O variabilă aleatoare continuă X are o distribuție uniformă pe segmentul [a, b] dacă densitatea de distribuție este constantă pe acest segment și egală cu 0 în afara acestuia.

Curba de distribuție uniformă este prezentată în fig. 3.13.

Orez. 3.13.

Valori/ (X) la extreme Ași b complot (a, b) nu sunt indicate, deoarece probabilitatea de a atinge oricare dintre aceste puncte pentru o variabilă aleatoare continuă X este egal cu 0.

Așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X, care are o distribuție uniformă pe secțiunea [a, d], / « = (a + b)/2. Dispersia se calculează prin formula D =(b- a) 2/12, deci st = (b - a) / 3.464.

Modelarea variabilelor aleatoare. Pentru a modela o variabilă aleatoare, este necesar să cunoaștem legea distribuției acesteia. Cea mai obișnuită modalitate de a obține o succesiune de numere aleatoare distribuite după o lege arbitrară este metoda bazată pe formarea lor din șirul original de numere aleatoare distribuite în intervalul (0; 1) după o lege uniformă.

distribuite uniformîn intervalul (0; 1) secvențele de numere aleatoare pot fi obținute în trei moduri:

• conform tabele special pregătite de numere aleatorii;
• utilizarea generatoarelor fizice de numere aleatorii (de exemplu, aruncarea unei monede);
• metoda algoritmică.

Pentru astfel de numere, valoarea așteptărilor matematice ar trebui să fie egală cu 0,5, iar varianța ar trebui să fie 1/12. Dacă este necesar, numărul aleatoriu X a fost în interval ( A; b) diferit de (0; 1), trebuie să utilizați formula X \u003d a + (b - a) g, Unde G- un număr aleatoriu din intervalul (0; 1).

Datorită faptului că aproape toate modelele sunt implementate pe un computer, aproape întotdeauna se folosește un generator algoritmic (RNG) încorporat în computer pentru a obține numere aleatorii, deși nu este o problemă să folosești tabele care au fost convertite anterior în formă electronică. . Trebuie avut în vedere că prin metoda algoritmică obținem întotdeauna numere pseudoaleatoare, deoarece fiecare număr generat ulterior depinde de cel anterior.

În practică, este întotdeauna necesar să se obțină numere aleatoare distribuite conform unei legi de distribuție date. Pentru aceasta, se folosesc o varietate de metode. Dacă se cunoaşte expresia analitică pentru legea distribuţiei F, atunci poți folosi metoda functiei inverse.

Este suficient să redați un număr aleatoriu distribuit uniform în intervalul de la 0 la 1. Deoarece funcția F variază de asemenea în acest interval, apoi numărul aleatoriu X poate fi determinat prin luarea funcției inverse dintr-un grafic sau analitic: x=F„(d). Aici G- numărul generat de RNG în intervalul de la 0 la 1; x t este variabila aleatoare rezultată. Grafic, esența metodei este prezentată în Fig. 3.14.

Orez. 3.14. Ilustrație a metodei funcției inverse pentru generarea de evenimente aleatoare X, ale căror valori sunt distribuite continuu. Figura prezintă grafice ale densității de probabilitate și ale densității de probabilitate integrală din X

Luați în considerare, ca exemplu, legea distribuției exponențiale. Funcția de distribuție a acestei legi are forma F(x) = 1 -exp(-bz). pentru că Gși Fîn această metodă se presupune că sunt similare și situate în același interval, apoi, înlocuind F pentru un număr aleator r, avem G= 1 - exp(-bz). Exprimarea valorii dorite X din această expresie (adică, inversând funcția exp()), obținem x = -/X? 1p(1 -G).Întrucât în ​​sens statistic (1 - d) și G - atunci este acelasi lucru x \u003d -YX 1p(r).

Algoritmi pentru modelarea unor legi comune de distribuție a variabilelor aleatoare continue sunt dați în tabel. 3.10.

De exemplu, este necesar să se simuleze timpul de încărcare, care este distribuit conform legii normale. Se știe că durata medie de încărcare este de 35 de minute, iar abaterea standard a timpului real de la valoarea medie este de 10 minute. Adică conform condițiilor sarcinii t x = 35, cu x= 10. Apoi valoarea variabilei aleatoare va fi calculată prin formula R= ?g, unde G. - numere aleatorii din RNG în intervalul , n = 12. Numărul 12 este ales suficient de mare pe baza teoremei limitei centrale a teoriei probabilităților (teorema lui Lyapunov): „Pentru un număr mare N variabile aleatoare X cu orice lege de distribuție, suma lor este un număr aleatoriu cu o lege de distribuție normală. Apoi valoarea aleatoare X\u003d o (7? - l / 2) + t x = 10(7? -3) + 35.

Tabelul 3.10

Algoritmi pentru modelarea variabilelor aleatoare

Simularea unui eveniment aleatoriu. Un eveniment aleatoriu implică faptul că un anumit eveniment are mai multe rezultate și care dintre rezultate se va întâmpla din nou este determinat doar de probabilitatea sa. Adică, rezultatul este ales aleatoriu, ținând cont de probabilitatea acestuia. De exemplu, să presupunem că știm probabilitatea de a produce produse defecte R= 0,1. Puteți simula apariția acestui eveniment jucând un număr aleator distribuit uniform din intervalul de la 0 la 1 și stabilind care dintre cele două intervale (de la 0 la 0,1 sau de la 0,1 la 1) a căzut (Fig. 3.15). Dacă numărul se încadrează în intervalul (0; 0,1), atunci a fost emis un defect, adică evenimentul a avut loc, în caz contrar evenimentul nu a avut loc (a fost produs un produs condiționat). Cu un număr semnificativ de experimente, frecvența numerelor care se încadrează în intervalul de la 0 la 0,1 se va apropia de probabilitate P= 0,1, iar frecvența de lovire a numerelor în intervalul de la 0,1 la 1 se va apropia de P. = 0,9.

Orez. 3.15.

