Masa Sine 90 grade. Funcții trigonometrice

Tabel cu funcții trigonometrice de bază pentru unghiuri 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Din definițiile trigonometrice ale funcțiilor $\sin$, $\cos$, $\tan$ și $\cot$, se pot găsi valorile lor pentru unghiurile $0$ și $90$ grade:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nedefinit;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nu este definit.

La cursul de geometrie școlară, la studierea triunghiurilor dreptunghic, se găsesc funcțiile trigonometrice ale unghiurilor $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ și $90°$.

Valorile găsite ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile specificate în grade și respectiv radiani ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) pentru ușurință de memorare și utilizare sunt introduse într-un tabel numit tabel trigonometric, tabelul valorilor de bază ale funcțiilor trigonometrice etc.

Când se utilizează formule de reducere, tabelul trigonometric poate fi extins la un unghi de $360°$ și, respectiv, $2\pi$ radiani:

Aplicând proprietățile de periodicitate ale funcțiilor trigonometrice, fiecare unghi care diferă de cel deja cunoscut cu $360°$ poate fi calculat și înregistrat într-un tabel. De exemplu, funcția trigonometrică pentru unghiul $0°$ va avea aceeași valoare pentru unghiul $0°+360°$ și pentru unghiul $0°+2 \cdot 360°$ și pentru unghiul $0°+3 \ cdot 360°$ și etc.

Prin intermediul tabel trigonometric este posibil să se determine valorile tuturor unghiurilor cercului unitar.

În cursul de geometrie școlară, se presupune că trebuie să memoreze valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice colectate într-un tabel trigonometric pentru comoditatea rezolvării problemelor trigonometrice.

Folosind o masă

În tabel, este suficient să găsiți funcția trigonometrică necesară și valoarea unghiului sau radianului pentru care trebuie calculată această funcție. La intersecția rândului cu funcția și a coloanei cu valoarea, obținem valoarea dorită a funcției trigonometrice a argumentului dat.

În figură puteți vedea cum să găsiți valoarea $\cos⁡60°$ care este egală cu $\frac(1)(2)$.

Tabelul trigonometric extins este utilizat în mod similar. Avantajul utilizării acestuia este, după cum sa menționat deja, calculul funcției trigonometrice a aproape orice unghi. De exemplu, puteți găsi cu ușurință valoarea $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Tabele Bradis de funcții trigonometrice de bază

Abilitatea de a calcula funcția trigonometrică a absolut orice valoare a unghiului pentru o valoare întreagă de grade și o valoare întreagă de minute oferă utilizarea tabelelor Bradis. De exemplu, găsiți valoarea $\cos⁡34°7"$. Tabelele sunt împărțite în 2 părți: tabelul cu valorile $\sin$ și $\cos$ și tabelul cu $\tan$ și $\ valorile cot$.

Tabelele Bradis fac posibilă obținerea unei valori aproximative a funcțiilor trigonometrice cu o precizie de până la 4 zecimale.

Utilizarea tabelelor Bradis

Folosind tabelele lui Bradys pentru sinusuri, găsim $\sin⁡17°42"$. Pentru a face acest lucru, în coloana din stânga tabelului sinusurilor și cosinusurilor găsim valoarea gradelor - $17°$, iar în pe linia de sus găsim valoarea minutelor - $42"$. La intersecția lor, obținem valoarea dorită:

$\sin17°42"=0,304$.

Pentru a găsi valoarea $\sin17°44"$, trebuie să utilizați corecția din partea dreaptă a tabelului. În acest caz, la valoarea de $42"$, care se află în tabel, trebuie să adăugați un corecție pentru $2"$, care este egal cu $0,0006$. Obținem:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

Pentru a găsi valoarea lui $\sin17°47"$, folosim și corecția din partea dreaptă a tabelului, doar că în acest caz luăm ca bază valoarea lui $\sin17°48"$ și scădem corecția pentru $1"$:

$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.

Când calculăm cosinusuri, efectuăm actiuni similare, dar ne uităm la grade din coloana din dreapta și la minutele din coloana de jos a tabelului. De exemplu, $\cos20°=0,9397$.

