Osnovna površina pravilne formule šestougla. Regular hexagon

Šestougao je mnogokut sa 6 strana i 6 uglova. U zavisnosti od toga da li je šestougao pravilan ili ne, postoji nekoliko metoda za pronalaženje njegove površine. Sve ćemo pregledati.

Kako pronaći površinu pravilnog šesterokuta

Formule za izračunavanje površine pravilnog šesterokuta - konveksni poligon sa šest identičnih strana.

Zadata dužina stranice:

• Formula površine: S = (3√3*a²)/2
• Ako je poznata dužina stranice a, onda ako je zamijenimo u formulu, lako možemo pronaći površinu figure.
• Inače, dužina stranice se može pronaći kroz perimetar i apotemu.
• Ako je zadan opseg, onda ga jednostavno podijelimo sa 6 i dobijemo dužinu jedne strane. Na primjer, ako je opseg 24, tada će dužina stranice biti 24/6 = 4.
• Apotema je okomita povučena iz centra na jednu od strana. Da bismo pronašli dužinu jedne stranice, dužinu apoteme zamjenjujemo u formulu a = 2*m/√3. Odnosno, ako je apotema m = 2√3, onda je dužina stranice a = 2*2√3/√3 = 4.

S obzirom na apotemu:

• Formula površine: S = 1/2*p*m, gdje je p perimetar, m je apotema.
• Nađimo obim šesterokuta kroz apotemu. U prethodnom paragrafu naučili smo kako pronaći dužinu jedne strane kroz apotemu: a \u003d 2 * m / √3. Ostaje samo pomnožiti ovaj rezultat sa 6. Dobijamo formulu perimetra: p \u003d 12 * m / √3.

S obzirom na polumjer opisane kružnice:

• Poluprečnik kružnice opisane oko pravilnog šestougla jednak je stranici ovog šestougla.
  Formula površine: S = (3√3*a²)/2

S obzirom na polumjer upisane kružnice:

• Formula površine: S = 3√3*r², gdje je r = √3*a/2 (a je jedna od stranica poligona).

Kako pronaći površinu nepravilnog šesterokuta

Formule za izračunavanje površine nepravilnog šestougla - mnogougla čije stranice nisu jednake jedna drugoj.

Trapez metoda:

• Podijelimo šesterokut na proizvoljne trapeze, izračunamo površinu svakog od njih i zbrojimo ih.
• Osnovne formule za površinu trapeza: S = 1/2*(a + b)*h, gdje su a i b osnove trapeza, h visina.
  S = h*m, gdje je h visina, m srednja linija.

Poznate su koordinate vrhova šestougla:

• Za početak, zapišimo koordinate tačaka, štoviše, ne postavljajući ih u haotični red, već uzastopno jednu za drugom. Na primjer:
  O: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  Ž: (-5, 6)
• Zatim, pažljivo, pomnožite x-koordinatu svake tačke sa y-koordinatom sljedeće tačke:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Zbrojite rezultate:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Zatim pomnožite y-koordinatu svake tačke sa x-koordinatom sljedeće tačke.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Zbrojite rezultate:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Oduzmite drugo od prvog rezultata:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Dobijeni broj je podijeljen sa dva:
  134/2 = 67
  Odgovor: 67 kvadratnih jedinica.

• Također, da biste pronašli površinu šesterokuta, možete ga razbiti na trouglove, kvadrate, pravokutnike, paralelograme i tako dalje. Pronađite površine njegovih sastavnih figura i zbrojite ih.

Dakle, proučavane su metode za pronalaženje površine šesterokuta za sve prilike. Sada samo naprijed i primijeni ono što si naučio! Sretno!

Matematička svojstva

Svi uglovi su 120°.

Poluprečnik upisane kružnice je:

Opseg pravilnog šestougla je:

Šestougaoni oblažu ravninu, odnosno mogu ispuniti ravan bez praznina i preklapanja, formirajući takozvani parket.

Šestougaoni parket (šestougaoni parket)- teselacija ravni sa jednakim pravilnim šestouglovima koji se nalaze jedna na drugu.

Šestougaoni parket je dvostruki trokutasti parket: ako spojite centre susjednih šesterokuta, tada će iscrtani segmenti dati trouglasti parket. Schläfli simbol šesterokutnog parketa je (6,3), što znači da se tri šesterokuta spajaju na svakom vrhu parketa.