Evenimentele sunt numite incompatibil, dacă probabilitatea de apariție a acestor evenimente simultan este egală cu 0. Rezultă că probabilitatea totală a unui grup de evenimente incompatibile este egală cu 1. Se notează prin a r eu, un n evenimente, și prin Р ]9 Р 2 , ..., R p- probabilitatea producerii unor evenimente individuale. Deoarece evenimentele sunt incompatibile, suma probabilităților de apariție a acestora este egală cu 1: P x + P 2 + ... +Pn= 1. Din nou, folosim un generator de numere aleatorii pentru a simula apariția unuia dintre evenimente, a cărui valoare este, de asemenea, întotdeauna în intervalul de la 0 la 1. Să lăsăm deoparte segmente pe intervalul unitar P r P v ..., R p. Este clar că suma segmentelor va fi exact un interval unitar. Punctul corespunzător numărului aruncat din generatorul de numere aleatoare pe acest interval va indica unul dintre segmente. În consecință, numerele aleatoare vor cădea mai des în segmente mari (probabilitatea apariției acestor evenimente este mai mare!), În segmente mai mici - mai rar (Fig. 3.16).

Dacă este necesar, simulare evenimente comune ele trebuie făcute incompatibile. De exemplu, pentru a simula apariția evenimentelor pentru care sunt date probabilitățile R(a() = 0,7; P(a 2)= 0,5 și P(a ]9 a 2)= 0,4, definim toate rezultatele incompatibile posibile ale apariției evenimentelor a d a 2și apariția lor simultană:

• 1. Apariția simultană a două evenimente P(b () = P(a L , a 2) = 0,4.
• 2. Apariția evenimentului a ] P (b 2) \u003d P (a y) - P (a ( , a 2) = 0,7 - 0,4 = 0,3.
• 3. Apariția evenimentului a 2 P(b 3) = P (a 2) - P (a g a 2) \u003d 0,5 - 0,4 = 0,1.
• 4. Neapariția vreunui eveniment P(b 4) = 1 - (P(b) + P(b 2) + + P(b 3)) =0,2.

Acum probabilitățile de apariție a evenimentelor incompatibile b trebuie reprezentate pe axa numerică sub formă de segmente. Primind numere cu ajutorul RNG, determinăm apartenența acestora la un anumit interval și obținem implementarea evenimentelor comune A.

Orez. 3.16.

Des întâlnit în practică sisteme de variabile aleatoare, adică astfel de două (sau mai multe) variabile aleatoare diferite X, La(și altele) care depind unul de celălalt. De exemplu, dacă are loc un eveniment Xși a luat o valoare aleatorie, apoi evenimentul La se întâmplă, deși întâmplător, dar ținând cont de faptul că X a căpătat deja o oarecare valoare.

De exemplu, dacă ca X un număr mare a căzut, apoi ca La ar trebui să cadă și un număr suficient de mare (dacă corelația este pozitivă și invers dacă este negativă). În transport, astfel de dependențe sunt destul de frecvente. Întârzierile mai lungi sunt mai probabile pe rutele mai lungi etc.

Dacă variabilele aleatoare sunt dependente, atunci

f(x)=f(x l)f(x 2 x l)f(x 3 x 2 ,x l)- ... -/(xjx, r X„ , ...,x 2 ,x t), Unde X. | x._ v x (- variabile dependente aleatoare: abandonul X. cu condiţia să cadă x._ (9 x._ ( ,...,*,) - densitate condiționată

probabilitatea incidenței x.> dacă a abandonat x._ (9 ..., x (; f(x) - probabilitatea de a ieși din vectorul x al variabilelor dependente aleatoare.

Coeficient de corelație q arată cât de strâns legate sunt evenimentele Hee W. Dacă coeficientul de corelație este egal cu unu, atunci dependența evenimentelor hee woo one-to-one: o valoare X se potrivește cu o singură valoare La(Fig. 3.17, A) . La q aproape de unitate, imaginea prezentată în fig. 3.17, b, adică o valoare X poate corespunde deja mai multor valori ale lui Y (mai precis, una dintre mai multe valori ale lui Y, determinate aleatoriu); adică în acest eveniment Xși Y mai puțin corelate, mai puțin dependente unele de altele.

Orez. 3.17. Tip de dependență a două variabile aleatoare cu un coeficient de corelație pozitiv: A- la q = 1; b - la 0 q la q, aproape de O

Și, în sfârșit, când coeficientul de corelație tinde spre zero, apare o situație în care orice valoare X poate corespunde oricărei valori a lui Y, adică evenimentelor Xși Y nu depind sau aproape nu depind unul de celălalt, nu se corelează unul cu celălalt (Fig. 3.17, în).

De exemplu, să luăm distribuția normală, ca fiind cea mai comună. Așteptarea matematică indică evenimentele cele mai probabile, aici numărul evenimentelor este mai mare și programul evenimentelor este mai dens. O corelație pozitivă indică faptul că variabile aleatoare mari X cauza să genereze mari Y. Corelația zero și aproape de zero arată că valoarea variabilei aleatoare X nu are nimic de-a face cu o anumită valoare a unei variabile aleatoare Y. Este ușor de înțeles ce s-a spus dacă ne imaginăm mai întâi distribuțiile f(X)și / (Y) separat și apoi leagă-le într-un sistem, așa cum se arată în Fig. 3.18.

În acest exemplu Hee Y sunt distribuite conform legii normale cu valorile corespunzătoare t x, a si acea, A,. Este dat coeficientul de corelație a două evenimente aleatoare q, adică variabile aleatoare Xși Y sunt dependente unul de celălalt, Y nu este complet accidental.

Apoi, un posibil algoritm pentru implementarea modelului va fi următorul:

1. Se joacă șase numere aleatoare distribuite uniform pe interval: b p b:, b i, b 4 , b 5, b 6 ; găsiți suma lor S:

S = b. Numărul aleator distribuit normal l se găsește: conform următoarei formule: x \u003d a (5 - 6) + t x.

• 2. Conform formulei m!x = acea + qoJo x (x -m x) este așteptarea matematică t y1x(semn u/xînseamnă că y va lua valori aleatoare, având în vedere condiția că * a luat deja anumite valori).
• 3. Conform formulei = a d/l -C 2 găsiți abaterea standard a..

4. Se joacă 12 numere aleatoare r distribuite uniform pe interval; găsiți suma lor k:k= Zr. Găsiți un număr aleatoriu distribuit normal la după următoarea formulă: y = °Jk-6) + mr/x .

Orez. 3.18.