Nu există corecții pentru valorile tangentei de până la $90°$ și cotangente cu unghi mic. De exemplu, să găsim $\tan 78°37"$, care conform tabelului este $4,967$.

Atenţie!
Sunt suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În primul rând, permiteți-mi să vă reamintesc o concluzie simplă, dar foarte utilă din lecția „Ce sunt sinus și cosinus? Ce sunt tangente și cotangente?”

Iată acea ieșire:

Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt strâns legate de unghiurile lor. Știm un lucru, așa că știm altceva.

Cu alte cuvinte, fiecare unghi are propriul sinus și cosinus fix. Și aproape fiecare are propria tangentă și cotangentă. De ce aproape? Mai multe despre asta mai jos.

Aceste cunoștințe te vor ajuta foarte mult! Există multe sarcini în care trebuie să treceți de la sinusuri la unghiuri și invers. Pentru asta există masa sinusurilor.În mod similar, pentru locurile de muncă cu cosinus - masa cosinus.Și, ați ghicit, există tabel tangenteȘi masa cotangente.)

Tabelele sunt diferite. Cele lungi, unde puteți vedea cu ce, să zicem, sin37 ° 6 'este egal. Deschidem tabelele Bradis, căutăm un unghi de treizeci și șapte de grade șase minute și vedem valoarea de 0,6032. Desigur, amintirea acestui număr (și a miilor de alte valori tabelare) nu este absolut necesară.

De fapt, în timpul nostru, tabele lungi de cosinus, sinusuri, tangente și cotangente nu sunt cu adevărat necesare. Un calculator bun le înlocuiește complet. Dar nu strica sa stii despre existenta unor astfel de tabele. Pentru erudiția generală.)

Atunci de ce această lecție? - tu intrebi.

Dar de ce. Printre numărul infinit de unghiuri există special, despre care ar trebui să știți toate. Toată geometria școlară și trigonometria sunt construite pe aceste unghiuri. Acesta este un fel de „tabel de înmulțire” al trigonometriei. Dacă nu știi cu ce este sin50°, de exemplu, nimeni nu te va judeca.) Dar dacă nu știi cu ce este sin30°, pregătește-te să obții un binemeritat deuce...

Astfel de special colțurile sunt, de asemenea, tastate decent. Manualele școlare sunt de obicei oferite cu amabilitate pentru memorare. masa sinusurilor si masa cosinusului pentru șaptesprezece colțuri. Și, desigur, tabel tangente și tabel cotangente pentru aceleaşi şaptesprezece colţuri... Adică. se propune amintirea a 68 de valori. Care, apropo, sunt foarte asemănătoare între ele, se repetă și își schimbă semnele din când în când. Pentru un bărbat fără ideal memorie vizuală- altă problema...)

Vom merge pe altă cale. Să înlocuim memorarea mecanică cu logica și ingeniozitatea. Apoi trebuie să memorăm 3 (trei!) valori pentru tabelul sinusurilor și tabelul cosinusurilor. Și 3 (trei!) valori pentru tabelul tangentelor și tabelul cotangentelor. Si asta e. Șase valori sunt mai ușor de reținut decât 68, cred...)

Vom obține toate celelalte valori necesare de la aceste șase folosind o fișă de cheat legal puternică. - cerc trigonometric. Dacă nu ai studiat acest subiect, mergi pe link, nu fi leneș. Acest cerc nu este doar pentru această lecție. El este de neînlocuit pentru toată trigonometria deodată. A nu folosi un astfel de instrument este pur și simplu un păcat! Tu nu vrei? E treaba ta. memora masa sinusurilor. masa cosinus. Tabelul tangentei. Masa cotangente. Toate cele 68 de valori pentru diferite unghiuri.)

Deci, să începem. Pentru început, să împărțim toate aceste unghiuri speciale în trei grupuri.

Primul grup de colțuri.

