Când nu există rădăcini într-o ecuație pătratică. Ecuații cuadratice

Școala secundară rurală Kopyevskaya

10 moduri de a rezolva ecuații pătratice

Șef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesor de matematică

s.Kopievo, 2007

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice

1.3 Ecuații cuadratice în India

1.4 Ecuații cuadratice în al-Khwarizmi

1.5 Ecuații cuadratice în Europa secolele XIII - XVII

1.6 Despre teorema lui Vieta

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Concluzie

Literatură

1. Istoria dezvoltării ecuațiilor pătratice

1.1 Ecuații cuadratice în Babilonul antic

Necesitatea rezolvării ecuațiilor nu numai de gradul I, ci și de gradul II în antichitate a fost cauzată de necesitatea rezolvării problemelor legate de găsirea zonelor de pământ și de terasamente cu caracter militar, precum și de dezvoltarea astronomiei și matematica în sine. Ecuațiile cuadratice au putut să rezolve aproximativ 2000 î.Hr. e. babilonienii.

Folosind notația algebrică modernă, putem spune că în textele lor cuneiforme, pe lângă cele incomplete, există, de exemplu, ecuații patratice complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Regula de rezolvare a acestor ecuații, enunțată în textele babiloniene, coincide în esență cu cea modernă, dar nu se știe cum au ajuns babilonienii la această regulă. Aproape toate textele cuneiforme găsite până acum dau doar probleme cu soluțiile enunțate sub formă de rețete, fără nicio indicație despre cum au fost găsite.

In ciuda faptului ca nivel inalt dezvoltarea algebrei în Babilon, în textele cuneiforme nu există conceptul de număr negativ și metode comune soluții de ecuații pătratice.

1.2 Cum a compilat și a rezolvat Diophantus ecuațiile pătratice.

Aritmetica lui Diofant nu conține o expunere sistematică a algebrei, dar conține o serie sistematică de probleme, însoțite de explicații și rezolvate prin formularea de ecuații de diferite grade.

La compilarea ecuațiilor, Diophantus alege cu pricepere necunoscutele pentru a simplifica soluția.

Iată, de exemplu, una dintre sarcinile lui.

Sarcina 11.„Găsiți două numere știind că suma lor este 20 și produsul lor este 96”

Diophantus argumentează astfel: din condiția problemei rezultă că numerele dorite nu sunt egale, deoarece dacă ar fi egale, atunci produsul lor ar fi egal nu cu 96, ci cu 100. Astfel, unul dintre ele va fi mai mult decât jumătate din suma lor, adică . 10+x, celălalt este mai mic, adică. anii 10. Diferența dintre ele 2x .

De aici rezultă ecuația:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

De aici x = 2. Unul dintre numerele dorite este 12 , alte 8 . Soluţie x = -2 căci Diofantul nu există, deoarece matematica greacă nu cunoștea decât numere pozitive.

Dacă rezolvăm această problemă alegând unul dintre numerele dorite ca necunoscut, atunci vom ajunge la soluția ecuației

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Este clar că Diophantus simplifică soluția alegând jumătate de diferență a numerelor dorite ca necunoscută; el reuşeşte să reducă problema la rezolvarea unei ecuaţii pătratice incomplete (1).

1.3 Ecuații cuadratice în India

Probleme pentru ecuațiile pătratice se găsesc deja în tractul astronomic „Aryabhattam”, compilat în 499 de matematicianul și astronomul indian Aryabhatta. Un alt savant indian, Brahmagupta (secolul al VII-lea), a expus regula generala soluții de ecuații pătratice reduse la o singură formă canonică:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

În ecuația (1), coeficienții, cu excepția A, poate fi și negativ. Regula lui Brahmagupta coincide în esență cu a noastră.

În India antică, competițiile publice pentru rezolvarea problemelor dificile erau obișnuite. Într-una dintre cărțile vechi indiene, despre astfel de competiții se spune următoarele: „Așa cum soarele strălucește stelele cu strălucirea sa, așa om de știință eclipsează gloria altuia în ședințele publice, propunând și rezolvând probleme algebrice. Sarcinile erau adesea îmbrăcate în formă poetică.

