22.09.2019

Πώς να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης χωρίς παράγωγο. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα

Στο μάθημα με θέμα «Χρησιμοποιώντας την παράγωγο για να βρούμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα», θα εξετάσουμε σχετικά απλά προβλήματα εύρεσης της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα χρησιμοποιώντας την παράγωγο.

Θέμα: Παράγωγο

Μάθημα: Χρησιμοποιώντας μια παράγωγο για να βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα

Σε αυτό το μάθημα, θα εξετάσουμε ένα απλούστερο πρόβλημα, δηλαδή, θα δοθεί ένα διάστημα, θα δοθεί μια συνεχής συνάρτηση σε αυτό το διάστημα. Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές ενός δεδομένου λειτουργίεςσε δεδομένο διάστημα.

Νο. 32.1 (β). Δόθηκαν: , . Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα της συνάρτησης (βλ. Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Γράφημα συνάρτησης.

Είναι γνωστό ότι αυτή η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα, που σημαίνει ότι αυξάνεται και στο διάστημα. Έτσι, αν βρείτε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία και , τότε θα είναι γνωστά τα όρια αλλαγής αυτής της συνάρτησης, η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της.

Όταν το όρισμα αυξάνεται από σε 8, η συνάρτηση αυξάνεται από σε .

Απάντηση: ; .

№ 32.2 (α) Δίνεται: Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα.

Ας δημιουργήσουμε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης (βλ. Εικ. 2).

Εάν το όρισμα αλλάξει στο διάστημα , τότε η συνάρτηση αυξάνεται από -2 σε 2. Εάν το όρισμα αυξηθεί από , τότε η συνάρτηση μειώνεται από 2 σε 0.

Ρύζι. 2. Γράφημα συνάρτησης.

Ας βρούμε την παράγωγο.

, . Αν , τότε και αυτή η τιμή ανήκει στο δεδομένο τμήμα . Αν τότε . Είναι εύκολο να ελέγξετε αν παίρνει άλλες τιμές, τα αντίστοιχα ακίνητα σημεία υπερβαίνουν το δεδομένο τμήμα. Ας συγκρίνουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε επιλεγμένα σημεία όπου η παράγωγος είναι ίση με μηδέν. Ας βρούμε

;

Απάντηση: ;.

Λοιπόν, η απάντηση ελήφθη. Η παράγωγος σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί, δεν μπορείτε να τη χρησιμοποιήσετε, εφαρμόστε τις ιδιότητες της συνάρτησης που μελετήθηκαν νωρίτερα. Αυτό δεν συμβαίνει πάντα, μερικές φορές η χρήση ενός παραγώγου είναι η μόνη μέθοδος που σας επιτρέπει να λύσετε τέτοια προβλήματα.

Δόθηκαν: , . Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο συγκεκριμένο τμήμα.

Εάν στην προηγούμενη περίπτωση ήταν δυνατό να γίνει χωρίς την παράγωγο - γνωρίζαμε πώς συμπεριφέρεται η συνάρτηση, τότε σε αυτήν την περίπτωση η συνάρτηση είναι αρκετά περίπλοκη. Επομένως, η μεθοδολογία που αναφέραμε στην προηγούμενη εργασία είναι πλήρως εφαρμόσιμη.

1. Βρείτε την παράγωγο. Ας βρούμε κρίσιμα σημεία , επομένως , - κρίσιμα σημεία. Από αυτά επιλέγουμε αυτά που ανήκουν σε αυτό το τμήμα: . Ας συγκρίνουμε την τιμή της συνάρτησης στα σημεία , , . Για αυτό βρίσκουμε

Εικονίζουμε το αποτέλεσμα στο σχήμα (βλ. Εικ. 3).

Ρύζι. 3. Όρια αλλαγής τιμών συνάρτησης

Βλέπουμε ότι αν το όρισμα αλλάξει από 0 σε 2, η συνάρτηση αλλάζει από -3 σε 4. Η συνάρτηση δεν αλλάζει μονότονα: είτε αυξάνεται είτε μειώνεται.

Απάντηση: ;.

Έτσι, χρησιμοποιώντας τρία παραδείγματα, καταδείχθηκε μια γενική τεχνική για την εύρεση των μεγαλύτερων και μικρότερων τιμών μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα, σε αυτήν την περίπτωση, σε ένα τμήμα.

Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος της εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών της συνάρτησης:

1. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.

2. Βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης και επιλέξτε εκείνα τα σημεία που βρίσκονται σε ένα δεδομένο τμήμα.

3. Βρείτε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και στα επιλεγμένα σημεία.

4. Συγκρίνετε αυτές τις τιμές και επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.

Ας εξετάσουμε ένα ακόμη παράδειγμα.

Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης , .

Προηγουμένως, εξετάστηκε το γράφημα αυτής της συνάρτησης (βλ. Εικ. 4).

Ρύζι. 4. Γράφημα συνάρτησης.

Στο διάστημα, το εύρος αυτής της λειτουργίας . Το σημείο είναι το μέγιστο σημείο. Πότε - η συνάρτηση αυξάνεται, όταν - η συνάρτηση μειώνεται. Από το σχέδιο φαίνεται ότι , - δεν υπάρχει.

Έτσι, στο μάθημα εξετάσαμε το πρόβλημα της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης, όταν ένα δεδομένο διάστημα είναι ένα τμήμα. διατύπωσε έναν αλγόριθμο για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων.

1. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2009.

2. Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ), εκδ. A. G. Mordkovich. -Μ.: Μνημοσύνη, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Άλγεβρα και μαθηματική ανάλυση για την τάξη 10 ( φροντιστήριογια μαθητές σχολείων και τάξεων με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών).-Μ .: Εκπαίδευση, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Μια εις βάθος μελέτη της άλγεβρας και της μαθηματικής ανάλυσης.-M .: Εκπαίδευση, 1997.

5. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για υποψήφιους ΤΕΙ (με επιμέλεια Μ.Ι.Σκανάβη).-Μ.: Ανώτερη σχολή, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Αλγεβρικός εκπαιδευτής.-Κ.: Α.Σ.Κ., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra και οι απαρχές της ανάλυσης. 8-11 κελιά: Εγχειρίδιο για σχολεία και τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών (διδακτικό υλικό) - Μ .: Δρόφα, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tasks in Algebra and the Beginnings of Analysis (εγχειρίδιο για μαθητές των τάξεων 10-11 των γενικών εκπαιδευτικών ιδρυμάτων).-M .: Εκπαίδευση, 2003.

9. Karp A.P. Συλλογή προβλημάτων στην άλγεβρα και οι αρχές της ανάλυσης: σχολικό βιβλίο. επίδομα για 10-11 κύτταρα. με ένα βαθύ μελέτη μαθηματικά.-Μ.: Εκπαίδευση, 2006.

10. Glazer G.I. Η ιστορία των μαθηματικών στο σχολείο. Τάξεις 9-10 (οδηγός για δασκάλους).-Μ.: Διαφωτισμός, 1983

Πρόσθετοι πόροι ιστού

2. Πύλη Φυσικές επιστήμες ().

κάντε στο σπίτι

Αρ. 46.16, 46.17 (γ) (Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης, βαθμός 10 (σε δύο μέρη). Βιβλίο εργασιών για γενικά εκπαιδευτικά ιδρύματα (επίπεδο προφίλ) επιμέλεια A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

Στην πράξη, είναι αρκετά συνηθισμένο να χρησιμοποιείται η παράγωγος για τον υπολογισμό της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Εκτελούμε αυτήν την ενέργεια όταν καταλαβαίνουμε πώς να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος, να αυξήσουμε τα κέρδη, να υπολογίσουμε το βέλτιστο φορτίο στην παραγωγή κ.λπ., δηλαδή σε εκείνες τις περιπτώσεις που είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη τιμή μιας παραμέτρου. Για να λύσουμε σωστά τέτοια προβλήματα, πρέπει να κατανοήσουμε καλά ποια είναι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Συνήθως ορίζουμε αυτές τις τιμές μέσα σε κάποιο διάστημα x, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να αντιστοιχεί σε ολόκληρο το εύρος της συνάρτησης ή μέρος αυτής. Μπορεί να είναι είτε τμήμα [a; b ] , και ανοιχτό διάστημα (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , άπειρο διάστημα (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) ή άπειρο διάστημα - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Σε αυτό το άρθρο, θα περιγράψουμε πώς υπολογίζεται η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας ρητά δεδομένης συνάρτησης με μία μεταβλητή y=f(x) y = f (x).

