Cum să găsiți așteptările matematice. Formula de așteptare

Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare discrete? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.

Să ne amintim elementele de bază

Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Cert este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.

Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv obținute de un tip și numărul total de rezultate posibile. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptări matematiceși dispersiile de variabile aleatoare continue.

In medie

Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.

Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.

Dispersia

În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.

Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.

Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.

Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?

Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele împreună. . Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.

Dependența de numărul de experimente

Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?

Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.

O sarcină

Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.

Valorea estimata

Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptarea matematică este rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea obținută, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pt întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate ia în considerare.

Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice cantitate din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.

Încă un exemplu

Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.

Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.

Acum să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.

Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.

În cele din urmă, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.

Deviere

Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Este marcat fie cu litere latine sd, sau greacă literă „sigma”. Acest concept arată cum, în medie, valorile se abat de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați Rădăcină pătrată din dispersie.

Dacă trasați o distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătrată direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.

Software

După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, este logic să folosiți programul folosit în superioare institutii de invatamant- se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.

De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

In cele din urma

Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe la sfârșitul sesiunii, ceea ce îi privează de burse.

Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.

Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare discrete și continue: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Proprietățile și exemplele lor.

Legea distribuției (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie pe deplin comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale cantității studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Luați în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.

Definiție 7.1.așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile lor corespunzătoare:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)

Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinit, atunci dacă seria rezultată converge absolut.

Observație 1. Uneori se numește așteptarea matematică medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pentru un număr mare de experimente.

Observația 2. Din definiția așteptării matematice, rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare.

Observația 3. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este Nu la nimereală(constant. Mai târziu vom vedea că același lucru este valabil și pentru variabile aleatoare continue.

Exemplul 1. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numarul de piese standard dintre trei selectate dintr-un lot de 10 piese, inclusiv 2 defecte. Să compunem o serie de distribuție pentru X. Din starea problemei rezultă că X poate lua valorile 1, 2, 3. Apoi

Exemplul 2. Definiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numărul aruncărilor de monede până la prima apariție a stemei. Această cantitate poate lua un număr infinit de valori (mulțimea de valori posibile este mulțimea numerelor naturale). Seria sa de distribuție are forma:

+ (la calcul, formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare a fost folosită de două ori: , de unde ).

Proprietățile așteptărilor matematice.

1) Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși:

M(DIN) = DIN.(7.2)

Dovada. Dacă luăm în considerare DIN ca o variabilă aleatoare discretă care ia o singură valoare DIN cu probabilitate R= 1, atunci M(DIN) = DIN?1 = DIN.

2) Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dovada. În cazul în care un valoare aleatorie X dat de seria de distribuţie

Apoi M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = DIN(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).

Definiție 7.2. Sunt numite două variabile aleatoare independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori a luat celălalt. Altfel variabile aleatorii dependent.

Definiție 7.3. Hai sa sunăm produsul variabilelor aleatoare independente Xși Y variabilă aleatorie X Y, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele tuturor valorilor posibile X pentru toate valorile posibile Y, iar probabilitățile corespunzătoare acestora sunt egale cu produsele probabilităților factorilor.

3) Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:

M(X Y) = M(X)M(Y). (7.4)

Dovada. Pentru a simplifica calculele, ne limităm la cazul când Xși Y luați doar două valori posibile:

Prin urmare, M(X Y) = X 1 y 1 ?p 1 g 1 + X 2 y 1 ?p 2 g 1 + X 1 y 2 ?p 1 g 2 + X 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + y 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).

Observație 1.În mod similar, se poate dovedi această proprietate pentru mai multe valori posibile ale factorilor.

Observația 2. Proprietatea 3 este valabilă pentru produsul oricărui număr de variabile aleatoare independente, care este demonstrat prin metoda inducției matematice.

Definiție 7.4. Să definim suma variabilelor aleatoare Xși Y ca variabilă aleatoare X + Y, ale căror valori posibile sunt egale cu sumele fiecărei valori posibile X cu toate valorile posibile Y; probabilitățile unor astfel de sume sunt egale cu produsele probabilităților termenilor (pentru variabile aleatoare dependente - produsele probabilității unui termen prin probabilitatea condiționată a celui de-al doilea).

4) Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (dependente sau independente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dovada.

Luați în considerare din nou variabilele aleatoare date de seria de distribuție dată în demonstrația proprietății 3. Apoi valorile posibile X+Y sunteți X 1 + la 1 , X 1 + la 2 , X 2 + la 1 , X 2 + la 2. Notați probabilitățile lor, respectiv ca R 11 , R 12 , R 21 și R 22. Sa gasim M(X+Y) = (X 1 + y 1)p 11 + (X 1 + y 2)p 12 + (X 2 + y 1)p 21 + (X 2 + y 2)p 22 =

= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).