Šestougaoni parket je najgušće pakovanje krugova u ravni. U dvodimenzionalnom euklidskom prostoru najbolje je ispuniti središta krugova na vrhovima parketa formiranog od pravilnih šesterokuta, u kojima je svaki krug okružen sa šest drugih. Gustina ovog pakovanja je . 1940. godine dokazano je da je ovo pakovanje najgušće.

Pravilni šestougao sa stranicom je univerzalni poklopac, odnosno svaki skup prečnika može biti pokriven pravilnim šestougaonom stranom (Pal-ova lema).

Pravilan šestougao se može konstruisati pomoću šestara i ravnala. Ispod je metoda konstrukcije koju je predložio Euklid u Elementima, knjiga IV, teorema 15.

Pravilni heksagon u prirodi, tehnologiji i kulturi

Neki složeni kristali i molekuli, kao što je grafit, imaju heksagonalnu kristalnu rešetku.

Nastaje kada mikroskopske kapljice vode u oblacima privlače čestice prašine i smrzavaju se. Kristali leda koji se pojavljuju u ovom slučaju, koji u početku ne prelaze 0,1 mm u prečniku, padaju i rastu kao rezultat kondenzacije vlage iz zraka na njima. U ovom slučaju nastaju šestokraki kristalni oblici. Zbog strukture molekula vode, mogući su uglovi od samo 60° i 120° između zraka kristala. Glavni kristal vode ima oblik pravilnog šestougla u ravnini. Potom se na vrhove takvog šesterokuta talože novi kristali, na njih se talože novi i tako se dobijaju različiti oblici zvijezda pahuljica.

Naučnici sa Univerziteta Oksford uspjeli su simulirati pojavu takvog šesterokuta u laboratoriji. Kako bi otkrili kako dolazi do takve formacije, istraživači su stavili bocu vode od 30 litara na gramofon. Ona je modelirala atmosferu Saturna i njegovu uobičajenu rotaciju. Unutra su naučnici postavili male prstenove koji se rotiraju brže od kontejnera. To je stvorilo minijaturne vrtloge i mlaze, koje su eksperimentatori vizualizirali zelenom bojom. Što se prsten brže rotirao, vrtlozi su postajali sve veći, što je uzrokovalo da obližnji potok odstupa od kružnog oblika. Tako su autori eksperimenta uspjeli dobiti različite oblike - ovale, trokute, kvadrate i, naravno, željeni šesterokut.

Spomenik prirode od oko 40.000 međusobno povezanih bazaltnih (rijetko andezitnih) stupova, nastalih kao rezultat drevne vulkanske erupcije. Smješten na sjeveroistoku Sjeverne Irske, 3 km sjeverno od grada Bushmillsa.

Vrhovi stupova čine svojevrsnu odskočnu dasku, koja počinje u podnožju litice i nestaje ispod površine mora. Većina stupova je heksagonalna, iako neki imaju četiri, pet, sedam ili osam uglova. Najviši stub je visok oko 12 metara.

Prije oko 50-60 miliona godina, tokom paleogenskog perioda, nalazište Antrim je bilo podložno intenzivnoj vulkanskoj aktivnosti kada je rastopljeni bazalt prožimao naslage, formirajući opsežne visoravni lave. S brzim hlađenjem, volumen tvari se smanjio (to se opaža kada se blato osuši). Horizontalna kompresija rezultirala je karakterističnom strukturom šesterokutnih stupova.

Poprečni presjek matice ima oblik pravilnog šesterokuta.

Znate li kako izgleda običan šestougao?
Ovo pitanje nije slučajno postavljeno. Većina učenika 11. razreda ne zna odgovor na to pitanje.

Pravilan šestougao je onaj kod kojeg su sve strane jednake i svi uglovi su takođe jednaki..

Iron nut. Pahuljica. Ćelija saća u kojoj žive pčele. Molekula benzena. Šta je zajedničko ovim objektima? - Činjenica da svi imaju pravilan heksagonalni oblik.

Mnogi školarci su izgubljeni kada vide zadatke za pravilan šesterokut i smatraju da su za njihovo rješavanje potrebne neke posebne formule. je li tako?

Nacrtajte dijagonale pravilnog šestougla. Dobili smo šest jednakostraničnih trouglova.

Znamo da je površina jednakostraničnog trougla .

Tada je površina pravilnog šesterokuta šest puta veća.

Gdje je stranica pravilnog šestougla.

Imajte na umu da je u pravilnom šesterokutu udaljenost od njegovog centra do bilo kojeg vrha ista i jednaka strani pravilnog šesterokuta.