Βασικοί ορισμοί

Ξεκινάμε, όπως πάντα, με τη διατύπωση των κύριων ορισμών.

Ορισμός 1

Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y = f (x) σε κάποιο διάστημα x είναι η τιμή m a x y = f (x 0) x ∈ X , η οποία, για οποιαδήποτε τιμή x x ∈ X , x ≠ x 0, κάνει την ανίσωση f (x ) ≤ f (x 0) .

Ορισμός 2

Η μικρότερη τιμή της συνάρτησης y = f (x) σε κάποιο διάστημα x είναι η τιμή m i n x ∈ X y = f (x 0) , η οποία, για οποιαδήποτε τιμή x ∈ X , x ≠ x 0, κάνει την ανίσωση f(X f (x) ≥ f(x0) .

Αυτοί οι ορισμοί είναι αρκετά προφανείς. Μπορεί να είναι ακόμα πιο απλό να πούμε αυτό: η μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη τιμή της σε ένα γνωστό διάστημα στην τετμημένη x 0, και η μικρότερη είναι η μικρότερη αποδεκτή τιμή στο ίδιο διάστημα στο x 0.

Ορισμός 3

Σταθερά σημεία είναι τέτοιες τιμές του ορίσματος συνάρτησης στις οποίες η παράγωγός της γίνεται 0.

Γιατί πρέπει να γνωρίζουμε ποια είναι τα ακίνητα σημεία; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, πρέπει να θυμηθούμε το θεώρημα του Fermat. Από αυτό προκύπτει ότι ένα ακίνητο σημείο είναι ένα σημείο στο οποίο βρίσκεται το άκρο μιας διαφοροποιήσιμης συνάρτησης (δηλαδή, το τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο). Κατά συνέπεια, η συνάρτηση θα λάβει τη μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή σε ένα συγκεκριμένο διάστημα ακριβώς σε ένα από τα ακίνητα σημεία.

Μια άλλη συνάρτηση μπορεί να λάβει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή σε εκείνα τα σημεία στα οποία η ίδια η συνάρτηση είναι καθορισμένη και η πρώτη της παράγωγος δεν υπάρχει.

Το πρώτο ερώτημα που προκύπτει κατά τη μελέτη αυτού του θέματος είναι: σε όλες τις περιπτώσεις, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα; Όχι, δεν μπορούμε να το κάνουμε αυτό όταν τα όρια του δεδομένου διαστήματος συμπίπτουν με τα όρια του τομέα ορισμού ή εάν έχουμε να κάνουμε με ένα άπειρο διάστημα. Συμβαίνει επίσης μια συνάρτηση σε ένα δεδομένο διάστημα ή στο άπειρο να λάβει απείρως μικρές ή απείρως μεγάλες τιμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν είναι δυνατός ο προσδιορισμός της μεγαλύτερης ή/και της μικρότερης τιμής.

Αυτές οι στιγμές θα γίνουν πιο κατανοητές μετά την εικόνα στα γραφήματα:

Το πρώτο σχήμα μας δείχνει μια συνάρτηση που παίρνει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές (m a x y και m i n y) σε ακίνητα σημεία που βρίσκονται στο διάστημα [ - 6 ; 6].

Ας εξετάσουμε λεπτομερώς την περίπτωση που υποδεικνύεται στο δεύτερο γράφημα. Ας αλλάξουμε την τιμή του τμήματος σε [ 1 ; 6] και παίρνουμε ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης θα επιτευχθεί στο σημείο με την τετμημένη στο δεξί όριο του διαστήματος και η μικρότερη - στο ακίνητο σημείο.

Στο τρίτο σχήμα, οι τετμημένες των σημείων αντιπροσωπεύουν τα οριακά σημεία του τμήματος [ - 3 ; 2]. Αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της δεδομένης συνάρτησης.

Ας δούμε τώρα την τέταρτη εικόνα. Σε αυτήν, η συνάρτηση παίρνει m a x y (η μεγαλύτερη τιμή) και m i n y (η μικρότερη τιμή) σε ακίνητα σημεία στο ανοιχτό διάστημα (- 6 ; 6) .

