Zona de bază a unei formule hexagonale obișnuite. Hexagon obișnuit

Un hexagon este un poligon cu 6 laturi și 6 unghiuri. În funcție de faptul că un hexagon este regulat sau nu, există mai multe metode pentru a-și găsi aria. Vom revizui totul.

Cum să găsiți aria unui hexagon obișnuit

Formule pentru calcularea ariei unui hexagon regulat - un poligon convex cu șase laturi identice.

Lungimea laterală dată:

• Formula ariei: S = (3√3*a²)/2
• Dacă lungimea laturii a este cunoscută, înlocuind-o în formulă, putem găsi cu ușurință aria figurii.
• În caz contrar, lungimea laturii poate fi găsită prin perimetru și apotem.
• Dacă perimetrul este dat, atunci pur și simplu îl împărțim la 6 și obținem lungimea unei laturi. De exemplu, dacă perimetrul este 24, atunci lungimea laturii va fi 24/6 = 4.
• Apotema este o perpendiculară desenată din centru către una dintre laturi. Pentru a găsi lungimea unei laturi, înlocuim lungimea apotemului în formula a = 2*m/√3. Adică, dacă apotema m = 2√3, atunci lungimea laturii a = 2*2√3/√3 = 4.

Dată o apotema:

• Formula ariei: S = 1/2*p*m, unde p este perimetrul, m este apotema.
• Să găsim perimetrul hexagonului prin apotem. În paragraful anterior, am învățat cum să găsim lungimea unei laturi printr-o apotema: a \u003d 2 * m / √3. Rămâne doar să înmulțim acest rezultat cu 6. Obținem formula perimetrului: p \u003d 12 * m / √3.

Având în vedere raza cercului circumscris:

• Raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon regulat este egală cu latura acestui hexagon.
  Formula ariei: S = (3√3*a²)/2

Având în vedere raza cercului înscris:

• Formula ariei: S = 3√3*r², unde r = √3*a/2 (a este una dintre laturile poligonului).

Cum să găsiți aria unui hexagon neregulat

Formule pentru calcularea ariei unui hexagon neregulat - un poligon ale cărui laturi nu sunt egale între ele.

Metoda trapezului:

• Împărțim hexagonul în trapeze arbitrare, calculăm aria fiecăruia dintre ele și le adunăm.
• Formule de bază pentru aria unui trapez: S = 1/2*(a + b)*h, unde a și b sunt bazele trapezului, h este înălțimea.
  S = h*m, unde h este înălțimea, m este linia mediană.

Coordonatele vârfurilor hexagonului sunt cunoscute:

• Pentru început, să notăm coordonatele punctelor, în plus, așezându-le nu într-o ordine haotică, ci secvenţial unul după altul. De exemplu:
  A: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• Apoi, cu grijă, înmulțiți coordonatele x a fiecărui punct cu coordonatele y a următorului punct:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Adunați rezultatele:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Apoi, înmulțiți coordonata y a fiecărui punct cu coordonata x a punctului următor.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Adunați rezultatele:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Scădeți al doilea din primul rezultat:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Numărul rezultat se împarte la doi:
  134/2 = 67
  Răspuns: 67 de unități pătrate.

• De asemenea, pentru a găsi aria unui hexagon, îl puteți împărți în triunghiuri, pătrate, dreptunghiuri, paralelograme și așa mai departe. Găsiți zonele figurilor sale constitutive și însumați-le.

Deci, metodele de găsire a zonei unui hexagon pentru toate ocaziile au fost studiate. Acum continuă și aplică ceea ce ai învățat! Mult noroc!

Proprietăți matematice

Toate unghiurile sunt de 120°.

Raza cercului înscris este:

Perimetrul unui hexagon regulat este:

Hexagoane care plac planul, adică pot umple planul fără goluri și suprapuneri, formând așa-numitul parchet.

Parchet hexagonal (parchet hexagonal)- teselare a planului cu hexagoane regulate egale situate unul în celălalt.

Parchetul hexagonal este dual cu parchet triunghiular: dacă conectați centrele hexagoanelor adiacente, atunci segmentele desenate vor da un parchet triunghiular. Simbolul Schläfli al unui parchet hexagonal este (6,3), ceea ce înseamnă că trei hexagoane converg la fiecare vârf al parchetului.