Luați în considerare primul grup colţuri de şaptesprezece special. Acestea sunt 5 unghiuri: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Iată cum arată tabelul sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor pentru aceste unghiuri:

Cei care vor să-și amintească - amintiți-vă. Dar trebuie să spun imediat că toate acestea și zerourile sunt foarte confuze în capul meu. Mult mai puternic decât vrei.) Prin urmare, activăm logica și cercul trigonometric.

Desenăm un cerc și marchem aceleași unghiuri pe el: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Am marcat aceste colțuri cu puncte roșii:

Puteți vedea imediat care este particularitatea acestor colțuri. Da! Acestea sunt colțurile care cad exact pe axa de coordonate! De fapt, de aceea oamenii se încurcă... Dar noi nu ne vom încurca. Să ne dăm seama cum să găsim funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri fără prea multă memorare.

Apropo, poziția unghiului este de 0 grade coincide complet cu un unghi de 360 ​​de grade. Aceasta înseamnă că sinusurile, cosinusurile și tangentele acestor unghiuri sunt exact aceleași. Am marcat unghiul de 360 ​​de grade pentru a completa cercul.

Să presupunem că, într-un mediu dificil de stres al examenului unificat de stat, te-ai îndoit cumva... Cu ce ​​este egal sinusul de 0 grade? Pare zero... Dacă este o unitate?! Memoria mecanică este așa ceva. În condiții dure, îndoielile încep să roadă ...)

Calm, doar calm!) Vă voi spune o tehnică practică care vă va oferi un răspuns 100% corect și vă va îndepărta complet toate îndoielile.

De exemplu, să ne dăm seama cum să determinăm clar și fiabil, să zicem, un sinus de 0 grade. Și, în același timp, cosinus 0. În aceste valori, destul de ciudat, oamenii se confundă adesea.

Pentru a face acest lucru, desenați pe un cerc arbitrar injecţie X. In primul trimestru, ca sa nu fie departe de 0 grade. Notați pe axe sinusul și cosinusul acestui unghi X, totul este chinezesc. Asa:

Și acum - atenție! Reduceți unghiul X, aduceți partea mobilă spre axă OH. Plasați cursorul peste imagine (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și vedeți totul.

Acum porniți logica elementară!. Priviți și gândiți-vă: Cum se comportă sinx când unghiul x scade? Pe măsură ce unghiul se apropie de zero? Se micsoreaza! Și cosx - crește! Rămâne să ne dăm seama ce se va întâmpla cu sinusul când unghiul se prăbușește complet? Când latura în mișcare a unghiului (punctul A) se va așeza pe axa OX și unghiul va deveni egal cu zero? Evident, sinusul unghiului va merge și el la zero. Și cosinusul va crește la ... la ... Care este lungimea laturii în mișcare a unghiului (raza cercului trigonometric)? Unitate!

Iată răspunsul. Sinusul de 0 grade este 0. Cosinusul de 0 grade este 1. Absolut de fier și fără nicio îndoială!) Pur și simplu pentru că altfel nu poate fi.

Exact în același mod, puteți afla (sau clarifica) sinusul de 270 de grade, de exemplu. Sau cosinus 180. Desenați un cerc, arbitrar un unghi într-un sfert de lângă axa de coordonate care ne interesează, mișcați mental latura unghiului și prindeți ceea ce vor deveni sinusul și cosinusul când latura unghiului se așează pe axă. Asta e tot.

După cum puteți vedea, nu este nevoie să memorați nimic pentru acest grup de unghiuri. nu este nevoie aici masa sinusurilor... da si masa cosinus- de asemenea.) Apropo, după mai multe aplicații ale cercului trigonometric, toate aceste valori sunt reținute de la sine. Și dacă sunt uitate, am desenat un cerc în 5 secunde și l-am clarificat. Mult mai ușor decât să suni un prieten de la toaletă cu riscul unui certificat, nu?)

În ceea ce privește tangenta și cotangenta, totul este la fel. Desenăm o linie de tangentă (cotangentă) pe cerc - și totul este imediat vizibil. Unde sunt egale cu zero și unde nu există. Ce, nu știi despre liniile tangentei și cotangentei? Acest lucru este trist, dar se poate repara.) Am vizitat Secțiunea 555 Tangent și cotangent pe un cerc trigonometric - și nicio problemă!