Iată una dintre problemele celebrului matematician indian din secolul al XII-lea. Bhaskara.

Sarcina 13.

„O turmă plină de maimuțe și douăsprezece în viță de vie...

După ce am mâncat putere, m-am distrat. Au început să sară, atârnând...

Partea a opta dintre ei într-un pătrat Câte maimuțe erau acolo,

Să te distrezi pe pajiște. Îmi spui, în turma asta?

Soluția lui Bhaskara indică faptul că el știa despre două valori ale rădăcinilor ecuațiilor pătratice (Fig. 3).

Ecuația corespunzătoare problemei 13 este:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrie sub pretextul:

x 2 - 64x = -768

și, pentru a completa partea stângă a acestei ecuații la un pătrat, el adaugă la ambele părți 32 2 , obtinand atunci:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ecuații cuadratice în al-Khorezmi

Tratatul de algebric al lui Al-Khorezmi oferă o clasificare a ecuațiilor liniare și pătratice. Autorul enumeră 6 tipuri de ecuații, exprimându-le astfel:

1) „Pătratele sunt egale cu rădăcinile”, adică ax 2 + c = b X.

2) „Pătratele sunt egale cu numărul”, adică ax 2 = s.

3) „Rădăcinile sunt egale cu numărul”, adică. ah = s.

4) „Pătratele și numerele sunt egale cu rădăcinile”, adică. ax 2 + c = b X.

5) „Pătratele și rădăcinile sunt egale cu numărul”, i.e. ah 2+ bx = s.

6) „Rădăcinile și numerele sunt egale cu pătratele”, adică bx + c \u003d ax 2.

Pentru al-Khwarizmi, care a evitat utilizarea numerelor negative, termenii fiecăreia dintre aceste ecuații sunt adunări, nu scăderi. În acest caz, ecuațiile care nu au soluții pozitive, evident, nu sunt luate în considerare. Autorul conturează metodele de rezolvare a acestor ecuații, folosind metodele lui al-jabr și al-muqabala. Deciziile lui, desigur, nu coincid complet cu ale noastre. Ca să nu mai vorbim de faptul că este pur retoric, trebuie remarcat, de exemplu, că la rezolvarea unei ecuații pătratice incomplete de primul tip

al-Khorezmi, ca toți matematicienii dinainte de secolul al XVII-lea, nu ține cont de soluția zero, probabil pentru că nu contează în probleme practice specifice. Atunci când rezolvă ecuații patratice complete, al-Khorezmi stabilește regulile de rezolvare și apoi dovezi geometrice, folosind exemple numerice particulare.

Sarcina 14.„Pătratul și numărul 21 sunt egale cu 10 rădăcini. Găsiți rădăcina" (presupunând rădăcina ecuației x 2 + 21 = 10x).

Soluția autorului este cam așa: împărțiți numărul de rădăcini la jumătate, obțineți 5, înmulțiți 5 cu el însuși, scădeți 21 din produs, rămâne 4. Luați rădăcina lui 4, obțineți 2. Scădeți 2 din 5, voi obțineți 3, aceasta va fi rădăcina dorită. Sau adăugați 2 la 5, ceea ce va da 7, aceasta este și o rădăcină.

Tratatul al - Khorezmi este prima carte care a ajuns la noi, în care clasificarea ecuațiilor pătratice este formulată sistematic și sunt date formule pentru rezolvarea lor.

1.5 Ecuații cuadratice în Europa XIII - XVII secole

Formulele pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice pe modelul lui al - Khorezmi în Europa au fost expuse pentru prima dată în „Cartea Abacului”, scrisă în 1202 de matematicianul italian Leonardo Fibonacci. Această lucrare voluminoasă, care reflectă influența matematicii, atât în ​​țările Islamului, cât și Grecia antică, diferă atât în ​​ceea ce privește completitatea, cât și claritatea prezentării. Autorul a dezvoltat în mod independent câteva exemple algebrice noi de rezolvare a problemelor și a fost primul din Europa care a abordat introducerea numerelor negative. Cartea sa a contribuit la răspândirea cunoștințelor algebrice nu numai în Italia, ci și în Germania, Franța și alte țări europene. Multe sarcini din „Cartea Abacului” au trecut în aproape toate manualele europene din secolele XVI-XVII. și parțial XVIII.