Αν πάρουμε το διάστημα [ 1 ; 6), τότε μπορούμε να πούμε ότι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε αυτό θα επιτευχθεί σε ένα ακίνητο σημείο. Δεν θα γνωρίζουμε τη μέγιστη τιμή. Η συνάρτηση θα μπορούσε να πάρει τη μεγαλύτερη τιμή στο x ίση με 6 αν x = 6 ανήκε στο διάστημα. Αυτή είναι η περίπτωση που φαίνεται στο Σχήμα 5.

Στο γράφημα 6, αυτή η συνάρτηση αποκτά τη μικρότερη τιμή στο δεξιό όριο του διαστήματος (- 3 ; 2 ] , και δεν μπορούμε να βγάλουμε ασφαλή συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.

Στο σχήμα 7, βλέπουμε ότι η συνάρτηση θα έχει m a x y στο ακίνητο σημείο, έχοντας μια τετμημένη ίση με 1 . Η συνάρτηση φτάνει την ελάχιστη τιμή της στο όριο του διαστήματος με σωστη πλευρα. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης θα πλησιάζουν ασυμπτωτικά το y = 3.

Αν πάρουμε ένα διάστημα x ∈ 2 ; + ∞ , τότε θα δούμε ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν θα πάρει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή. Αν το x τείνει στο 2, τότε οι τιμές της συνάρτησης θα τείνουν στο μείον το άπειρο, αφού η ευθεία x = 2 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη. Εάν η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, τότε οι τιμές της συνάρτησης θα προσεγγίσουν ασυμπτωτικά το y = 3. Αυτή είναι η περίπτωση που φαίνεται στο Σχήμα 8.

Σε αυτήν την παράγραφο, θα δώσουμε μια ακολουθία ενεργειών που πρέπει να εκτελεστούν για να βρεθεί η μεγαλύτερη ή η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα.

  1. Αρχικά, ας βρούμε τον τομέα της συνάρτησης. Ας ελέγξουμε αν το τμήμα που καθορίζεται στη συνθήκη περιλαμβάνεται σε αυτό.
  2. Τώρα ας υπολογίσουμε τα σημεία που περιέχονται σε αυτό το τμήμα στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος. Τις περισσότερες φορές, μπορούν να βρεθούν σε συναρτήσεις των οποίων το όρισμα είναι γραμμένο κάτω από το σύμβολο του συντελεστή ή σε συναρτήσεις ισχύος, ο εκθέτης των οποίων είναι ένας κλασματικά ρητός αριθμός.
  3. Στη συνέχεια, ανακαλύπτουμε ποια ακίνητα σημεία εμπίπτουν σε ένα δεδομένο τμήμα. Για να γίνει αυτό, πρέπει να υπολογίσετε την παράγωγο της συνάρτησης, στη συνέχεια να την εξισώσετε με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει και στη συνέχεια να επιλέξετε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν λάβουμε ένα μόνο ακίνητο σημείο ή δεν εμπίπτουν σε ένα δεδομένο τμήμα, τότε προχωράμε στο επόμενο βήμα.
  4. Ας προσδιορίσουμε ποιες τιμές θα πάρει η συνάρτηση στα δεδομένα ακίνητα σημεία (αν υπάρχουν), ή σε εκείνα τα σημεία όπου δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), ή υπολογίζουμε τις τιμές για x = a και x = β .
  5. 5. Έχουμε μια σειρά από τιμές συνάρτησης, από τις οποίες τώρα πρέπει να επιλέξουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη. Αυτή θα είναι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης που πρέπει να βρούμε.

Ας δούμε πώς να εφαρμόσουμε σωστά αυτόν τον αλγόριθμο κατά την επίλυση προβλημάτων.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:δίνεται η συνάρτηση y = x 3 + 4 x 2. Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή του στα τμήματα [1; 4 ] και [ - 4 ; - ένας ] .

Λύση:

Ας ξεκινήσουμε βρίσκοντας τον τομέα αυτής της συνάρτησης. Σε αυτήν την περίπτωση, θα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών εκτός από το 0 . Με άλλα λόγια, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Και τα δύο τμήματα που καθορίζονται στη συνθήκη θα βρίσκονται εντός της περιοχής ορισμού.