Să demonstrăm asta R 11 + R 22 = R unu . Într-adevăr, evenimentul care X+Y va prelua valorile X 1 + la 1 sau X 1 + la 2 și a cărui probabilitate este R 11 + R 22 coincide cu evenimentul care X = X 1 (probabilitatea sa este R unu). În mod similar, este dovedit că p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Mijloace,

M(X+Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

cometariu. Proprietatea 4 implică faptul că suma oricărui număr de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor așteptate ale termenilor.

Exemplu. Găsiți așteptările matematice ale sumei numărului de puncte aruncate atunci când aruncați cinci zaruri.

Să aflăm așteptările matematice ale numărului de puncte care au căzut la aruncarea unui zar:

M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Același număr este egal cu așteptarea matematică a numărului de puncte care au căzut pe orice zar. Prin urmare, prin proprietatea 4 M(X)=

Dispersia.

Pentru a avea o idee despre comportamentul unei variabile aleatoare, nu este suficient să cunoaștem doar așteptările ei matematice. Luați în considerare două variabile aleatorii: Xși Y, dat de seria de distribuție a formei

Sa gasim M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 ​​+ 100? 0,5 ​​\u003d 50. După cum puteți vedea, așteptările matematice ale ambelor mărimi sunt egale, dar dacă pentru HM(X) descrie bine comportamentul unei variabile aleatoare, fiind valoarea ei cea mai probabilă posibilă (mai mult, valorile rămase diferă ușor de 50), apoi valorile Y abate semnificativ de la M(Y). Prin urmare, împreună cu așteptările matematice, este de dorit să se știe cât de mult se abat valorile variabilei aleatoare de la aceasta. Dispersia este utilizată pentru a caracteriza acest indicator.

Definiție 7.5.Dispersare (împrăștiere) variabila aleatorie se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea sa matematică:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Aflați varianța unei variabile aleatoare X(numărul de părți standard dintre cele selectate) în exemplul 1 al acestei prelegeri. Să calculăm valorile abaterii pătrate a fiecărei valori posibile de la așteptarea matematică:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Prin urmare,

Observație 1.În definiția varianței, nu abaterea de la medie în sine este evaluată, ci pătratul acesteia. Acest lucru se face astfel încât abaterile diferitelor semne să nu se compenseze reciproc.

Observația 2. Din definiția dispersiei rezultă că această cantitate ia numai valori nenegative.

Observația 3. Există o formulă mai convenabilă pentru calcularea varianței, a cărei validitate este dovedită în următoarea teoremă:

Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dovada.

Folosind ce M(X) este o valoare constantă, iar proprietățile așteptării matematice, transformăm formula (7.6) în forma:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ceea ce urma să fie dovedit.

Exemplu. Să calculăm varianțele variabilelor aleatoare Xși Y discutat la începutul acestei secțiuni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) \u003d (0 2? 0,5 ​​+ 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Deci, dispersia celei de-a doua variabile aleatoare este de câteva mii de ori mai mare decât dispersia primei. Astfel, chiar și fără a cunoaște legile de distribuție a acestor mărimi, conform valorilor cunoscute ale dispersiei, putem afirma că X se abate puțin de la așteptările sale matematice, în timp ce pentru Y această abatere este foarte semnificativă.

Proprietăți de dispersie.

1) Constanta de dispersie DIN este egal cu zero:

D (C) = 0. (7.8)

Dovada. D(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dovada. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dovada. D(X+Y) = M(X² + 2 X Y + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Consecința 1. Varianța sumei mai multor variabile aleatoare reciproc independente este egală cu suma varianțelor acestora.

Consecința 2. Varianța sumei unei constante și a unei variabile aleatoare este egală cu varianța variabilei aleatoare.

4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora:

D(X Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dovada. D(X Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Varianta dă valoarea medie a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la medie; pentru a evalua abaterea în sine este o valoare numită abatere standard.

Definiție 7.6.Deviație standardσ variabilă aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:

Exemplu. În exemplul anterior, abaterile standard Xși Y egal, respectiv

După cum se știe deja, legea distribuției caracterizează complet o variabilă aleatoare. Totuși, legea distribuției este adesea necunoscută și trebuie să te limitezi la informații mai puține. Uneori este și mai profitabil să folosești numere care descriu o variabilă aleatoare în total; se numesc astfel de numere caracteristicile numerice ale unei variabile aleatorii. Așteptările matematice sunt una dintre caracteristicile numerice importante.