Parchetul hexagonal este cel mai dens pachet de cercuri din plan. În spațiul euclidian bidimensional, cea mai bună umplere este plasarea centrelor cercurilor la vârfurile unui parchet format din hexagoane regulate, în care fiecare cerc este înconjurat de alți șase. Densitatea acestui ambalaj este de . În 1940, s-a dovedit că acest ambalaj este cel mai dens.

Un hexagon obișnuit cu o latură este un capac universal, adică orice set de diametru poate fi acoperit de un hexagon obișnuit cu o latură (lema lui Pal).

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o busolă și o linie dreaptă. Mai jos este metoda de construcție propusă de Euclid în Elementele, Cartea IV, Teorema 15.

Hexagon obișnuit în natură, tehnologie și cultură

Unele cristale și molecule complexe, cum ar fi grafitul, au o rețea cristalină hexagonală.

Se formează atunci când picăturile microscopice de apă din nori sunt atrase de particulele de praf și îngheață. Cristalele de gheață care apar în acest caz, care la început nu depășesc 0,1 mm în diametru, cad și cresc ca urmare a condensului umidității din aer pe ele. În acest caz, se formează forme cristaline cu șase vârfuri. Datorită structurii moleculelor de apă, între razele cristalului sunt posibile doar unghiuri de 60° și 120°. Cristalul principal de apă are forma unui hexagon regulat în plan. Pe vârfurile unui astfel de hexagon se depun apoi cristale noi, pe ele se depun altele noi și astfel se obțin diverse forme de stele fulgi de nea.

Oamenii de știință de la Universitatea Oxford au reușit să simuleze apariția unui astfel de hexagon în laborator. Pentru a afla cum se produce o astfel de formațiune, cercetătorii au plasat o sticlă de apă de 30 de litri pe o placă turnantă. Ea a modelat atmosfera lui Saturn și rotația sa obișnuită. În interior, oamenii de știință au plasat inele mici care se rotesc mai repede decât recipientul. Acest lucru a generat vârtejuri și jeturi în miniatură, pe care experimentatorii le-au vizualizat cu vopsea verde. Cu cât inelul se învârtea mai repede, cu atât vârtejurile deveneau mai mari, ceea ce face ca pârâul din apropiere să devieze de la o formă circulară. Astfel, autorii experimentului au reușit să obțină diverse forme – ovale, triunghiuri, pătrate și, bineînțeles, hexagonul dorit.

Un monument natural de aproximativ 40.000 de coloane bazaltice (mai rar andezitice) interconectate, format ca urmare a unei erupții vulcanice antice. Situat în nord-estul Irlandei de Nord, la 3 km nord de orașul Bushmills.

Vârfurile coloanelor formează un fel de trambulină, care începe de la poalele stâncii și dispare sub suprafața mării. Majoritatea coloanelor sunt hexagonale, deși unele au patru, cinci, șapte sau opt colțuri. Cea mai înaltă coloană are aproximativ 12 metri înălțime.

Cu aproximativ 50-60 de milioane de ani în urmă, în timpul perioadei Paleogene, situl Antrim a fost supus unei activități vulcanice intense atunci când bazaltul topit a pătruns prin depozite, formând platouri extinse de lavă. Odată cu răcirea rapidă, volumul substanței a scăzut (acest lucru se observă atunci când noroiul se usucă). Comprimarea orizontală a dus la structura caracteristică a stâlpilor hexagonali.

Secțiunea transversală a piuliței are forma unui hexagon obișnuit.

Știți cum arată un hexagon obișnuit?
Această întrebare nu a fost pusă întâmplător. Majoritatea elevilor din clasa a 11-a nu știu răspunsul.

Un hexagon regulat este unul în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt, de asemenea, egale..

Nucă de fier. Fulg de nea. O celulă de faguri în care trăiesc albinele. Moleculă de benzen. Ce au aceste obiecte în comun? - Faptul că toate au o formă regulată hexagonală.

Mulți școlari sunt pierduți când văd sarcini pentru un hexagon obișnuit și cred că sunt necesare niște formule speciale pentru a le rezolva. E chiar asa?

Desenați diagonalele unui hexagon regulat. Avem șase triunghiuri echilaterale.

Știm că aria unui triunghi echilateral este .

Atunci aria unui hexagon obișnuit este de șase ori mai mare.

Unde este latura unui hexagon obișnuit.

Vă rugăm să rețineți că într-un hexagon obișnuit, distanța de la centrul său la oricare dintre vârfuri este aceeași și egală cu latura hexagonului obișnuit.