Τώρα υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης σύμφωνα με τον κανόνα διαφοροποίησης ενός κλάσματος:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Μάθαμε ότι η παράγωγος της συνάρτησης θα υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων [1; 4 ] και [ - 4 ; - ένας ] .

Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε τα ακίνητα σημεία της συνάρτησης. Ας το κάνουμε αυτό με την εξίσωση x 3 - 8 x 3 = 0. Έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, η οποία είναι 2. Θα είναι ένα ακίνητο σημείο της συνάρτησης και θα εμπίπτει στο πρώτο τμήμα [1; τέσσερα ] .

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του πρώτου τμήματος και στο δεδομένο σημείο, δηλ. για x = 1, x = 2 και x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Λάβαμε ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 θα επιτευχθεί στο x = 1 , και το μικρότερο m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – σε x = 2 .

Το δεύτερο τμήμα δεν περιλαμβάνει σταθερά σημεία, επομένως πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές συνάρτησης μόνο στα άκρα του δεδομένου τμήματος:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Επομένως, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Απάντηση:Για το τμήμα [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , για το τμήμα [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Δείτε εικόνα:


Πριν από τη μελέτη με αυτόν τον τρόπο, σας συμβουλεύουμε να επαναλάβετε πώς να υπολογίσετε σωστά το μονόπλευρο όριο και το όριο στο άπειρο, καθώς και να μάθετε τις βασικές μεθόδους εύρεσης τους. Για να βρούμε τη μεγαλύτερη ή/και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα ανοιχτό ή άπειρο διάστημα, εκτελούμε τα ακόλουθα βήματα με τη σειρά.

  1. Πρώτα πρέπει να ελέγξετε αν το δεδομένο διάστημα θα είναι υποσύνολο του τομέα της δεδομένης συνάρτησης.
  2. Ας προσδιορίσουμε όλα τα σημεία που περιέχονται στο απαιτούμενο διάστημα και στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος. Συνήθως εμφανίζονται σε συναρτήσεις όπου το όρισμα περικλείεται στο πρόσημο της μονάδας και σε συναρτήσεις ισχύος με κλασματικά ορθολογικό εκθέτη. Εάν λείπουν αυτά τα σημεία, τότε μπορείτε να προχωρήσετε στο επόμενο βήμα.
  3. Τώρα καθορίζουμε ποια ακίνητα σημεία εμπίπτουν σε ένα δεδομένο διάστημα. Αρχικά, εξισώνουμε την παράγωγο με 0, λύνουμε την εξίσωση και βρίσκουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν έχουμε ούτε ένα ακίνητο σημείο ή δεν εμπίπτουν στο καθορισμένο διάστημα, τότε προχωράμε αμέσως σε περαιτέρω ενέργειες. Καθορίζονται από τον τύπο του διαστήματος.
  • Αν το διάστημα μοιάζει με [ a ; β) , τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = a και το μονόπλευρο όριο lim x → b - 0 f (x) .
  • Αν το διάστημα έχει τη μορφή (a ; b ] , τότε πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = b και το μονόπλευρο όριο lim x → a + 0 f (x) .
  • Εάν το διάστημα έχει τη μορφή (a ; b) , τότε πρέπει να υπολογίσουμε τα μονόπλευρα όρια lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
  • Αν το διάστημα μοιάζει με [ a ; + ∞) , τότε είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η τιμή στο σημείο x = a και το όριο στο συν άπειρο lim x → + ∞ f (x) .
  • Αν το διάστημα μοιάζει με (- ∞ ; b ] , υπολογίζουμε την τιμή στο σημείο x = b και το όριο στο μείον άπειρο lim x → - ∞ f (x) .
  • Αν - ∞ ; b , τότε θεωρούμε το μονόπλευρο όριο lim x → b - 0 f (x) και το όριο στο μείον άπειρο lim x → - ∞ f (x)
  • Αν - ∞ ; + ∞ , τότε θεωρούμε τα όρια στο μείον και συν άπειρο lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
  1. Στο τέλος, πρέπει να βγάλετε ένα συμπέρασμα με βάση τις ληφθείσες τιμές της συνάρτησης και των ορίων. Υπάρχουν πολλές επιλογές εδώ. Έτσι, εάν το μονόπλευρο όριο είναι ίσο με μείον άπειρο ή συν άπειρο, τότε είναι αμέσως σαφές ότι τίποτα δεν μπορεί να ειπωθεί για τη μικρότερη και μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Παρακάτω θα συζητήσουμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα. Αναλυτικές περιγραφέςνα σε βοηθήσει να καταλάβεις τι είναι τι. Εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να επιστρέψετε στα σχήματα 4 - 8 στο πρώτο μέρος του υλικού.
Παράδειγμα 2