Regula generală pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice reduse la o singură formă canonică:

x 2+ bx = cu,

pentru toate combinațiile posibile de semne ale coeficienților b , Cu a fost formulată în Europa abia în 1544 de M. Stiefel.

Derivarea formulei de rezolvare a unei ecuații pătratice în vedere generala Viet are, dar Viet a recunoscut doar rădăcini pozitive. Matematicienii italieni Tartaglia, Cardano, Bombelli au fost printre primii în secolul al XVI-lea. Luați în considerare, pe lângă rădăcinile pozitive și negative. Abia în secolul al XVII-lea. Datorită muncii lui Girard, Descartes, Newton și alți oameni de știință, modul de rezolvare a ecuațiilor pătratice capătă un aspect modern.

1.6 Despre teorema lui Vieta

Teorema care exprimă relația dintre coeficienții unei ecuații pătratice și rădăcinile acesteia, purtând numele de Vieta, a fost formulată de acesta pentru prima dată în 1591 astfel: „Dacă B + Dînmulțit cu A - A 2 , egal BD, apoi A egală LA si egali D ».

Pentru a înțelege Vieta, trebuie să ne amintim asta DAR, ca orice vocală, a însemnat pentru el necunoscutul (nostru X), vocalele LA, D- coeficienți pentru necunoscut. În limbajul algebrei moderne, formularea lui Vieta de mai sus înseamnă: dacă

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Exprimarea relației dintre rădăcinile și coeficienții ecuațiilor formule generale, scris folosind simboluri, Viet a stabilit uniformitate în metodele de rezolvare a ecuațiilor. Cu toate acestea, simbolismul Vietei este încă departe de a fi aspect modern. El nu a recunoscut numerele negative și, prin urmare, la rezolvarea ecuațiilor, a luat în considerare doar cazurile în care toate rădăcinile sunt pozitive.

2. Metode de rezolvare a ecuaţiilor pătratice

Ecuațiile cuadratice sunt fundația pe care se sprijină maiestuosul edificiu al algebrei. Ecuațiile pătratice sunt utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților trigonometrice, exponențiale, logaritmice, iraționale și transcendentale. Cu toții știm să rezolvăm ecuații patratice de la școală (clasa a 8-a) până la absolvire.

Formule pentru rădăcinile unei ecuații pătratice. Sunt luate în considerare cazurile de rădăcini reale, multiple și complexe. Factorizarea unui trinom pătrat. Interpretare geometrică. Exemple de determinare a rădăcinilor și factorizării.

Formule de bază

Luați în considerare ecuația pătratică:
(1) .
Rădăcinile unei ecuații pătratice(1) sunt determinate de formulele:
; .
Aceste formule pot fi combinate astfel:
.
Când rădăcinile ecuației pătratice sunt cunoscute, atunci polinomul de gradul doi poate fi reprezentat ca produs de factori (factorizați):
.

În plus, presupunem că sunt numere reale.
Considera discriminant al unei ecuații pătratice:
.
Dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale diferite:
; .
Atunci factorizarea trinomului pătrat are forma:
.
Dacă discriminantul este zero, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini reale multiple (egale):
.
Factorizare:
.
Dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația pătratică (1) are două rădăcini conjugate complexe:
;
.
Iată unitatea imaginară, ;
și sunt părțile reale și imaginare ale rădăcinilor:
; .
Apoi

.

Interpretare grafică

Dacă graficăm funcția
,
care este o parabolă, atunci punctele de intersecție ale graficului cu axa vor fi rădăcinile ecuației
.
Când , graficul intersectează axa (axa) absciselor în două puncte.
Când , graficul atinge axa x la un moment dat.
Când , graficul nu traversează axa x.