Aceasta înseamnă că raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon obișnuit este egală cu latura acestuia.
Raza unui cerc înscris într-un hexagon obișnuit este ușor de găsit.
El este egal.
Acum puteți rezolva cu ușurință orice probleme de USE în care apare un hexagon obișnuit.

Aflați raza unui cerc înscris într-un hexagon regulat cu latura .

Raza unui astfel de cerc este .

Răspuns: .

Care este latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza 6?

Știm că latura unui hexagon obișnuit este egală cu raza cercului circumscris în jurul lui.

Tema poligoanelor este acoperită în programa școlară, dar nu îi acordă suficientă atenție. Între timp, este interesant și acest lucru este valabil mai ales pentru un hexagon sau hexagon obișnuit - la urma urmei, multe obiecte naturale au această formă. Acestea includ faguri și multe altele. Această formă este foarte bine aplicată în practică.

Definiție și construcție

Un hexagon obișnuit este o figură plană care are șase laturi egale în lungime și același număr de unghiuri egale.

Dacă ne amintim formula pentru suma unghiurilor unui poligon

se dovedește că în această cifră este egal cu 720 °. Ei bine, deoarece toate unghiurile figurii sunt egale, este ușor de calculat că fiecare dintre ele este egal cu 120 °.

Desenarea unui hexagon este foarte simplă, tot ce ai nevoie este o busolă și o riglă.

Instrucțiunile pas cu pas vor arăta astfel:

Dacă doriți, puteți face fără o linie desenând cinci cercuri de rază egală.

Cifra astfel obținută va fi un hexagon regulat, iar acest lucru poate fi demonstrat mai jos.

Proprietățile sunt simple și interesante

Pentru a înțelege proprietățile unui hexagon obișnuit, este logic să-l împărțim în șase triunghiuri:

Acest lucru va ajuta pe viitor să-și afișeze mai clar proprietățile, dintre care principalele sunt:

1. diametrul cercului circumscris;
2. diametrul cercului înscris;
3. pătrat;
4. perimetru.

Cercul circumscris și posibilitatea construcției

Este posibil să descrii un cerc în jurul unui hexagon și, în plus, doar unul. Deoarece această cifră este corectă, o puteți face destul de simplu: trageți o bisectoare din două unghiuri adiacente în interior. Se intersectează în punctul O, iar împreună cu latura dintre ele formează un triunghi.

Unghiurile dintre latura hexagonului și bisectoare vor fi de 60° fiecare, așa că putem spune cu siguranță că un triunghi, de exemplu, AOB, este isoscel. Și deoarece al treilea unghi va fi, de asemenea, egal cu 60 °, este și echilateral. Rezultă că segmentele OA și OB sunt egale, ceea ce înseamnă că pot servi drept rază a cercului.

După aceea, puteți merge în partea următoare și, de asemenea, puteți trage o bisectoare din unghiul din punctul C. Se va dovedi un alt triunghi echilateral, iar latura AB va fi comună pentru două simultan, iar OS va fi următoarea rază prin care trece același cerc. Vor fi șase astfel de triunghiuri în total și vor avea un vârf comun în punctul O. Se dovedește că va fi posibil să se descrie cercul și este doar unul, iar raza lui este egală cu latura hexagonului :

De aceea, este posibil să construiți această figură cu ajutorul unei busole și a unei rigle.

Ei bine, zona acestui cerc va fi standard:

Cerc înscris

Centrul cercului circumscris coincide cu centrul celui înscris. Pentru a verifica acest lucru, putem desena perpendiculare din punctul O spre laturile hexagonului. Ele vor fi înălțimile acelor triunghiuri care alcătuiesc hexagonul. Și într-un triunghi isoscel, înălțimea este mediana față de latura pe care se sprijină. Astfel, această înălțime nu este altceva decât bisectoarea perpendiculară, care este raza cercului înscris.

Înălțimea unui triunghi echilateral se calculează simplu:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Și deoarece R=a și r=h, se dovedește că

r=R(√3)/2.

Astfel, cercul înscris trece prin centrele laturilor unui hexagon regulat.

Zona sa va fi:

S=3πa²/4,

adică trei sferturi din cea descrisă.