Συνθήκη: δίνεται συνάρτηση y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Υπολογίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή του στα διαστήματα - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [4; +∞) .

Λύση

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε τον τομέα της συνάρτησης. Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι ένα τετράγωνο τριώνυμο, το οποίο δεν πρέπει να πάει στο 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Λάβαμε το εύρος της συνάρτησης, στην οποία ανήκουν όλα τα διαστήματα που καθορίζονται στη συνθήκη.

Τώρα ας διαφοροποιήσουμε τη συνάρτηση και πάρουμε:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Κατά συνέπεια, παράγωγα μιας συνάρτησης υπάρχουν σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση σταθερών σημείων. Η παράγωγος της συνάρτησης γίνεται 0 στο x = - 1 2 . Αυτό είναι ένα ακίνητο σημείο που βρίσκεται στα διαστήματα (- 3 ; 1 ] και (- 3 ; 2) .

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης στο x = - 4 για το διάστημα (- ∞ ; - 4 ] , καθώς και το όριο στο μείον το άπειρο:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Αφού 3 e 1 6 - 4 > - 1 , τότε m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Αυτό δεν μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε μοναδικά τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Μπορούμε μόνο να συμπεράνουμε ότι υπάρχει ένα όριο κάτω από - 1, αφού σε αυτήν την τιμή η συνάρτηση προσεγγίζει ασυμπτωτικά στο μείον άπειρο.

Ένα χαρακτηριστικό του δεύτερου διαστήματος είναι ότι δεν έχει ένα μόνο ακίνητο σημείο και ούτε ένα αυστηρό όριο. Επομένως, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Ορίζοντας το όριο στο μείον άπειρο και καθώς το όρισμα τείνει στο - 3 στην αριστερή πλευρά, παίρνουμε μόνο το εύρος τιμών:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της συνάρτησης θα βρίσκονται στο διάστημα - 1 . +∞

Για να βρούμε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης στο τρίτο διάστημα, προσδιορίζουμε την τιμή της στο ακίνητο σημείο x = - 1 2 αν x = 1 . Πρέπει επίσης να γνωρίζουμε το μονόπλευρο όριο για την περίπτωση που το όρισμα τείνει σε - 3 στη δεξιά πλευρά:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Αποδείχθηκε ότι η συνάρτηση θα λάβει τη μεγαλύτερη τιμή σε ένα ακίνητο σημείο m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Όσο για τη μικρότερη τιμή, δεν μπορούμε να την προσδιορίσουμε. γνωρίζω, είναι η παρουσία ενός κατώτερου ορίου στο -4.

Για το διάστημα (- 3 ; 2), ας πάρουμε τα αποτελέσματα του προηγούμενου υπολογισμού και ας υπολογίσουμε για άλλη μια φορά πόσο ισούται με το μονόπλευρο όριο όταν τείνει προς το 2 από την αριστερή πλευρά:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Επομένως, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , και η μικρότερη τιμή δεν μπορεί να προσδιοριστεί και οι τιμές της συνάρτησης οριοθετούνται από κάτω από τον αριθμό - 4 .

Με βάση αυτό που κάναμε στους δύο προηγούμενους υπολογισμούς, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι στο διάστημα [ 1 ; 2) η συνάρτηση θα λάβει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = 1 και είναι αδύνατο να βρεθεί η μικρότερη.

Στο διάστημα (2 ; + ∞), η συνάρτηση δεν θα φτάσει ούτε τη μεγαλύτερη ούτε τη μικρότερη τιμή, δηλ. θα πάρει τιμές από το διάστημα - 1 . +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Έχοντας υπολογίσει ποια θα είναι η τιμή της συνάρτησης στο x = 4 , διαπιστώνουμε ότι m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , και η δεδομένη συνάρτηση στο συν άπειρο θα προσεγγίσει ασυμπτωτικά την ευθεία y = - 1 .