To znači da je polumjer kružnice opisane oko pravilnog šestougla jednak njegovoj strani.
Lako je pronaći polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut.
On je jednak.
Sada možete lako riješiti sve probleme USE u kojima se pojavljuje pravilan šesterokut.

Pronađite polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut sa stranicom .

Polumjer takve kružnice je .

Odgovor: .

Koja je stranica pravilnog šestougla upisanog u krug poluprečnika 6?

Znamo da je stranica pravilnog šestougla jednaka poluprečniku kružnice koja je opisana oko nje.

Tema poligona je obrađena u školskom programu, ali joj se ne posvećuje dovoljno pažnje. U međuvremenu, zanimljivo je, a to se posebno odnosi na pravilan šesterokut ili šesterokut - uostalom, mnogi prirodni objekti imaju ovaj oblik. To uključuje saće i još mnogo toga. Ovaj oblik se vrlo dobro primjenjuje u praksi.

Definicija i konstrukcija

Pravilni šestougao je ravna figura koja ima šest stranica jednakih dužina i isti broj jednakih uglova.

Ako se prisjetimo formule za zbir uglova poligona

ispada da je na ovoj slici jednako 720 °. Pa, pošto su svi uglovi figure jednaki, lako je izračunati da je svaki od njih jednak 120 °.

Crtanje šesterokuta je vrlo jednostavno, sve što vam treba je šestar i ravnalo.

Upute korak po korak će izgledati ovako:

Ako želite, možete učiniti bez linije crtanjem pet krugova jednakog polumjera.

Tako dobijena figura bit će pravilan šesterokut, a to se može dokazati u nastavku.

Nekretnine su jednostavne i zanimljive

Da biste razumjeli svojstva pravilnog šesterokuta, ima smisla razbiti ga na šest trokuta:

To će pomoći u budućnosti da se jasnije prikažu njegova svojstva, od kojih su glavna:

1. prečnik opisanog kruga;
2. prečnik upisane kružnice;
3. kvadrat;
4. perimetar.

Opisani krug i mogućnost konstrukcije

Moguće je opisati krug oko šesterokuta, i štaviše, samo jedan. Pošto je ova figura tačna, možete to učiniti vrlo jednostavno: nacrtajte simetralu iz dva susjedna ugla unutra. Seku se u tački O i zajedno sa stranicom između njih čine trougao.

Uglovi između stranice šesterokuta i simetrale će biti po 60°, tako da se sa sigurnošću može reći da je trokut, na primjer, AOB, jednakokračan. A budući da će i treći ugao biti jednak 60 °, on je također jednakostraničan. Iz toga slijedi da su segmenti OA i OB jednaki, što znači da mogu poslužiti kao polumjer kružnice.

Nakon toga možete ići na sljedeću stranu i također nacrtati simetralu iz ugla u tački C. Ispostavit će se još jedan jednakostranični trokut, a strana AB bit će zajednička za dvije odjednom, a OS će biti sljedeći polumjer kroz koji prolazi isti krug. Ukupno će biti šest takvih trokuta, i oni će imati zajednički vrh u tački O. Ispada da će biti moguće opisati krug, a on je samo jedan, a njegov polumjer je jednak strani šesterokuta :

Zato je ovu figuru moguće konstruisati uz pomoć šestara i ravnala.

Pa, površina ovog kruga će biti standardna:

Upisan krug

Središte opisane kružnice poklapa se sa središtem upisane. Da bismo to potvrdili, možemo povući okomite iz tačke O na stranice šesterokuta. One će biti visine onih trouglova koji čine šestougao. A u jednakokračnom trokutu, visina je medijana u odnosu na stranu na kojoj počiva. Dakle, ova visina nije ništa drugo do okomita simetrala, koja je polumjer upisane kružnice.

Visina jednakostraničnog trokuta izračunava se jednostavno:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

A pošto je R=a i r=h, ispada da je to

r=R(√3)/2.

Dakle, upisana kružnica prolazi kroz središta stranica pravilnog šestougla.

Njegova površina će biti:

S=3πa²/4,

odnosno tri četvrtine opisanog.