Mai jos sunt exemple de astfel de grafice.

Formule utile legate de ecuația cuadratică

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Derivarea formulei pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Efectuăm transformări și aplicăm formulele (f.1) și (f.3):




,
Unde
; .

Deci, am obținut formula pentru polinomul de gradul doi sub forma:
.
Din aceasta se poate observa că ecuația

efectuat la
și .
Adică și sunt rădăcinile ecuației pătratice
.

Exemple de determinare a rădăcinilor unei ecuații pătratice

Exemplul 1

(1.1) .

Soluţie

.
Comparând cu ecuația noastră (1.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este pozitiv, ecuația are două rădăcini reale:
;
;
.

De aici obținem descompunerea trinomului pătrat în factori:

.

Graficul funcției y = 2 x 2 + 7 x + 3 traversează axa x în două puncte.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Acesta traversează axa x (axa) în două puncte:
și .
Aceste puncte sunt rădăcinile ecuației inițiale (1.1).

Răspuns

;
;
.

Exemplul 2

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(2.1) .

Soluţie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
.
Comparând cu ecuația inițială (2.1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Deoarece discriminantul este zero, ecuația are două rădăcini multiple (egale):
;
.

Atunci factorizarea trinomului are forma:
.

Graficul funcției y = x 2 - 4 x + 4 atinge axa x la un moment dat.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Atinge axa x (axa) la un moment dat:
.
Acest punct este rădăcina ecuației inițiale (2.1). Deoarece această rădăcină este factorizată de două ori:
,
atunci o astfel de rădăcină se numește multiplu. Adică, ei consideră că există două rădăcini egale:
.

Răspuns

;
.

Exemplul 3

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice:
(3.1) .

Soluţie

Scriem ecuația pătratică în formă generală:
(1) .
Să rescriem ecuația inițială (3.1):
.
Comparând cu (1), găsim valorile coeficienților:
.
Găsirea discriminantului:
.
Discriminantul este negativ, . Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Puteți găsi rădăcini complexe:
;
;
.

Apoi


.

Graficul funcției nu traversează axa x. Nu există rădăcini reale.

Să diagramăm funcția
.
Graficul acestei funcții este o parabolă. Nu traversează abscisa (axa). Prin urmare, nu există rădăcini reale.

Răspuns

Nu există rădăcini reale. Rădăcini complexe:
;
;
.

Ecuație cuadratică - ușor de rezolvat! * Mai departe în textul „KU”. Prieteni, s-ar părea că la matematică poate fi mai ușor decât rezolvarea unei astfel de ecuații. Dar ceva mi-a spus că mulți oameni au probleme cu el. Am decis să văd câte impresii oferă Yandex pe cerere pe lună. Iată ce s-a întâmplat, aruncați o privire:

Ce înseamnă? Aceasta înseamnă că aproximativ 70.000 de oameni pe lună caută această informație, ce legătură are această vară cu ea și care va fi printre an scolar- cererile vor fi de două ori mai mari. Acest lucru nu este surprinzător, pentru că acei băieți și fete care au absolvit de mult școala și se pregătesc pentru examen caută aceste informații, iar școlarii încearcă și ei să-și împrospăteze memoria.

În ciuda faptului că există o mulțime de site-uri care spun cum să rezolv această ecuație, am decis să contribu și eu și să public materialul. În primul rând, doresc ca vizitatorii să vină pe site-ul meu la această solicitare; în al doilea rând, în alte articole, când apare discursul „KU”, voi da un link către acest articol; în al treilea rând, vă voi spune puțin mai multe despre soluția lui decât se spune de obicei pe alte site-uri. Să începem! Conținutul articolului:

O ecuație pătratică este o ecuație de forma:

unde coeficienții a,bși cu numere arbitrare, cu a≠0.

În cursul școlar, materialul este dat în următoarea formă - împărțirea ecuațiilor în trei clase se face condiționat:

1. Au două rădăcini.

2. * Au o singură rădăcină.