Modelarea fluxului unui eveniment. Când sunt multe evenimente și se succed, se formează curgere. Rețineți că evenimentele din acest caz trebuie să fie omogene, adică similare într-un fel între ele. De exemplu, apariția șoferilor la benzinării care doresc să își alimenteze mașina. Adică evenimente omogene formează o serie. Se presupune că caracteristica statistică a acesteia 146

fenomenele (intensitatea fluxului evenimentelor). Intensitatea fluxului de evenimente indică câte astfel de evenimente au loc în medie pe unitatea de timp. Dar când va avea loc exact fiecare eveniment specific, este necesar să se determine prin metode de modelare. Este important ca atunci când generăm, de exemplu, 1000 de evenimente în 200 de ore, numărul acestora va fi aproximativ egal cu intensitatea medie a apariției evenimentelor 1000/200 = 5 evenimente pe oră. Aceasta este o valoare statistică care caracterizează acest flux în ansamblu.

Intensitatea fluxului într-un sens este așteptarea matematică a numărului de evenimente pe unitatea de timp. Dar, în realitate, se poate dovedi că într-o oră vor apărea 4 evenimente și 6 într-o alta, deși în medie se obțin 5 evenimente pe oră, deci o valoare nu este suficientă pentru a caracteriza fluxul. A doua valoare care caracterizează cât de mare răspândirea evenimentelor în raport cu așteptarea matematică este, ca și până acum, dispersia. Această valoare este cea care determină caracterul aleatoriu al apariției unui eveniment, predictibilitatea slabă a momentului producerii acestuia.

Fluxurile aleatorii sunt:

• obișnuit - probabilitatea apariției simultane a două sau mai multe evenimente este zero;
• staționar - frecvența de apariție a evenimentelor X constant;
• fără efect secundar - probabilitatea de apariție a unui eveniment aleatoriu nu depinde de momentul evenimentelor anterioare.

La modelarea QS, în marea majoritate a cazurilor, se ia în considerare Flux Poisson (cel mai simplu). - curgere obișnuită fără efecte secundare,în care probabilitatea de sosire în intervalul de timp t neted t cerințele sunt date de formula Poisson:

Un flux Poisson poate fi staționar dacă A.(/) = const(/), sau nestaționar în caz contrar.

Într-un flux Poisson, probabilitatea ca niciun eveniment să nu se producă este

Pe fig. 3.19 arată dependența R din timp. Evident, cu cât timpul de observare este mai lung, cu atât este mai puțin probabil ca niciun eveniment să nu aibă loc. Mai mult, cu cât valoarea este mai mare X, cu cât graficul devine mai abrupt, adică, cu atât probabilitatea scade mai repede. Acest lucru corespunde faptului că, dacă intensitatea apariției evenimentelor este mare, atunci probabilitatea ca evenimentul să nu se producă scade rapid odată cu momentul observării.

Orez. 3.19.

Probabilitatea ca cel puțin un eveniment să se producă P = 1 - shr(-Iad), din moment ce P + P = . Evident, probabilitatea apariției a cel puțin unui eveniment tinde spre unitate cu timpul, adică, cu o observație adecvată pe termen lung, evenimentul va avea loc în mod necesar mai devreme sau mai târziu. În sensul de R este egal cu r, prin urmare, exprimând / din formula de definiție R,în sfârșit, pentru a determina intervalele dintre două evenimente aleatoare, avem

Unde G- un număr aleatoriu distribuit uniform de la 0 la 1, care se obține folosind RNG; t- intervalul dintre evenimente aleatoare (variabilă aleatoare).

Ca exemplu, luați în considerare fluxul de mașini care sosesc la terminal. Mașinile sosesc aleatoriu - în medie 8 pe zi (debit X= 8/24 vehicule/h). Trebuie să văd 148

împărtășește acest proces în T\u003d 100 de ore. Intervalul de timp mediu între mașini / \u003d 1 / L. = 24/8 = 3 ore

Pe fig. 3.20 arată rezultatul simulării - momentele în timp în care mașinile au venit la terminal. După cum se vede, doar în perioada T = 100 terminale procesate N=33 mașină. Dacă rulăm din nou simularea, atunci N poate fi egal cu, de exemplu, 34, 35 sau 32. Dar în medie pentru La se execută algoritmul N va fi egal cu 33.333.

Orez. 3.20.

Dacă se ştie că curgerea nu este obișnuit atunci este necesar să se modeleze, pe lângă momentul producerii evenimentului, și numărul de evenimente care ar putea apărea în acel moment. De exemplu, mașinile ajung la terminal la ore aleatorii (flux obișnuit de mașini). Dar, în același timp, mașinile pot avea o cantitate diferită (aleatorie) de marfă. În acest caz, se spune că fluxul de marfă este flux de evenimente extraordinare.

Să luăm în considerare problema. Este necesar să se determine timpul de inactivitate al echipamentului de încărcare la terminal dacă containerele AUK-1.25 sunt livrate la terminal cu camioane. Fluxul mașinilor respectă legea lui Poisson, intervalul mediu dintre mașini este de 0,5 hD = 1/0,5 = 2 mașini/oră. Numărul de containere dintr-o mașină variază conform legii normale cu o valoare medie t= 6 și a = 2.În acest caz, minimul poate fi 2, iar maximul - 10 containere. Timpul de descărcare a unui container este de 4 minute și sunt necesare 6 minute pentru operațiunile tehnologice. Algoritmul pentru rezolvarea acestei probleme, construit pe principiul postării secvențiale a fiecărei aplicații, este prezentat în Fig. 3.21.

După introducerea datelor inițiale, ciclul de simulare este pornit până la atingerea timpului de simulare specificat. Folosind RNG, obținem un număr aleatoriu, apoi determinăm intervalul de timp înainte de sosirea mașinii. Marcăm intervalul rezultat pe axa timpului și simulăm numărul de containere din caroseria mașinii sosite.

Verificăm numărul rezultat pentru un interval acceptabil. În continuare, timpul de descărcare este calculat și însumat în contorul timpului total de funcționare al echipamentului de încărcare. Se verifică starea: dacă intervalul de sosire a mașinii este mai mare decât timpul de descărcare, atunci diferența dintre ele se însumează în contorul de timpi de nefuncționare a echipamentului.

Orez. 3.21.

Un exemplu tipic pentru un CMO ar fi un punct de încărcare cu mai multe postări, așa cum se arată în Fig. 3.22.

Orez. 3.22.