Perimetar i površina

Sve je jasno sa perimetrom, ovo je zbir dužina stranica:

P=6a, ili P=6R

Ali površina će biti jednaka zbiru svih šest trouglova na koje se šestougao može podijeliti. Pošto se površina trokuta izračunava kao polovina umnožaka osnove i visine, onda:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) = 6a² (√3) / 4 = 3a² (√3) / 2 ili

S=3R²(√3)/2

Oni koji žele izračunati ovu površinu kroz polumjer upisane kružnice mogu učiniti ovako:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Zabavne konstrukcije

U šesterokut se može upisati trokut čije će stranice spajati vrhove kroz jedan:

Biće ih ukupno dvoje, a njihovo nametanje jedno drugom daće Davidovu zvezdu. Svaki od ovih trouglova je jednakostraničan. Ovo je lako provjeriti. Ako pogledate AC stranu, onda ona pripada dva trougla odjednom - BAC i AEC. Ako je u prvom od njih AB \u003d BC, a kut između njih 120 °, tada će svaki od preostalih biti 30 °. Iz ovoga možemo izvući logične zaključke:

1. Visina ABC od temena B biće jednaka polovini stranice šestougla, pošto sin30°=1/2. Onima koji to žele provjeriti može se savjetovati da preračunaju prema Pitagorinoj teoremi, ovdje se savršeno uklapa.
2. AC strana će biti jednaka dva poluprečnika upisane kružnice, koja se ponovo izračunava pomoću iste teoreme. To jest, AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. Trouglovi ABC, CDE i AEF su jednaki po dve strane i ugao između njih, a otuda sledi jednakost stranica AC, CE i EA.

Sekući se, trouglovi formiraju novi šestougao, a on je takođe pravilan. Lako je dokazati:

Dakle, figura ispunjava znakove pravilnog šesterokuta - ima šest jednakih stranica i uglova. Iz jednakosti trokuta na vrhovima, lako je zaključiti dužinu stranice novog šesterokuta:

d=a(√3)/3

To će također biti polumjer kružnice opisane oko njega. Poluprečnik upisanog biće polovina stranice velikog šestougla, što je i dokazano razmatranjem trougla ABC. Njegova visina je tačno polovina stranice, dakle, druga polovina je poluprečnik kružnice upisane u mali šestougao:

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(a(√3)/3)²=a(√3)/2

Ispostavilo se da je površina šesterokuta unutar Davidove zvijezde tri puta manja od površine velikog u koji je zvijezda upisana.

Od teorije do prakse

Svojstva šesterokuta se vrlo aktivno koriste kako u prirodi tako iu različitim područjima ljudske aktivnosti. Prije svega, to se odnosi na vijke i matice - šeširi prvog i drugog nisu ništa više od običnog šesterokuta, ako ne uzmete u obzir kosine. Veličina ključeva odgovara promjeru upisanog kruga - odnosno udaljenosti između suprotnih strana.

Svoju primjenu su našle i heksagonalne pločice. Mnogo je rjeđi od četverokutnog, ali ga je pogodnije postaviti: tri pločice se susreću u jednoj tački, a ne četiri. Kompozicije mogu biti veoma zanimljive:

Proizvode se i betonske ploče za popločavanje.

Rasprostranjenost heksagona u prirodi objašnjava se jednostavno. Dakle, najlakše je krugove i kuglice čvrsto postaviti na ravan ako imaju isti prečnik. Zbog toga saće imaju takav oblik.

sa pitanjem: Kako pronaći površinu šesterokuta?, možete se susresti ne samo na ispitu iz geometrije itd., Ovo znanje će vam biti korisno u svakodnevnom životu, na primjer, za ispravan i tačan proračun površine prostorije tokom procesa popravke. Zamjenom potrebnih vrijednosti u formulu, bit će moguće odrediti potreban broj rola tapeta, pločica za kupaonicu ili kuhinju itd.

Neke činjenice iz istorije

Geometrija se koristila još u starom Babilonu i druge države koje su postojale u isto vrijeme s njim. Proračuni su pomogli u izgradnji značajnih građevina, jer su zahvaljujući njima arhitekti znali kako održati vertikalu, pravilno napraviti plan i odrediti visinu.

Estetika je takođe bila od velike važnosti, a tu je ponovo došla u igru ​​geometrija. Danas je ova nauka potrebna graditelju, sekaču, arhitekti, a ne ni specijalistu.

Stoga je bolje biti u stanju izračunati S brojke, da bi se shvatilo da formule mogu biti korisne u praksi.

Površina običnog 6-ugla

Tako da imamo heksagonalna figura sa jednakim stranicama i uglovima. U svakodnevnom životu često imamo priliku sresti predmete pravilnog šesterokutnog oblika.