Dacă înțelegeți cum să definiți clar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta pentru aceste cinci unghiuri - felicitări! Pentru orice eventualitate, vă informez că acum puteți defini funcții orice unghiuri care cad pe axă.Și acesta este 450°, și 540° și 1800°, și chiar un număr infinit ...) Am numărat (corect!) Unghiul pe cerc - și nu există probleme cu funcțiile.

Dar, doar cu numărarea unghiurilor, apar probleme și erori... Cum să le evitați este scris în lecția: Cum să desenați (numărați) orice unghi pe un cerc trigonometric în grade. Elementar, dar foarte util în lupta împotriva erorilor.)

Și iată lecția: Cum să desenezi (numărați) orice unghi pe un cerc trigonometric în radiani - va fi mai brusc. În ceea ce privește posibilitățile. Să presupunem că determinăm pe care dintre cele patru semiaxe se încadrează unghiul

poți în câteva secunde. Nu glumesc! Doar în câteva secunde. Ei bine, desigur, nu numai 345 "pi" ...) Și 121, și 16 și -1345. Orice coeficient întreg este bun pentru un răspuns instantaneu.

Ce se întâmplă dacă unghiul

Gândi! Raspunsul corect se obtine in 10 secunde.Pentru orice valoare fractionara de radiani cu numitorul doi.

De fapt, pentru asta este bun cercul trigonometric. Faptul că abilitatea de a lucra cu niste colțurile la care se extinde automat set infinit colțuri.

Deci, cu cinci colțuri din șaptesprezece - mi-am dat seama.

Al doilea grup de unghiuri.

Următorul grup de unghiuri sunt unghiurile de 30°, 45° și 60°. De ce acestea, și nu, de exemplu, 20, 50 și 80? Da, s-a întâmplat cumva așa... Istoric.) Mai departe se va vedea cât de bune sunt aceste unghiuri.

Tabelul de sinusuri, cosinus, tangente, cotangente pentru aceste unghiuri arată astfel:

Am lăsat valorile pentru 0° și 90° din tabelul anterior pentru a fi complet.) Pentru a clarifica faptul că aceste unghiuri se află în primul trimestru și cresc. De la 0 la 90. Acest lucru ne va fi util în continuare.

Valorile din tabel pentru unghiurile 30°, 45° și 60° trebuie memorate. Zgâriește dacă vrei. Dar și aici există o oportunitate de a vă face viața mai ușoară.) Acordați atenție valorile tabelului sinus aceste colturi. Si compara cu valorile tabelului cosinus...

Da! Sunt la fel! Doar în ordine inversă. Unghiurile cresc (0, 30, 45, 60, 90) - iar valorile sinusului crește de la 0 la 1. Puteți verifica cu un calculator. Și valorile cosinusului - scădea de la 1 la zero. Mai mult decât atât, valorile înseși la fel. Pentru unghiuri de 20, 50, 80 acest lucru nu s-ar fi întâmplat...

De aici o concluzie utilă. Suficient pentru a învăța Trei valori pentru unghiuri de 30, 45, 60 de grade. Și amintiți-vă că acestea cresc în sinus și scad în cosinus. Spre sinus.) La jumătatea drumului (45°) se întâlnesc, adică sinusul de 45 de grade este egal cu cosinusul de 45 de grade. Și apoi diverg din nou... Se pot învăța trei semnificații, nu?

Cu tangente - cotangente, imaginea este exclusiv aceeași. Unu la unu. Doar valorile sunt diferite. Aceste valori (încă trei!) trebuie și ele învățate.

Ei bine, aproape toată memorarea s-a terminat. Ați înțeles (sperăm) cum să determinați valorile pentru cele cinci unghiuri care cad pe axă și ați învățat valorile pentru unghiurile de 30, 45, 60 de grade. Total 8.

Rămâne de a face cu ultimul grup de 9 cornere.

Acestea sunt colturile:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Pentru aceste unghiuri, trebuie să cunoașteți tabelul de fier al sinusurilor, tabelul cosinusurilor etc.