Așteptările matematice, așa cum se va arăta mai jos, este aproximativ egală cu valoarea medie a variabilei aleatoare. Pentru a rezolva multe probleme, este suficient să cunoașteți așteptările matematice. De exemplu, dacă se știe că așteptarea matematică a numărului de puncte marcate de primul trăgător este mai mare decât cea a celui de-al doilea, atunci primul trăgător, în medie, elimină mai multe puncte decât al doilea și, prin urmare, trage mai bine decât al doilea. Deși așteptarea matematică oferă mult mai puține informații despre o variabilă aleatoare decât legea distribuției acesteia, dar pentru rezolvarea unor probleme precum cea dată și multe altele, cunoașterea așteptării matematice este suficientă.

§ 2. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete

așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă se numește suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestora.

Fie variabila aleatoare X poate lua doar valori X 1 , X 2 , ..., X P , ale căror probabilităţi sunt respectiv egale R 1 , R 2 , . . ., R P . Apoi așteptarea matematică M(X) variabilă aleatorie X este definit de egalitate

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X n p n .

Dacă o variabilă aleatoare discretă X atunci ia un set numărabil de valori posibile

M(X)=

în plus, așteptarea matematică există dacă seria de pe partea dreaptă a egalității converge absolut.

Cometariu. Din definiție rezultă că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este o variabilă non-aleatoare (constantă). Vă recomandăm să vă amintiți această afirmație, deoarece este folosită în mod repetat mai târziu. Mai târziu se va arăta că așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, o valoare constantă.

Exemplul 1 Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare X, cunoscând legea distribuției sale:

Soluţie. Așteptările matematice dorite sunt egale cu suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatorii și probabilitățile acestora:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Exemplul 2 Găsiți așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment DARîntr-o singură încercare, dacă probabilitatea unui eveniment DAR este egal cu R.

Soluţie. Valoare aleatoare X - numărul de apariții ale evenimentului DARîntr-un singur test - poate lua doar două valori: X 1 = 1 (eveniment DARîntâmplat) cu o probabilitate Rși X 2 = 0 (eveniment DAR nu a avut loc) cu o probabilitate q= 1 -R. Așteptările matematice dorite

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Asa de, așteptarea matematică a numărului de apariții ale unui eveniment într-o încercare este egală cu probabilitatea acestui eveniment. Acest rezultat va fi folosit mai jos.

§ 3. Sensul probabilistic al așteptării matematice

Lăsați produs P teste în care variabila aleatoare X admis t 1 ori valoarea X 1 , t 2 ori valoarea X 2 ,...,m k ori valoarea X k , și t 1 + t 2 + …+t la = p. Apoi suma tuturor valorilor luate X, este egal cu

X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X la t la .

Aflați media aritmetică dintre toate valorile acceptate ca variabilă aleatoare, pentru care împărțim suma găsită la numărul total de încercări:

= (X 1 t 1 + X 2 t 2 + ... + X la t la)/P,

= X 1 (m 1 / n) + X 2 (m 2 / n) + ... + X la (t la /P). (*)

Observând că relația m 1 / n- frecventa relativa W 1 valorile X 1 , m 2 / n - frecventa relativa W 2 valorile X 2 etc., scriem relația (*) după cum urmează:

=X 1 W 1 + X 2 W 2 + .. . + X la W k . (**)

Să presupunem că numărul de încercări este suficient de mare. Atunci frecvența relativă este aproximativ egală cu probabilitatea de apariție a evenimentului (acest lucru va fi demonstrat în capitolul IX, § 6):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Înlocuind frecvențele relative în relația (**) cu probabilitățile corespunzătoare, obținem

X 1 p 1 + X 2 R 2 + … + X la R la .

Partea dreaptă a acestei egalități aproximative este M(X). Asa de,

M(X).

Sensul probabilistic al rezultatului obținut este următorul: așteptarea matematică este aproximativ egală cu(cu cât este mai precis, cu atât este mai mare numărul de încercări) media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.

Observația 1. Este ușor de observat că așteptarea matematică este mai mare decât cea mai mică și mai mică decât cele mai mari valori posibile. Cu alte cuvinte, pe axa numerelor, valorile posibile sunt situate la stânga și la dreapta valorii așteptate. În acest sens, așteptarea caracterizează locația distribuției și, prin urmare, este adesea denumită centru de distributie.

Acest termen este împrumutat de la mecanică: dacă masele R 1 , R 2 , ..., R P situate în puncte cu abscise X 1 , X 2 , ..., X n, și
apoi abscisa centrului de greutate

X c =
.

Dat fiind
= M (X) și
primim M(X)= x Cu .