Na primjer:

• vijak;
• saće;
• pahuljica.

Heksagonalna figura najekonomičnije ispunjava prostor na ravni. Pogledajte ploče za popločavanje, jedna na drugu tako da nema praznina.

Svaki ugao je 120˚. Strana figure jednaka je poluprečniku opisane kružnice.

Kalkulacija

Tražena vrijednost može se izračunati dijeljenjem figure na šest trouglova sa jednakim stranicama.

Nakon izračunavanja S jednog od trouglova, lako je odrediti opšti. Jednostavna formula, budući da je pravilan šesterokut, u stvari, šest jednakih trouglova. Dakle, da bismo ga izračunali, pronađena površina jednog trokuta se množi sa 6.

Ako povučemo okomicu iz središta šesterokuta na bilo koju od njegovih strana, dobićemo segment - apothem.

Pogledajmo kako pronaći S šesterokuta ako je poznat apotema:

1. S =1/2×perimetar×apotema.
2. Uzmimo apotemu jednaku 5√3 cm.

1. Opseg pronalazimo pomoću apoteme: pošto je apotema okomita na stranu šesterokuta, uglovi trougla koji se formira sa apotemom su 30˚-60˚-90˚. Svaka strana trougla odgovara: x-x√3-2x, pri čemu je kratka, naspram ugla od 30˚, x; duga strana naspram ugla od 60˚ je x√3, a hipotenuza je 2x.
2. Apotema x√3 može se zamijeniti formulom a=x√3. Ako je apotema 5√3, zamjenom ove vrijednosti, dobijamo: 5√3cm=x√3, ili x=5cm.
3. Kraća stranica trougla je 5 cm, jer je ta vrijednost polovina dužine stranice 6-kuta. Množenjem 5 sa 2 dobijamo 10 cm, što je vrednost dužine stranice.
4. Dobivenu vrijednost pomnožimo sa 6 i dobijemo vrijednost perimetra - 60 cm.

Dobijene rezultate zamjenjujemo u formulu: S=1/2×perimetar×apotema

S=½×60cm×5√3

Mi vjerujemo:

Pojednostavljamo odgovor da bismo se riješili korijena. Rezultat će biti izražen u kvadratnim centimetrima: ½×60cm×5√3cm=30×5√3cm=150√3cm=259.8s m².

Kako pronaći površinu nepravilnog šesterokuta

Postoji nekoliko opcija:

• Raščlamba 6-kuta na druge figure.
• metoda trapeza.
• Proračun S nepravilnih poligona korištenjem koordinatnih osa.

Izbor metode diktiran je početnim podacima.

Metoda trapeza

Heksagon je podijeljen na zasebne trapeze, nakon čega se izračunava površina svake rezultirajuće figure.

Korištenje koordinatnih osa

Koristimo koordinate vrhova poligona:

• Zapisujemo koordinate vrhova x i y u tablicu. Uzastopno biramo vrhove, "krećući se" suprotno od kazaljke na satu, upotpunjujući listu ponovnim snimanjem koordinata prvog vrha.
• Pomnožite x vrijednost 1. vrha sa y vrijednošću 2. vrha i nastavite množiti. Sumiramo rezultate.
• Množimo vrijednosti koordinata y1-tog vrha sa vrijednostima x-koordinata 2. vrha. Rezultate zbrajamo.
• Oduzmite količinu dobijenu u 4. fazi od količine dobijene u trećoj fazi.
• Podijelimo rezultat dobiven u prethodnoj fazi i pronađemo ono što smo tražili.

Rastavljanje šesterokuta u druge oblike

Poligoni se dijele na druge oblike: trapezoide, trouglove, pravokutnike. Koristeći formule za izračunavanje površina navedenih figura, izračunavaju se i zbrajaju tražene vrijednosti.

Nepravilan šestougao može se sastojati od dva paralelograma. Da bi se izračunala površina paralelograma, njegova dužina se množi sa širinom, a zatim se dodaju već poznate dvije površine.

Površina jednakostraničnog šestougla

Pravilan šestougao ima šest jednakih stranica. Površina jednakostranične figure jednaka je 6S trokuta na koje je podijeljen pravilni šesterokut. Svaki trokut u pravilnom šesterokutu je jednak, stoga je za izračunavanje površine takve figure dovoljno znati površinu barem jednog trokuta.

Da biste pronašli željenu vrijednost, koristite formulu za područje gore opisane regularne figure.