Ας συγκρίνουμε τι πήραμε σε κάθε υπολογισμό με το γράφημα της δεδομένης συνάρτησης. Στο σχήμα, οι ασύμπτωτες φαίνονται με διακεκομμένες γραμμές.

Αυτό είναι το μόνο που θέλαμε να μιλήσουμε για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Αυτές οι ακολουθίες ενεργειών που έχουμε δώσει θα σας βοηθήσουν να κάνετε τους απαραίτητους υπολογισμούς όσο το δυνατόν πιο γρήγορα και απλά. Αλλά να θυμάστε ότι είναι συχνά χρήσιμο να μάθετε πρώτα σε ποια διαστήματα η συνάρτηση θα μειωθεί και σε ποια θα αυξηθεί, μετά από τα οποία μπορούν να εξαχθούν περαιτέρω συμπεράσματα. Έτσι, μπορείτε να προσδιορίσετε με μεγαλύτερη ακρίβεια τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης και να αιτιολογήσετε τα αποτελέσματα.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μερικές φορές στα προβλήματα Β14 υπάρχουν «κακές» συναρτήσεις για τις οποίες είναι δύσκολο να βρεθεί η παράγωγος. Προηγουμένως, αυτό ήταν μόνο σε ανιχνευτές, αλλά τώρα αυτές οι εργασίες είναι τόσο συνηθισμένες που δεν μπορούν πλέον να αγνοηθούν κατά την προετοιμασία για αυτήν την εξέταση. Σε αυτή την περίπτωση λειτουργούν άλλα κόλπα, ένα από τα οποία είναι η μονοτονία. Ορισμός Η συνάρτηση f (x) ονομάζεται μονότονα αύξουσα στο τμήμα εάν για οποιαδήποτε σημεία x 1 και x 2 αυτού του τμήματος ισχύει το εξής: x 1


Ορισμός. Η συνάρτηση f (x) λέγεται μονοτονικά φθίνουσα στο τμήμα εάν για οποιαδήποτε σημεία x 1 και x 2 αυτού του τμήματος ισχύει: x 1 f (x 2). Με άλλα λόγια, για μια αύξουσα συνάρτηση, όσο μεγαλύτερη είναι η x, τόσο μεγαλύτερη είναι η f(x). Για μια φθίνουσα συνάρτηση ισχύει το αντίθετο: όσο μεγαλύτερο x, τόσο μικρότερο f(x).


Παραδείγματα. Ο λογάριθμος αυξάνεται μονότονα αν η βάση a > 1 και μειώνεται μονότονα αν 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, και μειώνεται μονοτονικά αν 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1, και μειώνεται μονότονα εάν 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, και μειώνεται μονότονα εάν 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Παραδείγματα Ο λογάριθμος είναι μονοτονικά αυξανόμενη αν η βάση a > 1 και μονότονα φθίνουσα αν 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Παραδείγματα. Ο λογάριθμος αυξάνεται μονότονα αν η βάση a > 1 και μειώνεται μονότονα αν 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}




Παραδείγματα. Η εκθετική συνάρτηση συμπεριφέρεται παρόμοια με τον λογάριθμο: αυξάνεται για > 1 και μειώνεται για 0 ​​0: 1 και μειώνεται στο 0 0:"> 1 και μειώνεται στο 0 0:"> 1 και μειώνεται στο 0 0:" title="(!LANG:Παραδείγματα. Η εκθετική συνάρτηση συμπεριφέρεται σαν λογάριθμος: αυξάνεται για > 1 και μειώνεται για 0 ​​0:"> title="Παραδείγματα. Η εκθετική συνάρτηση συμπεριφέρεται παρόμοια με τον λογάριθμο: αυξάνεται για > 1 και μειώνεται για 0 ​​0:"> !}






