a făcut asta =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare, dacă există un plan cu care sunt paralele. Este logic să adăugăm aici că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, să ne imaginăm din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Afirmația opusă este de asemenea adevărată: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu se exprimă în niciun fel unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza spațiului tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, și orice vector de spațiu singura cale este descompusă pe o bază dată, unde sunt coordonatele vectorului din această bază

Permiteți-mi să vă reamintesc că putem spune și că vectorul este reprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca și pentru cazul plan; un punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar unui plan, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa în sistemul de coordonate afine al spațiului.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, după cum toată lumea presupune, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

Un punct din spațiu numit origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate spațiu dreptunghiular cartezian . Poza cunoscută:

Înainte de a trece la sarcinile practice, să sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Cred că afirmațiile opuse sunt de înțeles.

Dependența/independența liniară a vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind un determinant (punctul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să închideți bastonul de geometrie și să mânuiți bâta de baseball de algebră liniară:

Trei vectori ai spațiului sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba din acest motiv - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate nu le înțeleg deloc, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza spațiului tridimensional:

Soluţie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale (determinantul este dezvăluit în prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza spațiului tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează o bază

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero:

În esență, trebuie să rezolvați o ecuație cu un determinant. Ne aruncăm pe zerouri ca zmeele pe jerboas - cel mai bine este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici; pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul inițial și să vă asigurați că , deschizând-o din nou.

În concluzie, vom lua în considerare o altă problemă tipică, care este de natură mai algebrică și este inclusă în mod tradițional într-un curs de algebră liniară. Este atât de comun încât merită propriul subiect:

Demonstrați că 3 vectori formează baza spațiului tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în această bază

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază în spațiul tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este această bază nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și prima etapă coincide complet cu soluția din Exemplul 6; este necesar să se verifice dacă vectorii sunt cu adevărat independenți liniar:

Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează baza spațiului tridimensional.