3. Nu au rădăcini. Este demn de remarcat aici că nu au rădăcini reale

Cum se calculează rădăcinile? Doar!

Calculăm discriminantul. Sub acest cuvânt „îngrozitor” se află o formulă foarte simplă:

Formulele rădăcinilor sunt următoarele:

*Aceste formule trebuie cunoscute pe de rost.

Puteți nota și rezolva imediat:

Exemplu:

1. Dacă D > 0, atunci ecuația are două rădăcini.

2. Dacă D = 0, atunci ecuația are o rădăcină.

3. Dacă D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Să ne uităm la ecuație:

Cu această ocazie, când discriminantul este zero, cursul școlar spune că se obține o rădăcină, aici este egală cu nouă. Așa este, este, dar...

Această reprezentare este oarecum incorectă. De fapt, există două rădăcini. Da, da, nu fi surprins, rezultă două rădăcini egale și, pentru a fi precis din punct de vedere matematic, atunci două rădăcini ar trebui să fie scrise în răspuns:

x 1 = 3 x 2 = 3

Dar așa este - o mică digresiune. La școală, poți scrie și spune că există o singură rădăcină.

Acum următorul exemplu:

După cum știm, rădăcina unui număr negativ nu este extrasă, deci nu există o soluție în acest caz.

Acesta este tot procesul de decizie.

Funcția pătratică.

Iată cum arată soluția din punct de vedere geometric. Acest lucru este extrem de important de înțeles (în viitor, într-unul dintre articole, vom analiza în detaliu soluția unei inegalități pătratice).

Aceasta este o funcție a formei:

unde x și y sunt variabile

a, b, c sunt numere date, unde a ≠ 0

Graficul este o parabolă:

Adică, rezultă că rezolvând o ecuație pătratică cu „y” egal cu zero, găsim punctele de intersecție ale parabolei cu axa x. Pot exista două dintre aceste puncte (discriminantul este pozitiv), unul (discriminantul este zero) sau niciunul (discriminantul este negativ). Mai multe despre funcția pătratică Puteți vizualiza articol de Inna Feldman.

Luați în considerare exemple:

Exemplul 1: Decide 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Răspuns: x 1 = 8 x 2 = -12

* Puteți împărți imediat părțile stânga și dreaptă ale ecuației cu 2, adică simplificați-o. Calculele vor fi mai ușoare.

Exemplul 2: Decide x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Avem că x 1 \u003d 11 și x 2 \u003d 11

În răspuns, este permis să scrieți x = 11.

Răspuns: x = 11

Exemplul 3: Decide x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Discriminantul este negativ, nu există soluție în numerele reale.

Răspuns: nicio soluție

Discriminantul este negativ. Există o soluție!

Aici vom vorbi despre rezolvarea ecuației în cazul în care se obține un discriminant negativ. Știi ceva despre numerele complexe? Nu voi intra în detaliu aici despre de ce și unde au apărut și care este rolul și necesitatea lor specifică în matematică, acesta este un subiect pentru un articol separat.

Conceptul de număr complex.

Un pic de teorie.

Un număr complex z este un număr de formă

z = a + bi

unde a și b sunt numere reale, i este așa-numita unitate imaginară.

a+bi este un SINGUR NUMĂR, nu o adăugare.

Unitatea imaginară este egală cu rădăcina lui minus unu:

Acum luați în considerare ecuația:

Obțineți două rădăcini conjugate.

Ecuație pătratică incompletă.

Luați în considerare cazuri speciale, atunci când coeficientul „b” sau „c” este egal cu zero (sau ambele sunt egale cu zero). Ele se rezolvă cu ușurință, fără discriminare.

Cazul 1. Coeficientul b = 0.

Ecuația ia forma:

Să transformăm:

Exemplu:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Cazul 2. Coeficientul c = 0.

Ecuația ia forma:

Transformați, factorizați:

*Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero.

Exemplu:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 sau x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Cazul 3. Coeficienții b = 0 și c = 0.