Pentru claritatea procesului de modelare, vom construi o diagramă de timp a operației QS, reflectând pe fiecare riglă (axa timpului /) starea unui element separat al sistemului (Fig. 3.23). Există tot atâtea linii temporale câte obiecte sunt diferite în QS (fluxuri). În exemplul nostru, există 7 dintre ele: fluxul de cereri, fluxul de așteptare pe primul loc în coadă, fluxul de așteptare pe locul al doilea în coadă, fluxul de servicii pe primul canal, fluxul de serviciu pe al doilea canal, fluxul de cereri deservite de sistem, fluxul de cereri refuzate. Pentru a demonstra procesul de refuzare a serviciului, să presupunem că doar două mașini pot fi în coada pentru încărcare. Dacă sunt mai multe, atunci sunt trimise la alt punct de încărcare.

Momentele aleatoare simulate de primire a cererilor de întreținere auto sunt afișate pe prima linie. Prima solicitare este preluată și, întrucât canalele sunt libere în acest moment, este setat pentru service pe primul canal. Cerere 1 transferat pe linia primului canal. Timpul de serviciu în canal este, de asemenea, aleatoriu. Găsim pe diagramă momentul încheierii serviciului, amânând timpul de service generat din momentul începerii serviciului.

niya și omiteți cererea pentru linia „Servit”. Aplicația a trecut prin CMO până la capăt. Acum, conform principiului postării secvențiale a comenzilor, este posibilă și simularea traseului celui de-al doilea ordin.

Orez. 3.23.

Dacă la un moment dat se dovedește că ambele canale sunt ocupate, atunci cererea ar trebui să fie plasată în coadă. Pe fig. 3.23 este o aplicație 3. Rețineți că, în funcție de condițiile sarcinii, în coadă, spre deosebire de canale, aplicațiile nu sunt localizate aleatoriu, ci așteptați până când unul dintre canale devine liber. După eliberarea canalului, cererea este mutată pe linia canalului corespunzător și deservirea acesteia este organizată acolo.

Dacă ponderea locului din coadă în momentul în care sosește următoarea cerere este ocupată, atunci cererea trebuie trimisă la linia „Refuzată”. Pe fig. 3.23 este o aplicație 6.

Procedura de imitare a notificării cererilor este continuată de ceva timp T. Cu cât acest timp este mai lung, cu atât rezultatele simulării vor fi mai precise în viitor. În realitate, pentru sisteme simple alege T, egal cu 50-100 de ore sau mai mult, deși uneori este mai bine să măsurați această valoare după numărul de aplicații luate în considerare.

Vom analiza QS folosind exemplul deja luat în considerare.

Mai întâi trebuie să așteptați starea de echilibru. Renunțăm la primele patru aplicații ca fiind necaracteristice, care apar în timpul procesului de stabilire a funcționării sistemului („timp de încălzire a modelului”). Măsurăm timpul de observare, să spunem că în exemplul nostru T = 5 ore.Calculăm numărul de solicitări deservite din diagramă N o6c , timp inactiv și alte valori. Ca rezultat, putem calcula indicatori care caracterizează calitatea muncii QS:

• 1. Probabilitatea serviciului P \u003d N, / N \u003d 5/7 = 0,714. Pentru a calcula probabilitatea de a deservi o aplicație în sistem, este suficient să împărțiți numărul de aplicații care au fost deservite în timpul T(vezi rândul „Deservite”), L/o6s pe număr de cereri N, care a sosit în acelaşi timp.
• 2. Debitul sistemului A \u003d NJT h \u003d 7/5 \u003d 1,4 auto / h. Pentru a calcula debitul sistemului, este suficient să împărțiți numărul de cereri deservite N o6c pentru o vreme T, pentru care a avut loc acest serviciu.
• 3. Probabilitatea de eșec P \u003d N / N \u003d 3/7 \u003d 0,43. Pentru a calcula probabilitatea de refuz al serviciului unei cereri, este suficient să împărțiți numărul de cereri N cărora li s-a refuzat pentru timp T(vezi rândul „Respins”), pentru numărul de cereri N, care a vrut să servească în același timp, adică a intrat în sistem. Vă rugăm să rețineți că suma R op + R p (kîn teorie ar trebui să fie egal cu 1. De fapt, s-a dovedit experimental că R + R.= 0,714 + 0,43 = 1,144. Această inexactitate se explică prin faptul că în timpul observării T au fost acumulate statistici insuficiente pentru a obține un răspuns corect. Eroarea acestui indicator este acum de 14%.
• 4. Probabilitatea ca un canal să fie ocupat P = T r JT H= 0,05/5 = 0,01, unde T- timpul de ocupare a unui singur canal (primul sau al doilea). Măsurătorile sunt supuse unor intervale de timp în care apar anumite evenimente. De exemplu, pe diagramă, astfel de segmente sunt căutate atunci când fie primul, fie al doilea canal este ocupat. În acest exemplu, există un astfel de segment la sfârșitul diagramei cu o lungime de 0,05 ore.
• 5. Probabilitatea ca două canale să fie ocupate P = T / T = 4,95/5 = 0,99. Pe diagramă sunt căutate astfel de segmente, timp în care atât primul cât și cel de-al doilea canal sunt ocupate simultan. În acest exemplu, există patru astfel de segmente, suma lor este de 4,95 ore.
• 6. Numărul mediu de canale ocupate: /V până la - 0 P 0 + P X + 2 P, \u003d \u003d 0,01 +2? 0,99= 1,99. Pentru a calcula câte canale sunt ocupate în sistem în medie, este suficient să cunoașteți cota (probabilitatea de ocupare a unui canal) și să înmulțiți cu ponderea acestei cote (un canal), să cunoașteți cota (probabilitatea de ocupare a două canale) și înmulțiți cu ponderea acestei cote (două canale) și etc. Cifra rezultată de 1,99 indică faptul că din cele două canale posibile sunt încărcate în medie 1,99 canale. Aceasta este o rată de utilizare ridicată de 99,5%, sistemul folosește bine resursele.
• 7. Probabilitatea timpului inactiv al cel puțin unui canal Р*, = Г este simplă, /Г = = 0,05/5 = 0,01.
• 8. Probabilitatea de oprire a două canale în același timp: P = = T JT = 0.