Perimetrul si zona

Totul este clar cu perimetrul, aceasta este suma lungimilor laturilor:

P=6a, sau P=6R

Dar aria va fi egală cu suma tuturor celor șase triunghiuri în care poate fi împărțit hexagonul. Deoarece aria unui triunghi este calculată ca jumătate din produsul bazei și înălțimii, atunci:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 sau

S=3R²(√3)/2

Cei care doresc să calculeze această zonă prin raza cercului înscris se pot face astfel:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Construcții distractive

Un triunghi poate fi înscris într-un hexagon, ale cărui laturi vor lega vârfurile printr-unul:

Vor fi doi în total, iar impunerea lor unul asupra celuilalt va da Steaua lui David. Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Acest lucru este ușor de verificat. Dacă te uiți la partea AC, atunci aparține la două triunghiuri simultan - BAC și AEC. Dacă în primul dintre ele AB \u003d BC, iar unghiul dintre ele este de 120 °, atunci fiecare dintre cele rămase va fi de 30 °. De aici putem trage concluzii logice:

1. Înălțimea lui ABC de la vârful B va fi egală cu jumătate din latura hexagonului, deoarece sin30°=1/2. Cei care doresc să verifice acest lucru pot fi sfătuiți să recalculeze conform teoremei lui Pitagora, aceasta se potrivește perfect aici.
2. Latura AC va fi egală cu două raze ale cercului înscris, care se calculează din nou folosind aceeași teoremă. Adică AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. Triunghiurile ABC, CDE și AEF sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele și, prin urmare, urmează egalitatea laturilor AC, CE și EA.

Intersectându-se unele cu altele, triunghiurile formează un nou hexagon și este, de asemenea, regulat. Este ușor de dovedit:

Astfel, figura îndeplinește semnele unui hexagon obișnuit - are șase laturi și unghiuri egale. Din egalitatea triunghiurilor de la vârfuri, este ușor să deducem lungimea laturii noului hexagon:

d=а(√3)/3

Va fi, de asemenea, raza cercului descris în jurul lui. Raza înscrisului va fi jumătate din latura hexagonului mare, ceea ce a fost dovedit luând în considerare triunghiul ABC. Înălțimea sa este exact jumătate din latură, prin urmare, a doua jumătate este raza cercului înscris în hexagonul mic:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Se pare că aria hexagonului din interiorul stelei lui David este de trei ori mai mică decât cea a celui mare în care este înscrisă steaua.

De la teorie la practică

Proprietățile hexagonului sunt foarte activ utilizate atât în ​​natură, cât și în diverse domenii ale activității umane. În primul rând, acest lucru se aplică șuruburilor și piulițelor - pălăriile primului și celui de-al doilea nu sunt altceva decât un hexagon obișnuit, dacă nu țineți cont de teșituri. Mărimea cheilor corespunde diametrului cercului înscris - adică distanța dintre fețele opuse.

Și-a găsit aplicația și plăcile hexagonale. Este mult mai puțin obișnuit decât unul patruunghiular, dar este mai convenabil să-l așezi: trei plăci se întâlnesc la un moment dat, nu patru. Compozițiile pot fi foarte interesante:

Sunt produse și plăci de pavaj din beton.

Prevalența hexagonului în natură este explicată simplu. Astfel, cel mai ușor este să potriviți cercuri și bile strâns pe un plan dacă au același diametru. Din această cauză, fagurii au o astfel de formă.

Cu o intrebare: Cum să găsiți aria unui hexagon?, puteți întâlni nu numai la examenul de geometrie etc., aceste cunoștințe vor fi utile în viața de zi cu zi, de exemplu, pentru calculul corect și precis al suprafeței camerei în timpul procesului de reparație. Prin înlocuirea valorilor necesare în formulă, va fi posibil să se determine numărul necesar de role de tapet, gresie pentru baie sau bucătărie etc.

Câteva fapte din istorie

Geometria a fost folosită încă din vechiul Babilon si alte state care existau in acelasi timp cu el. Calculele au ajutat la construirea unor structuri semnificative, deoarece datorită acesteia, arhitecții au știut să mențină verticala, să întocmească corect un plan și să determine înălțimea.

Estetica a fost și ea de mare importanță și aici a intrat din nou în joc geometria. Astăzi, de această știință este nevoie de un constructor, tăietor, arhitect și nu nici unui specialist.

Prin urmare, este mai bine să puteți calcula cifrele S, să înțelegeți că formulele pot fi utile în practică.

Zona unui 6-gon obișnuit

Deci avem figură hexagonală cu laturi și unghiuri egale. În viața de zi cu zi, avem adesea ocazia să întâlnim obiecte cu forma hexagonală corectă.

De exemplu:

• şurub;
• faguri;
• fulg de nea.