Aici este clar că soluția ecuației va fi întotdeauna x = 0.

Proprietăți utile și modele de coeficienți.

Există proprietăți care permit rezolvarea ecuațiilor cu coeficienți mari.

AX 2 + bx+ c=0 egalitate

A + b+ c = 0, apoi

— dacă pentru coeficienții ecuației AX 2 + bx+ c=0 egalitate

A+ cu =b, apoi

Aceste proprietăți ajută la rezolvarea unui anumit tip de ecuație.

Exemplul 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Suma coeficienților este 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, deci

Exemplul 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Egalitatea A+ cu =b, mijloace

Regularități ale coeficienților.

1. Dacă în ecuația ax 2 + bx + c \u003d 0 coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Dacă în ecuația ax 2 - bx + c \u003d 0, coeficientul „b” este (a 2 +1), iar coeficientul „c” este egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Dacă în ecuaţie ax 2 + bx - c = 0 coeficient "b" este egal (a 2 – 1), și coeficientul „c” egal numeric cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt egale

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Dacă în ecuația ax 2 - bx - c \u003d 0, coeficientul „b” este egal cu (a 2 - 1), iar coeficientul c este numeric egal cu coeficientul „a”, atunci rădăcinile sale sunt

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Exemplu. Se consideră ecuația 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

teorema lui Vieta.

Teorema lui Vieta poartă numele celebrului matematician francez Francois Vieta. Folosind teorema lui Vieta, se poate exprima suma și produsul rădăcinilor unui KU arbitrar în termeni de coeficienți.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

În concluzie, numărul 14 dă doar 5 și 9. Acestea sunt rădăcinile. Cu o anumită îndemânare, folosind teorema prezentată, poți rezolva imediat multe ecuații pătratice oral.

În plus, teorema lui Vieta. convenabil deoarece după rezolvarea ecuației pătratice în mod obișnuit (prin discriminant), se pot verifica rădăcinile rezultate. Recomand să faci asta tot timpul.

METODA DE TRANSFER

Prin această metodă, coeficientul „a” este înmulțit cu termenul liber, parcă „transferat” acestuia, motiv pentru care se numește metoda de transfer. Această metodă este folosită atunci când este ușor de găsit rădăcinile unei ecuații folosind teorema lui Vieta și, cel mai important, când discriminantul este un pătrat exact.

În cazul în care un A± b+c≠ 0, atunci se utilizează tehnica de transfer, de exemplu:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Conform teoremei Vieta din ecuația (2), este ușor de determinat că x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Rădăcinile obținute ale ecuației trebuie împărțite la 2 (deoarece cele două au fost „aruncate” din x 2), obținem

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Care este rațiunea? Vezi ce se întâmplă.

Discriminanții ecuațiilor (1) și (2) sunt:

Dacă te uiți la rădăcinile ecuațiilor, atunci se obțin doar numitori diferiți, iar rezultatul depinde tocmai de coeficientul de la x 2:

A doua rădăcină (modificată) este de 2 ori mai mare.

Prin urmare, împărțim rezultatul la 2.

*Dacă aruncăm trei de un fel, atunci împărțim rezultatul la 3 și așa mai departe.

Răspuns: x 1 = 5 x 2 = 0,5

mp ur-ie și examenul.

Voi spune pe scurt despre importanța ei - TREBUIE SĂ POȚI DECIDE rapid și fără să stai pe gânduri, trebuie să cunoști pe de rost formulele rădăcinilor și discriminantului. Multe dintre sarcinile care fac parte din sarcinile USE se reduc la rezolvarea unei ecuații pătratice (inclusiv a celor geometrice).

Ce este de remarcat!

1. Forma ecuației poate fi „implicita”. De exemplu, următoarea intrare este posibilă:

15+ 9x 2 - 45x = 0 sau 15x+42+9x 2 - 45x=0 sau 15 -5x+10x 2 = 0.

Trebuie să îl aduceți într-o formă standard (pentru a nu vă încurca atunci când rezolvați).