Deci, așteptarea matematică este abscisa centrului de greutate al unui sistem de puncte materiale, ale căror abscise sunt egale cu valorile posibile ale unei variabile aleatoare, iar masele sunt egale cu probabilitățile lor.

Observația 2. Originea termenului „așteptare” este asociată cu perioada inițială a apariției teoriei probabilităților (secolele XVI-XVII), când sfera sa de aplicare se limita la jocurile de noroc. Jucătorul era interesat de valoarea medie a câștigului așteptat sau, cu alte cuvinte, așteptarea matematică a câștigului.

Fiecare valoare individuală este complet determinată de funcția sa de distribuție. De asemenea, pentru a rezolva probleme practice, este suficient să cunoașteți mai multe caracteristici numerice, datorită cărora devine posibilă prezentarea principalelor caracteristici ale unei variabile aleatorii într-o formă concisă.

Aceste cantități sunt în primul rând valorea estimatași dispersie .

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare în teoria probabilităţilor. Desemnat ca .

În cel mai simplu mod, așteptarea matematică a unei variabile aleatorii X(w), se găsesc ca integralăLebesgueîn ceea ce priveşte măsura probabilităţii R original spațiu de probabilitate

De asemenea, puteți găsi așteptarea matematică a unei valori ca integrala Lebesgue din X prin distribuție de probabilitate R X cantități X:

unde este setul tuturor valorilor posibile X.

Așteptări matematice ale funcțiilor dintr-o variabilă aleatoare X este prin distribuție R X. De exemplu, dacă X- variabilă aleatoare cu valori în și f(x)- lipsit de ambiguitate Borelfuncţie X , apoi:

În cazul în care un F(x)- functia de distributie X, atunci așteptarea matematică este reprezentabilă integralăLebesgue - Stieltjes (sau Riemann - Stieltjes):

în timp ce integrabilitatea X in ce sens ( * ) corespunde finiturii integralei

În cazuri specifice, dacă X are o distribuție discretă cu valori probabile x k, k=1, 2, . , și probabilități , atunci

dacă X are o distribuție absolut continuă cu o densitate de probabilitate p(x), apoi

în acest caz, existența unei așteptări matematice este echivalentă cu convergența absolută a seriei sau integralei corespunzătoare.

Proprietăți ale așteptării matematice a unei variabile aleatoare.

• Așteptarea matematică a unei valori constante este egală cu această valoare:

C- constant;

• M=C.M[X]

• Așteptările matematice ale sumei valorilor luate aleatoriu este egală cu suma așteptărilor lor matematice:

• Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente = produsul așteptărilor lor matematice:

L=M[X]+L[Y]

dacă Xși Y independent.

dacă seria converge:

Algoritm pentru calcularea așteptării matematice.

Proprietăți ale variabilelor aleatoare discrete: toate valorile lor pot fi renumerotate prin numere naturale; echivalează fiecare valoare cu o probabilitate diferită de zero.

1. Înmulțiți perechile pe rând: x i pe pi.

2. Adăugați produsul fiecărei perechi x i p i.

De exemplu, pentru n = 4 :

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete treptat, crește brusc în acele puncte ale căror probabilități au semn pozitiv.

Exemplu: Găsiți așteptările matematice după formula.

Dispersia variabila aleatoare continuă X, ale cărei valori posibile aparțin întregii axe Ox, este determinată de egalitatea:

Atribuirea serviciului. Calculatorul online este conceput pentru a rezolva probleme în care fie densitatea distributiei f(x) sau funcția de distribuție F(x) (vezi exemplu). De obicei, în astfel de sarcini este necesar să se găsească așteptări matematice, abatere standard, reprezentați grafic funcțiile f(x) și F(x).

Instruire. Selectați tipul de date de intrare: densitatea de distribuție f(x) sau funcția de distribuție F(x) .

Densitatea distribuției f(x) este dată:

Funcția de distribuție F(x) este dată:

O variabilă aleatoare continuă este definită de o densitate de probabilitate
(Legea distribuției Rayleigh - folosită în ingineria radio). Găsiți M(x) , D(x) .

Se numește variabila aleatoare X continuu , dacă funcția sa de distribuție F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este utilizată pentru a calcula probabilitățile ca o variabilă aleatoare să se încadreze într-un interval dat:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
în plus, pentru o variabilă aleatoare continuă, nu contează dacă limitele sale sunt incluse sau nu în acest interval:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densitatea de distribuție variabila aleatoare continuă se numește funcție
f(x)=F'(x) , derivată a funcției de distribuție.

Proprietăți de densitate de distribuție