Coșmar, nu?)

Și dacă adăugați unghiuri aici, cum ar fi: 405 °, 600 ° sau 3000 ° și multe, multe dintre aceleași frumoase?)

Sau unghiuri în radiani? De exemplu, despre colțuri:

și multe altele ar trebui să știi toate.

Cel mai amuzant lucru este să știi toate - imposibil în principiu. Dacă folosești memoria mecanică.

Și este foarte ușor, de fapt elementar - dacă folosești un cerc trigonometric. Dacă te apuci de cercul trigonometric, toate acele unghiuri îngrozitoare în grade pot fi reduse cu ușurință și elegant la cele vechi bune:

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

În articol, vom înțelege pe deplin cum arată tabel de valori trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Se consideră valoarea de bază a funcțiilor trigonometrice, dintr-un unghi de 0,30,45,60,90,...,360 de grade. Și să vedem cum să folosim aceste tabele în calcularea valorii funcțiilor trigonometrice.
Mai întâi luați în considerare tabelul cosinus, sinus, tangente și cotangente dintr-un unghi de 0, 30, 45, 60, 90,.. grade. Definirea acestor mărimi face posibilă determinarea valorii funcțiilor unghiurilor de 0 și 90 de grade:

sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 00 \u003d 0, cotangenta lui 00 va fi nedefinită
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangenta lui 90 0 va fi nedefinită

Dacă luăm triunghiuri dreptunghiulare ale căror unghiuri sunt de la 30 la 90 de grade. Primim:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

Reprezentăm toate valorile obținute în formular tabel trigonometric:

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente!

Dacă folosim formula de turnare, tabelul nostru va crește, se vor adăuga valori pentru unghiuri de până la 360 de grade. Va arata ca:

De asemenea, pe baza proprietăților periodicității, tabelul poate fi mărit dacă înlocuim unghiurile cu 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, în care z este un număr întreg. În acest tabel, este posibil să se calculeze valoarea tuturor unghiurilor corespunzătoare punctelor dintr-un singur cerc.

Să vedem clar cum să folosim tabelul în soluție.
Totul este foarte simplu. Deoarece valoarea de care avem nevoie se află în punctul de intersecție al celulelor de care avem nevoie. De exemplu, să luăm cos unui unghi de 60 de grade, în tabel va arăta astfel:

În tabelul final al principalelor valori ale funcțiilor trigonometrice, acționăm în același mod. Dar în acest tabel este posibil să aflăm cât de mult va fi tangenta dintr-un unghi de 1020 de grade, ea = -√3 Să verificăm 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Să găsim masa.

masa Bradis. Pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Tabelele lui Bradys sunt împărțite în mai multe părți, ele constau din tabele de cosinus și sinus, tangentă și cotangentă - care este împărțită în două părți (tg de un unghi de până la 90 de grade și ctg de unghiuri mici).

Sinus și cosinus

unghi tg de la 00 la 760, unghi ctg de la 140 la 900.

tg până la 900 și ctg unghiuri mici.

Să ne dăm seama cum să folosim tabelele Bradis în rezolvarea problemelor.

Să găsim denumirea sin (denumirea în coloana de pe marginea din stânga) 42 de minute (denumirea este pe linia de sus). Prin trecere căutăm o desemnare, este = 0,3040.

Valorile minutelor sunt indicate cu un interval de șase minute, dacă valoarea de care avem nevoie se încadrează în acest interval. Să luăm 44 de minute și în tabel sunt doar 42. Luăm ca bază 42 și folosim coloane suplimentare în partea dreapta, luăm al 2-lea amendament și adăugăm la 0,3040 + 0,0006 obținem 0,3046.

Cu sin 47 min, luăm 48 min ca bază și scădem 1 corecție din ea, adică 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

Când calculăm cos, lucrăm similar cu sin, doar că luăm ca bază rândul de jos al tabelului. De exemplu cos 20 0 = 0,9397

Valorile tg ale unui unghi de până la 90 0 și cot ale unui unghi mic sunt corecte și nu există corecții în ele. De exemplu, găsiți tg 78 0 37min = 4,967


și ctg 20 0 13 min = 25,83

Ei bine, aici am luat în considerare principalele tabele trigonometrice. Sperăm că aceste informații v-au fost extrem de utile. Întrebările tale de pe mese, dacă există, asigurați-vă că scrieți în comentarii!