2. Amintiți-vă că x este o valoare necunoscută și poate fi notat cu orice altă literă - t, q, p, h și altele.

LA societate modernă capacitatea de a opera cu ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Acest lucru poate fi evidențiat prin proiectarea navelor maritime și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, traiectoriile de mișcare cele mai multe corpuri diferite, inclusiv obiectele spațiale. Exemplele cu soluția ecuațiilor pătratice sunt folosite nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în excursii în camping, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factori componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stanga Expresia are trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea din partea dreaptă sunt egale cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu are niciunul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemplele cu rezolvarea unor astfel de probleme, în care valoarea variabilelor nu este greu de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia arată în așa fel încât să fie doi termeni în partea dreaptă a expresiei, mai precis ax 2 și bx, cel mai ușor este să găsiți x prin parantezele variabilei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). Mai mult, devine evident că fie x=0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei este zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct, luat drept origine. Aici notația matematică ia următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme în cazuri mai complexe. Luați în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și o descompunem în factori. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul trei și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Când factorizarea părții drepte în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -unu; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz de ecuație incompletă de ordinul doi este o expresie scrisă în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă este construit din componentele ax 2 si c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat partea dreapta, iar după aceea, rădăcina pătrată este extrasă din ambele părți ale egalității. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate s-a datorat în mare măsură necesității de a determina cu cea mai mare acuratețe suprafețele și perimetrele terenurilor.

De asemenea, ar trebui să luăm în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice compilate pe baza unor probleme de acest fel.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mult decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, la început vom face ecuația necesară. Să notăm lățimea secțiunii ca x, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din ceea ce s-a scris, rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar atât, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă a acesteia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc 0, așa că aici sunt folosite alte metode.

Discriminant

În primul rând, facem transformările necesare, apoi aspect această expresie va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această valoare auxiliară nu numai că face posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul Opțiuni. În cazul D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4(-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunea terenului nu poate fi măsurată în valori negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18+16=34, iar perimetrul 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Mai jos vor fi date exemple și o soluție detaliată a câtorva dintre ele.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Să transferăm totul în partea stângă a egalității, să facem o transformare, adică să obținem forma ecuației, care se numește de obicei cea standard, și să o echivalăm cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Deci, ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom dezvălui ghicitori de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini x 2 - 4x + 5 = 1 aici? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculăm discriminantul. În acest exemplu, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice prin formulele de mai sus și prin discriminant, atunci când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Este numit după un bărbat care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a avut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Folosind teorema Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am verificat, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul și ecuația unei parabole

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date anterior. Acum să ne uităm la câteva puzzle-uri matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de dependență, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula tocmai dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei aparținând axei y.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple cu soluția ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul unei parabole, puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor de trasat.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri, nu numai că se făceau calcule matematice și se determina aria formelor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. S-a întâmplat cu patru secole înainte de apariția erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități ale celor cunoscute oricărui student al timpului nostru.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India, Baudhayama, a preluat soluția ecuațiilor pătratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Sper că, după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Cu ajutorul discriminantului se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? aceasta ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați discriminantul D.

D \u003d b 2 - 4ac.

În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. rezolva ecuatia x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Răspuns: - 3,5; unu.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete după schema din figura 1.

Aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca polinom vedere standard

A x 2 + bx + c, altfel poți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi exemplul 2 soluția de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (monomul cu cel mai mare exponent ar trebui să fie pe primul loc, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bx, iar apoi termenul liber Cu.

La rezolvarea ecuației pătratice de mai sus și a ecuației pătratice cu un coeficient par pentru al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să facem cunoștință cu aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă cu al doilea termen coeficientul este par (b = 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unitatea și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată de rezolvat sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă a soluției pătratului redus
ecuații. Luați în considerare exemplul aplicării formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. rezolva ecuatia

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3

Puteți vedea că coeficientul de la x din această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi, să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama figură. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și împărțind, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 = 0 Rezolvăm această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind bine formulele prezentate în diagrama din figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.