• 9. Probabilitatea de oprire a întregului sistem P * \u003d T / T \u003d 0.
• 10. Numărul mediu de aplicații din coadă / V s = 0 P(h + 1 Р și + 2Р b= = 0,34 + 2 0,64 = 1,62 aut. Pentru a determina numărul mediu de cereri în coadă, este necesar să se determine separat probabilitatea ca în coadă să fie o cerere P, probabilitatea ca în coadă să fie două cereri P 23 și așa mai departe și se adaugă le din nou cu greutăţile corespunzătoare.
• 11. Probabilitatea ca o aplicație să fie în coadă, P și = = TJTn= 1,7 / 5 \u003d 0,34 (există patru astfel de segmente în diagramă, însumând 1,7 ore).
• 12. Probabilitatea ca două aplicații să fie în coadă în același timp, R b\u003d Г 2з / Г \u003d 3,2 / 5 \u003d 0,64 (există trei astfel de segmente în diagramă, însumând 3,25 ore).
• 13. Timpul mediu de așteptare pentru o aplicație în coadă este Tro = 1,7/4 = = 0,425 ore.Este necesar să se însumeze toate intervalele de timp în care orice aplicație a fost în coadă și să se împartă la numărul de cereri. Există 4 astfel de solicitări pe cronologie.
• 14. Timpul mediu de service pentru o aplicație 7' srobsl = 8/5 = 1,6 ore. Adunați toate intervalele de timp în care orice aplicație a fost deservită pe orice canal și împărțiți la numărul de aplicații.
• 15. Timp mediu petrecut de o aplicație în sistem: T = T +

a y mier cantat miercuri. Oh

Dacă precizia nu este satisfăcătoare, atunci ar trebui să măriți timpul de experiment și, prin urmare, să îmbunătățiți statisticile. Puteți face acest lucru diferit dacă rulați experimentul 154 de mai multe ori

pentru o vreme Tși, ulterior, mediați valorile acestor experimente și apoi verificați din nou rezultatele pentru criteriul de acuratețe. Această procedură trebuie repetată până când se obține precizia dorită.

Analiza rezultatelor simulării

Tabelul 3.11

Pentru a lua o decizie cu privire la implementarea unor activități specifice, este necesar să se efectueze o analiză de sensibilitate a modelului. Ţintă analiza sensibilității modelului este de a determina posibilele abateri ale caracteristicilor de ieșire din cauza modificărilor parametrilor de intrare.

Metodele de evaluare a sensibilității unui model de simulare sunt similare cu metodele de determinare a sensibilității oricărui sistem. Dacă caracteristica de ieşire a modelului R depinde de parametrii asociați cu variabilele R =/(p g p 2 , p), atunci aceste schimbări

parametrii D r.(/ = 1, ..G) provoca o schimbare AR.

În acest caz, analiza de sensibilitate a modelului se reduce la studiul funcției de sensibilitate DR/alții

Ca exemplu de analiză de sensibilitate a unui model de simulare, să luăm în considerare efectul modificării parametrilor variabili ai fiabilității vehiculului asupra eficienței operaționale. Ca funcție obiectiv, folosim indicatorul costurilor reduse З ir. Pentru analiza sensibilității, folosim date despre funcționarea trenului rutier KamAZ-5410 în condiții urbane. Limitele modificării parametrilor R. pentru a determina sensibilitatea modelului este suficient să-l determinăm prin mijloace experte (Tabelul 3.12).

Pentru efectuarea calculelor conform modelului s-a ales un punct de bază, la care parametrii variabili au valori care corespund standardelor. Parametrul de nefuncționare în timpul întreținerii și reparațiilor în zile a fost înlocuit cu un indicator specific - timpul de nefuncționare în zile la mie de kilometri N.

Rezultatele calculului sunt prezentate în Fig. 3.24. Punctul de bază este la intersecția tuturor curbelor. Prezentat în fig. 3.24 dependențe vă permit să stabiliți gradul de influență a fiecăruia dintre parametrii luați în considerare asupra amplorii modificării Z pr. În același timp, utilizarea valorilor naturale ale cantităților analizate nu vă permite să stabiliți gradul comparativ de influență a fiecărui parametru asupra 3, deoarece acești parametri au unități de măsură diferite. Pentru a depăși acest lucru, alegem forma de interpretare a rezultatelor calculului în unități relative. Pentru a face acest lucru, punctul de bază trebuie mutat la originea coordonatelor, iar valorile parametrilor variabili și modificarea relativă a caracteristicilor de ieșire ale modelului ar trebui exprimate ca procent. Rezultatele transformărilor efectuate sunt prezentate în fig. 3.25.

Tabelul 3.12

Valori parametri variabili

Orez. 3.24.

Orez. 3.25. Influența modificării relative a parametrilor variabili asupra gradului de modificare

Modificarea parametrilor variabili în raport cu valoarea de bază este reprezentată pe o axă. După cum se poate observa din fig. 3.25, o creștere a valorii fiecărui parametru în apropierea punctului de bază cu 50% duce la o creștere a Z pr cu 9% din creșterea lui Ts a, cu mai mult de 1,5% din C p, cu mai puțin de 0,5% din Hși să scadă 3 cu aproape 4% din creștere L. Scade cu 25 % b crși D rg duce la o creștere a Z pr, respectiv, cu mai mult de 6%. Scăderea cu aceeași cantitate de parametri H t0, C tr și C a conduc la o scădere a C pr cu 0,2, 0,8 și, respectiv, 4,5%.

Dependențele date dau o idee despre influența unui singur parametru și pot fi utilizate atunci când planificați funcționarea sistemului de transport. În funcție de intensitatea influenței asupra Z pr, parametrii considerați pot fi aranjați în următoarea ordine: D, II, L, C 9 N .

'a 7 k.r 7 t.r 7 t.o

În timpul funcționării, o modificare a valorii unui indicator implică o modificare a valorilor altor indicatori, iar modificarea relativă a fiecăruia dintre parametrii variabili cu aceeași valoare în cazul general are o bază fizică inegală. Este necesar să se înlocuiască modificarea relativă a valorilor parametrilor variabili ca procent de-a lungul abscisei cu un parametru care poate servi ca măsură unică pentru evaluarea gradului de modificare a fiecărui parametru. Se poate presupune că în fiecare moment al funcționării vehiculului, valoarea fiecărui parametru are aceeași pondere economică în raport cu valorile altor parametri variabili, adică, din punct de vedere economic, fiabilitatea vehiculului la fiecare moment de timp are un efect de echilibru asupra tuturor parametrilor asociati acestuia. Atunci echivalentul economic necesar va fi timpul sau, mai convenabil, anul de funcționare.