Figura hexagonală umple cel mai economic spațiul din plan. Uitați-vă la plăcile de pavaj, una pe alta, astfel încât să nu existe goluri.

Fiecare unghi este de 120˚. Latura figurii este egală cu raza cercului circumscris.

Calcul

Valoarea necesară poate fi calculată împărțind cifra în șase triunghiuri cu laturile egale.

După ce s-a calculat S al unuia dintre triunghiuri, este ușor de determinat cel general. O formulă simplă, deoarece un hexagon regulat este, de fapt, șase triunghiuri egale. Astfel, pentru a-l calcula, aria găsită a triunghiului osos este înmulțită cu 6.

Dacă desenăm o perpendiculară din centrul hexagonului pe oricare dintre laturile sale, obținem un segment - apotema.

Să vedem cum să găsim S-ul unui hexagon dacă apotema este cunoscută:

1. S =1/2×perimetru×apotema.
2. Să luăm apotema egală cu 5√3 cm.

1. Găsim perimetrul folosind apotema: deoarece apotema este perpendiculară pe latura 6-gonului, unghiurile triunghiului format cu apotema sunt 30˚-60˚-90˚. Fiecare latură a triunghiului corespunde cu: x-x√3-2x, unde cea scurtă, față de unghiul de 30˚, este x; latura lungă față de unghiul de 60˚ este x√3 și ipotenuza este 2x.
2. Apotema x√3 poate fi înlocuită în formula a=x√3. Dacă apotema este 5√3, înlocuind această valoare, obținem: 5√3cm=x√3, sau x=5cm.
3. Latura scurtă a triunghiului este de 5 cm, deoarece această valoare este jumătate din lungimea laturii 6-gonului. Înmulțind 5 cu 2, obținem 10 cm, care este valoarea lungimii laturii.
4. Înmulțim valoarea rezultată cu 6 și obținem valoarea perimetrului - 60cm.

Inlocuim rezultatele obtinute in formula: S=1/2×perimetru×apotema

S=½×60cm×5√3

Noi credem:

Simplificam raspunsul pentru a scapa de radacini. Rezultatul va fi exprimat în centimetri pătrați: ½×60cm×5√3cm=30×5√3cm=150√3cm=259.8s m².

Cum să găsiți aria unui hexagon neregulat

Există mai multe opțiuni:

• Defalcarea unui 6-gon în alte cifre.
• metoda trapezului.
• Calculul S poligoane neregulate folosind axe de coordonate.

Alegerea metodei este dictată de datele inițiale.

Metoda trapezului

Hexagonul este împărțit în trapeze separate, după care se calculează aria figurii rezultate.

Utilizarea axelor de coordonate

Folosim coordonatele vârfurilor poligonului:

• Notăm coordonatele vârfurilor x și y în tabel. Selectați secvențial nodurile, „deplasându-vă” în sens invers acelor de ceasornic, completând lista prin reînregistrarea coordonatele primului vârf.
• Înmulțiți valoarea x a primului vârf cu valoarea y a celui de-al doilea vârf și continuați să înmulțiți. Rezumăm rezultatele.
• Înmulțim valorile coordonatelor y1-lea vârf cu valorile coordonatelor x ale celui de-al 2-lea vârf. Adunăm rezultatele.
• Scădeți suma obținută în etapa a 4-a din suma obținută în etapa a treia.
• Împărțim rezultatul obținut în etapa anterioară și găsim ceea ce căutam.

Împărțirea unui hexagon în alte forme

Poligoanele sunt împărțite în alte forme: trapeze, triunghiuri, dreptunghiuri. Folosind formulele pentru calcularea zonelor cifrelor enumerate, valorile necesare sunt calculate și adunate.

Un hexagon neregulat poate fi format din două paralelograme. Pentru a calcula aria unui paralelogram, lungimea acestuia este înmulțită cu lățimea sa, apoi se adaugă cele două zone deja cunoscute.

Aria unui hexagon echilateral

Un hexagon obișnuit are șase laturi egale. Aria unei figuri echilaterale este egală cu triunghiuri 6S în care este împărțit un hexagon regulat. Fiecare triunghi dintr-un hexagon obișnuit este egal, prin urmare, pentru a calcula aria unei astfel de figuri, este suficient să cunoașteți aria a cel puțin unui triunghi.

Pentru a găsi valoarea dorită, utilizați formula pentru zona figurii obișnuite descrisă mai sus.