Notă: Apărătoare de perete - o placă de protecție pentru protejarea pereților. Urmați link-ul pentru aripi fără perete și fără cadru (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) și aflați mai multe.

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD| - lungimea arcului de cerc centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .

Cotangent ( ctgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tg x

Cotangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, cotangenta se notează după cum urmează:
.
De asemenea, a fost adoptată următoarea notație:
;
;
.

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate

Funcțiile y= tg xși y= ctg x sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definiție și valori, crescător, descendent

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue pe domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).

Formule

Expresii în termeni de sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangente și cotangente a sumei și diferenței

Restul formulelor sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel arată valorile tangentelor și cotangentelor pentru unele valori ale argumentului.

Expresii în termeni de numere complexe

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangente > > > ; pentru cotangent >> >>

Integrale

Extinderi în serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xȘi cos xși împărțiți aceste polinoame unele în altele , . Aceasta are ca rezultat următoarele formule.

La .

la .
Unde B n- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse la tangentă și cotangentă sunt arctangentă și, respectiv, arctangentă.

Arctangent, arctg

, Unde n- întreg.

Arc tangentă, arcctg

, Unde n- întreg.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru cercetători și ingineri, 2012.

TABEL DE VALORI ALE FUNCȚILOR TRIGONOMETRICE

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice este întocmit pentru unghiuri de 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 și 360 de grade și unghiurile corespunzătoare acestora în radiani. Dintre funcțiile trigonometrice, tabelul arată sinusul, cosinusul, tangenta, cotangenta, secanta și cosecanta. Pentru comoditatea rezolvării exemplelor școlare, valorile funcțiilor trigonometrice din tabel sunt scrise ca o fracție cu păstrarea semnelor de extragere a rădăcinii pătrate din numere, ceea ce ajută foarte adesea la reducerea expresiilor matematice complexe. Pentru tangentă și cotangentă, valorile unor unghiuri nu pot fi determinate. Pentru valorile tangentei și cotangentei unor astfel de unghiuri, există o liniuță în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. Este în general acceptat că tangenta și cotangenta unor astfel de unghiuri este egală cu infinitul. Pe o pagină separată sunt formule pentru reducerea funcțiilor trigonometrice.

Tabelul de valori pentru funcția trigonometrică sinus arată valorile pentru următoarele unghiuri: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 în grad de măsură , care corespunde cu sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi în măsura unghiurilor în radian. Masa școlară de sinusuri.

Pentru funcția cosinus trigonometrică, tabelul prezintă valorile pentru următoarele unghiuri: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 în măsură de grade, care corespunde cu cos 0 pi, cos pi la 6, cos pi cu 4, cos pi cu 3, cos pi cu 2, cos pi, cos 3 pi cu 2, cos 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Masa școlară de cosinus.

Tabelul trigonometric pentru funcția trigonometrică tangentă oferă valori pentru următoarele unghiuri: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 în măsura în grade, care corespunde cu tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi în măsurarea radianilor unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor trigonometrice ale tangentei nu sunt definite tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 și sunt considerate egale cu infinitul.

Pentru funcția trigonometrică cotangentă din tabelul trigonometric se dau următoarele unghiuri: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 în grade, care corespunde cu ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3 , tg pi / 2, tg 3 pi/2 în măsura în radiani a unghiurilor. Următoarele valori ale funcțiilor cotangente trigonometrice nu sunt definite ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi și sunt considerate egale cu infinitul.

Valorile funcțiilor trigonometrice secant și cosecant sunt date pentru aceleași unghiuri în grade și radiani ca sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

Tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor nestandard arată valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiurile în grade 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 grade și în radiani pi/12 , pi/10, pi/8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiani. Valorile funcțiilor trigonometrice sunt exprimate în termeni de fracții și rădăcini pătrate pentru a simplifica reducerea fracțiilor în exemplele școlare.