Pe fig. 3.26 arată dependențe construite în conformitate cu cerințele de mai sus. Valoarea din primul an de funcționare a vehiculului este luată ca valoare de bază a Z pr. Valorile parametrilor variabili pentru fiecare an de funcționare au fost determinate pe baza rezultatelor observațiilor.

Orez. 3.26.

În procesul de funcționare, o creștere a W pr în primii trei ani se datorează în primul rând unei creșteri a valorilor H jo , iar apoi, în condițiile de funcționare avute în vedere, rolul principal în reducerea eficienței utilizării TS îl joacă o creștere a C tr. Pentru a identifica influența valorii L Kp ,în calcule, valoarea sa a fost echivalată cu kilometrajul total al vehiculului de la punerea în funcțiune. Tipul de funcție 3 =f(L) arată că intensitatea scăderii în 3 cu creşterea

etc J v k.r" 7 np J

1 la p scade semnificativ.

Ca rezultat al analizei de sensibilitate a modelului, este posibil să înțelegem ce factori trebuie influențați pentru a schimba funcția obiectiv. Pentru a schimba factorii, este necesar să se aplice eforturi de control, care sunt asociate cu costurile corespunzătoare. Valoarea costurilor nu poate fi infinită, ca orice resurse, aceste costuri sunt în realitate limitate. Prin urmare, este necesar să înțelegem în ce măsură alocarea fondurilor va fi eficientă. Dacă în majoritatea cazurilor costurile cresc liniar odată cu creșterea acțiunii de control, atunci eficiența sistemului crește rapid doar până la o anumită limită, când nici măcar costurile semnificative nu mai dau același randament. De exemplu, este imposibil să crești nelimitat capacitatea dispozitivelor de service din cauza limitărilor de spațiu sau a numărului potențial de mașini deservite etc.

Dacă comparăm creșterea costurilor și indicatorul de eficiență a sistemului în aceleași unități, atunci, de regulă, va arăta grafic așa cum se arată în Fig. 3.27.

Orez. 3.27.

Din fig. 3.27 se poate observa că la atribuirea unui preț C, pe unitatea de cost Z și a unui preț C, pe unitate indicator R aceste curbe pot fi adăugate. Curbele se adună dacă trebuie să fie minimizate sau maximizate simultan. Dacă o curbă urmează să fie maximizată și cealaltă să fie minimizată, atunci diferența lor ar trebui găsită, de exemplu, în puncte. Atunci curba rezultată (Fig. 3.28), care ia în considerare atât efectul managementului, cât și costurile acestuia, va avea un extremum. Valoarea parametrului /?, care furnizează extremul funcției, este soluția problemei de sinteză.

Orez. 3.28.

la prin.

Dincolo de management Rși indicator R sistemele sunt perturbate. Perturbare D= (d v d r...) este o acțiune de intrare, care, spre deosebire de parametrul de control, nu depinde de voința proprietarului sistemului (Fig. 3.29). De exemplu, temperaturile scăzute de afară, concurența, din păcate, reduc fluxul de clienți; defecțiunile hardware reduc performanța sistemului. Proprietarul sistemului nu poate gestiona aceste valori direct. De obicei, indignarea acționează „în ciuda” proprietarului, reducând efectul R din eforturile managementului R. Acest lucru se datorează faptului că, în cazul general, sistemul este creat pentru a atinge obiective care sunt de neatins prin ele însele. O persoană, care organizează un sistem, speră întotdeauna să atingă un anumit scop prin intermediul acestuia. R. Acesta este ceea ce pune în eforturile sale. R.În acest context, putem spune că un sistem este o organizare de componente naturale aflate la dispoziția unei persoane, studiate de aceasta, în scopul realizării unui scop nou, anterior de neatins în alte moduri.

Orez. 3.29.

Dacă eliminăm dependența indicatorului R din conducere Rîncă o dată, dar în condițiile perturbației D, atunci, poate, natura curbei se va schimba. Cel mai probabil, indicatorul va fi mai mic pentru aceleași valori de control, deoarece perturbația este negativă, reducând performanța sistemului. Un sistem lăsat singur, fără eforturile de natură managerială, încetează să ofere scopul pentru care a fost creat. Dacă, ca și înainte, construim dependența costurilor, o corelăm cu dependența indicatorului de parametrul de control, atunci punctul extremum găsit se va deplasa (Fig. 3.30) față de cazul „perturbare = 0” (vezi Fig. 3.28). Dacă perturbația este crescută din nou, atunci curbele se vor schimba și, ca urmare, poziția punctului extremum se va schimba din nou.

Graficul din fig. 3.30 se referă la indicatorul P, management (resursa) Rși indignare Dîn sistemele complexe, indicând cel mai bun mod de a acționa managerului (organizației) care ia decizia în sistem. Dacă acțiunea de control este mai mică decât cea optimă, atunci efectul total va scădea și va apărea o situație de pierdere a profitului. Dacă acțiunea de control este mai mare decât cea optimă, atunci și efectul va scădea, din moment ce plătiți coada

Orice creștere a efortului de control va trebui să fie mai mare decât ceea ce obțineți ca urmare a utilizării sistemului.

Orez. 3.30.

Un model de simulare a sistemului pentru utilizare reală trebuie implementat pe un computer. Acesta poate fi creat folosind următoarele instrumente:

• program de utilizator universal tip de procesor matematic (MATLAB) sau foi de calcul (Excel) sau DBMS (Access, FoxPro), care vă permite să creați doar un model relativ simplu și necesită cel puțin abilități inițiale de programare;
• limbaj de programare universal(C++, Java, Basic etc.), care vă permite să creați un model de orice complexitate; dar acesta este un proces care necesită mult timp, care necesită scrierea unei cantități mari de cod de program și depanare îndelungată;
• limbaj de simulare specializat, care are șabloane gata făcute și instrumente de programare vizuală concepute pentru a crea rapid baza unui model. Una dintre cele mai cunoscute este UML (Unified Modeling Language);
• programe de simulare, care sunt cele mai populare mijloace de creare a modelelor de simulare. Acestea vă permit să creați un model vizual, doar în cele mai dificile cazuri, recurgând la scrierea manuală a codului de program pentru proceduri și funcții.

Programele de simulare sunt împărțite în două tipuri:

• Pachete de simulare versatile sunt concepute pentru a crea diverse modele și conțin un set de funcții care pot fi utilizate pentru a simula procese tipice în sisteme cu diverse scopuri. Pachetele populare de acest tip sunt Arena (dezvoltatorul Rockwell Automation 1", SUA), Extendsim (dezvoltatorul Imagine That Ink., SUA), AnyLogic (dezvoltatorul XJ Technologies, Rusia) și multe altele. Aproape toate pachetele universale au versiuni specializate pentru modelarea obiectelor de clase specifice.
• Pachete de simulare specifice domeniului servesc la modelarea unor tipuri specifice de obiecte și au instrumente specializate pentru aceasta sub formă de șabloane, vrăjitori pentru proiectarea vizuală a unui model din module gata făcute etc.

• Desigur, două numere aleatoare nu pot depinde în mod unic unul de celălalt, Fig. 3.17, a este dat pentru claritatea conceptului de corelare. 144
• Analiză tehnică și economică în studiul fiabilității KamAZ-5410 / Yu. G. Kotikov, I. M. Blyankinshtein, A. E. Gorev, A. N. Borisenko; LISI. L.:, 1983. 12 p.-Dep. în TsBNTI Minavtotrans RSFSR, Nr. 135at-D83.
• http://www.rockwellautomation.com.
• http://www.cxtcndsiin.com.
• http://www.xjtek.com.

Distribuție uniformă. Valoare aleatoare X are sensul coordonatei unui punct ales la întâmplare pe segment

[a, b. Densitatea de distribuție uniformă a unei variabile aleatoare X(Fig. 10.5, A) poate fi definit ca:

Orez. 10.5. Distribuția uniformă a unei variabile aleatoare: A- densitatea distributiei; b- functia de distributie

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X se pare ca:

Graficul funcției de distribuție uniformă este prezentat în fig. 10.5, b.

Transformarea Laplace a distribuției uniforme se calculează prin (10.3):

Așteptările și varianța matematică sunt ușor de calculat direct din definițiile respective:

Formule similare pentru așteptarea și varianța matematică pot fi, de asemenea, obținute folosind transformata Laplace folosind formulele (10.8), (10.9).

Luați în considerare un exemplu de sistem de servicii care poate fi descris printr-o distribuție uniformă.

Circulația la intersecție este reglementată de un semafor automat, în care semaforul verde este aprins 1 minut și roșu 0,5 minute. Șoferii se apropie de intersecție la ore aleatorii cu o distribuție uniformă care nu are legătură cu funcționarea semaforului. Găsiți probabilitatea ca mașina să treacă de intersecție fără a se opri.

Momentul trecerii mașinii prin intersecție este distribuit uniform în intervalul 1 + 0,5 = 1,5 min. Mașina va trece prin intersecție fără oprire dacă momentul traversării intersecției se încadrează în intervalul de timp . Pentru o variabilă aleatoare uniform distribuită în interval, probabilitatea de a cădea în interval este 1/1,5=2/3. Timpul de așteptare Mr este o variabilă aleatorie mixtă. Cu o probabilitate de 2/3 este egală cu zero, iar cu o probabilitate de 0,5/1,5 ia orice valoare între 0 și 0,5 min. Prin urmare, timpul mediu de așteptare și variația așteptării la intersecție

Distribuție exponențială (exponențială). Pentru o distribuție exponențială, densitatea distribuției unei variabile aleatoare poate fi scrisă ca:

unde A se numește parametru de distribuție.

Graficul densității de probabilitate a distribuției exponențiale este dat în fig. 10.6, A.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare cu distribuție exponențială are forma

Orez. 10.6. Distribuția exponențială a unei variabile aleatoare: A- densitatea distributiei; b - functie de distributie

Graficul funcției de distribuție exponențială este prezentat în fig. 10.6, 6.

Transformarea Laplace a distribuției exponențiale este calculată prin (10.3):

Să arătăm asta pentru o variabilă aleatoare X, având o distribuție exponențială, așteptarea matematică este egală cu abaterea standard a și invers cu parametrul A,:

Astfel, pentru distribuţia exponenţială avem: Se mai poate demonstra că

acestea. distribuția exponențială este pe deplin caracterizată de medie sau parametru X .

Distribuția exponențială are o serie de proprietăți utile care sunt utilizate în sistemele de servicii de modelare. De exemplu, nu are memorie. Când , apoi

Cu alte cuvinte, dacă variabila aleatoare corespunde timpului, atunci distribuția duratei rămase nu depinde de timpul care a trecut deja. Această proprietate este ilustrată în Fig. 10.7.

Orez. 10.7.

Luați în considerare un exemplu de sistem ai cărui parametri de funcționare pot fi descriși printr-o distribuție exponențială.

În timpul funcționării unui anumit dispozitiv, defecțiunile apar în momente aleatorii. Durata de funcționare a dispozitivului T de la activarea acesteia până la apariția unei defecțiuni este distribuită conform unei legi exponențiale cu parametrul X. Dacă este detectată o defecțiune, dispozitivul intră imediat în reparație, care durează timp / 0 . Să găsim funcția de densitate și distribuție a intervalului de timp Г dintre două erori adiacente, așteptarea și varianța matematică și probabilitatea ca timpul T x Vor fi mai multe 2t0 .

De atunci

Distributie normala. Normal este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care este descrisă de densitate

Din (10.48) rezultă că distribuția normală este determinată de doi parametri - așteptarea matematică t iar dispersia a 2 . Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare cu o distribuție normală pentru t= 0, iar 2 =1 este prezentat în fig. 10.8, A.

Orez. 10.8. Legea normală de distribuție a unei variabile aleatoare la t= 0, st 2 = 1: A- probabilitate densitate; 6 - functia de distributie

Funcția de distribuție este descrisă de formula

Graficul funcției de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare distribuite normal la t= 0, iar 2 = 1 este prezentat în fig. 10.8, b.