Încă trei monștri ai trigonometriei. Prima este tangenta de 1,5 grade și jumătate, sau pi împărțit la 120. Al doilea este cosinusul lui pi împărțit la 240, pi/240. Cel mai lung este cosinusul lui pi împărțit la 17, pi/17.

Cercul trigonometric al valorilor funcțiilor sinus și cosinus reprezintă vizual semnele sinusului și cosinusului în funcție de mărimea unghiului. În special pentru blonde, valorile cosinusului sunt subliniate cu o liniuță verde pentru a fi mai puțin confuze. Conversia gradelor în radiani este, de asemenea, foarte clar prezentată, atunci când radianii sunt exprimați prin pi.

Acest tabel trigonometric prezintă valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei pentru unghiuri de la 0 zero la 90 nouăzeci de grade în intervale de un grad. Pentru primele patruzeci și cinci de grade, numele funcțiilor trigonometrice trebuie privite în partea de sus a tabelului. Prima coloană conține grade, valorile sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și cotangentelor sunt scrise în următoarele patru coloane.

Pentru unghiuri de la patruzeci și cinci de grade până la nouăzeci de grade, numele funcțiilor trigonometrice sunt scrise în partea de jos a tabelului. Ultima coloană conține grade, valorile cosinusului, sinusurilor, cotangentelor și tangentelor sunt scrise în cele patru coloane anterioare. Ar trebui să fiți atenți, deoarece numele funcțiilor trigonometrice din partea inferioară a tabelului trigonometric sunt diferite de numele din partea superioară a tabelului. Sinusurile și cosinusurile sunt interschimbate, la fel ca tangenta și cotangenta. Acest lucru se datorează simetriei valorilor funcțiilor trigonometrice.

Semnele funcțiilor trigonometrice sunt prezentate în figura de mai sus. Sinusul are valori pozitive de la 0 la 180 de grade sau de la 0 la pi. Valorile negative ale sinusului sunt de la 180 la 360 de grade sau de la pi la 2 pi. Valorile cosinusului sunt pozitive de la 0 la 90 și de la 270 la 360 de grade sau de la 0 la 1/2 pi și 3/2 la 2 pi. Tangenta și cotangenta au valori pozitive de la 0 la 90 de grade și de la 180 la 270 de grade, corespunzătoare valorilor de la 0 la 1/2 pi și de la pi la 3/2 pi. Tangenta și cotangenta negativă sunt de la 90 la 180 de grade și de la 270 la 360 de grade, sau 1/2 pi la pi și 3/2 pi la 2 pi. Când se determină semnele funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri mai mari de 360 ​​de grade sau 2 pi, trebuie utilizate proprietățile de periodicitate ale acestor funcții.

Funcțiile trigonometrice sinus, tangentă și cotangentă sunt funcții impare. Valorile acestor funcții pentru unghiuri negative vor fi negative. Cosinusul este o funcție trigonometrică uniformă - valoarea cosinusului pentru un unghi negativ va fi pozitivă. Când înmulțiți și împărțiți funcții trigonometrice, trebuie să respectați regulile semnelor.

1. Tabelul de valori pentru funcția trigonometrică sinus arată valorile pentru următoarele unghiuri

   Document

   O pagină separată conține formule de turnare trigonometricfuncții. ÎN masavalorilepentrutrigonometricfuncțiisinusuluidatvalorilepentruUrmătorulcolțuri: sin 0, sin 30, sin 45 ...

2. Aparatul matematic propus este un analog complet al calculului complex pentru numere hipercomplex n-dimensionale cu orice număr de grade de libertate n și este destinat modelării matematice a neliniarelor.

   Document

   ... funcții egală funcții Imagini. Din această teoremă ar trebui să, ce pentru afland coordonatele U, V, este suficient sa se calculeze funcţie... geometrie; polinar funcții(analogi multidimensionali ai bidimensionali trigonometricfuncții), proprietățile lor, Meseși aplicarea; ...

3.