Să determinăm probabilitatea ca X va lua o valoare aparținând intervalului (a, p):

Unde este funcția Laplace și probabilitatea ca

că valoarea absolută a abaterii este mai mică decât numărul pozitiv 6:

În special, când t = 0 egalitatea este adevărată:

După cum puteți vedea, o variabilă aleatoare cu o distribuție normală poate lua atât valori pozitive, cât și negative. Prin urmare, pentru a calcula momentele, este necesar să folosiți transformata Laplace cu două fețe

Cu toate acestea, această integrală nu există neapărat. Dacă există, în loc de (10.50) se folosește de obicei expresia

Care e numit functie caracteristica sau funcţia generatoare a momentelor.

Să calculăm prin formula (10.51) funcția generatoare a momentelor distribuției normale:

După conversia numărătorului expresiei subexponențiale în formă, obținem

Integral

deoarece este o integrală a densității normale de probabilitate cu parametri t + deci 2și un 2. Prin urmare,

Diferențiând (10.52), obținem

Din aceste expresii, puteți găsi momentele:

Distribuția normală este utilizată pe scară largă în practică, deoarece, conform teoremei limitei centrale, dacă o variabilă aleatoare este suma unui număr foarte mare de variabile aleatoare reciproc independente, influența fiecăreia dintre acestea fiind neglijabilă asupra întregii sume, atunci are o distributie apropiata de normal.

Luați în considerare un exemplu de sistem ai cărui parametri pot fi descriși printr-o distribuție normală.

Compania produce o parte de o dimensiune dată. Calitatea unei piese este evaluată prin măsurarea dimensiunii acesteia. Erorile de măsurare aleatoare sunt supuse legii normale cu abatere standard A - Yumkm. Să găsim probabilitatea ca eroarea de măsurare să nu depășească 15 µm.

Prin (10.49) găsim

Pentru comoditatea utilizării distribuțiilor considerate, rezumăm formulele obținute în tabel. 10.1 și 10.2.

Tabelul 10.1. Principalele caracteristici ale distribuțiilor continue

Tabelul 10.2. Funcții generatoare ale distribuțiilor continue

ÎNTREBĂRI DE TEST

• 1. Ce distribuții de probabilitate sunt considerate continue?
• 2. Ce este transformarea Laplace-Stieltjes? Pentru ce este folosit?
• 3. Cum se calculează momentele variabilelor aleatoare folosind transformata Laplace-Stieltjes?
• 4. Care este transformata Laplace a sumei variabilelor aleatoare independente?
• 5. Cum se calculează timpul mediu și varianța timpului de tranziție a sistemului de la o stare la alta folosind grafice de semnal?
• 6. Prezentați principalele caracteristici ale unei distribuții uniforme. Dați exemple de utilizare a acestuia în sarcini de service.
• 7. Prezentați principalele caracteristici ale distribuției exponențiale. Dați exemple de utilizare a acestuia în sarcini de service.
• 8. Prezentați principalele caracteristici ale distribuției normale. Dați exemple de utilizare a acestuia în sarcini de service.

Exemple de legi de distribuție pentru variabile aleatoare continue.

O variabilă aleatoare continuă X are legea distribuţiei uniforme pe segment dacă densitatea sa de probabilitate este constantă pe acest segment și este egală cu zero în afara acestuia.

Densitatea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare distribuite uniform are forma:

Orez. unu. Graficul uniform al densității de distribuție

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare distribuite uniform are forma:

O lege de distribuție uniformă este tratată atunci când, conform condițiilor unui test sau experiment, este studiată o variabilă aleatoare X, care ia valori într-un interval finit și toate valorile din acest interval sunt la fel de posibile, adică. niciuna dintre valori nu are prioritate față de celelalte.

De exemplu:

Timpul de așteptare la stația de autobuz - o variabilă aleatorie X - este distribuit uniform pe segmentul , unde t- intervalul dintre autobuze;

Rotunjirea numerelor, la rotunjirea la numere întregi, eroarea de rotunjire este diferența dintre valoarea inițială și valoarea rotunjită, iar această valoare este distribuită uniform pe o jumătate de interval.

Caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare distribuite uniform:

2) Dispersia

Exemplul 1: Intervalul cu autobuzul este de 20 de minute. Care este probabilitatea ca pasagerul de la stația de autobuz să aștepte autobuzul nu mai mult de 6 minute?

Soluţie: Fie variabila aleatoare X timpul de așteptare pentru autobuz, acesta este distribuit uniform pe segmentul .

În funcție de starea problemei, parametrii distribuției uniforme a valorii X:

Conform definiției unei distribuții uniforme în conformitate cu formula (2), funcția de distribuție a valorii X va avea forma:

Probabilitatea dorită se calculează prin formula

Răspuns: Probabilitatea ca un pasager să ia autobuzul nu mai mult de 6 minute este de 0,3.

Exemplul 2: Variabila aleatoare X are o distribuție uniformă pe intervalul . Scrieți densitatea de distribuție a lui X.

Soluţie:

Prin definiția unei distribuții uniforme în conformitate cu formula (1), densitatea de distribuție a valorii X va avea forma:

Răspuns:.

Exemplul 3: Variabila aleatoare X are o distribuție uniformă pe intervalul . Scrieți funcția de distribuție a lui X.

Soluţie: Deoarece variabila aleatoare X - este distribuită uniform pe segmentul , atunci, în funcție de starea problemei, parametrii de distribuție ai valorii X:

Conform definiției unei distribuții uniforme în conformitate cu formula (2), densitatea de distribuție a valorii X va avea forma:

Exemplul 4: Variabila aleatoare X are o distribuție uniformă pe intervalul . Aflați caracteristicile numerice ale mărimii X.

Soluţie: Deoarece variabila aleatoare X - este distribuită uniform pe segmentul , atunci, în funcție de starea problemei, parametrii de distribuție ai valorii X:

Prin definiția unei distribuții uniforme în conformitate cu formulele (3), (4) și (5), caracteristicile numerice ale valorii X vor fi următoarele:

1) Aşteptări matematice

2) Dispersia

3) Abaterea standard

Răspuns:, ,

Luați în considerare o distribuție continuă uniformă. Să calculăm așteptarea și varianța matematică. Să generăm valori aleatorii folosind funcția MS EXCELRAND() și add-in-ul Pachet de analiză, vom evalua media și abaterea standard.

distribuite uniform pe interval, variabila aleatoare are:

Să generăm o matrice de 50 de numere din interval)