0) ή κάτω (a 0) ή κάτω (a 9Συντεταγμένες κορυφής παραβολής Τις περισσότερες φορές, το όρισμα συνάρτησης αντικαθίσταται από ένα τετράγωνο τριώνυμο της μορφής. the greatest (a 0) or down (a 0) or down (a 0) or greatest (a 0) or down (a 0) or down (a title="(!LANG: Parabola vertex συντεταγμένες Τις περισσότερες φορές, το όρισμα συνάρτησης αντικαθίσταται από ένα τετράγωνο τριώνυμο της μορφής Η γραφική του παράσταση είναι μια τυπική παραβολή, στην οποία μας ενδιαφέρουν οι κλάδοι: Οι κλάδοι μιας παραβολής μπορούν να ανεβαίνουν (για ένα > 0) ή προς τα κάτω (α






Δεν υπάρχει τμήμα στην κατάσταση του προβλήματος. Επομένως, δεν χρειάζεται να υπολογιστούν τα f(a) και f(b). Απομένει να εξετάσουμε μόνο τα ακραία σημεία. Αλλά υπάρχει μόνο ένα τέτοιο σημείο - αυτή είναι η κορυφή της παραβολής x 0, οι συντεταγμένες της οποίας υπολογίζονται κυριολεκτικά προφορικά και χωρίς παράγωγα.


Έτσι, η λύση του προβλήματος απλοποιείται πολύ και μειώνεται σε δύο μόνο βήματα: Γράψτε την εξίσωση της παραβολής και βρείτε την κορυφή της χρησιμοποιώντας τον τύπο: Βρείτε την τιμή της αρχικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο: f (x 0). Εάν δεν υπάρχουν πρόσθετες προϋποθέσεις, αυτή θα είναι η απάντηση.




0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση: Κάτω από τη ρίζα είναι μια παραβολή τετραγωνικής συνάρτησης διακλαδίζεται, αφού ο συντελεστής a \u003d 1\u003e 0. Πάνω μέρος της παραβολής: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !}Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση: Υπάρχει μια τετραγωνική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής a \u003d 1\u003e 0. Πάνω μέρος της παραβολής: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση: Κάτω από τη ρίζα είναι μια τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής a \u003d 1\u003e 0. Η κορυφή της παραβολής: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση: Υπάρχει μια τετραγωνική συνάρτηση κάτω από τη ρίζα Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής a \u003d 1\u003e 0. Πάνω μέρος της παραβολής: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}




Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση Κάτω από τον λογάριθμο είναι πάλι μια τετραγωνική συνάρτηση. a = 1 > 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση Κάτω από τον λογάριθμο είναι πάλι μια τετραγωνική συνάρτηση.Γράφημα της παραβολής με διακλαδώσεις προς τα πάνω, επειδή a \u003d 1\u003e 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης: Λύση Κάτω από τον λογάριθμο είναι πάλι μια τετραγωνική συνάρτηση. a = 1 > 0. Κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}


Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης: Λύση: Ο εκθέτης περιέχει μια τετραγωνική συνάρτηση



Συνέπειες από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Μερικές φορές, για την επίλυση του προβλήματος Β14, δεν αρκεί μόνο η εύρεση της κορυφής της παραβολής. Η επιθυμητή τιμή μπορεί να βρίσκεται στο τέλος του τμήματος και όχι καθόλου στο ακραίο σημείο. Εάν ένα τμήμα δεν προσδιορίζεται καθόλου στο πρόβλημα, εξετάζουμε την περιοχή των αποδεκτών τιμών της αρχικής συνάρτησης. Και συγκεκριμένα:


0 2. Αριθμητική Τετραγωνική ρίζαυπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι μηδέν:" title="(!LANG:1. Το όρισμα του λογάριθμου πρέπει να είναι θετικό: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι θετικό: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν: 0 2. Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να ισούται με μηδέν: "> 0 2. Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του το κλάσμα δεν πρέπει να ισούται με μηδέν:"> 0 2. Αριθμητική η τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι μηδέν:" title="(!LANG:1. Το όρισμα του λογάριθμου πρέπει να είναι θετικό: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Αριθμητικό τετράγωνο η ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν:"> title="1. Το όρισμα του λογαρίθμου πρέπει να είναι θετικό: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από μη αρνητικούς αριθμούς: 3. Ο παρονομαστής του κλάσματος δεν πρέπει να είναι ίσος με μηδέν:"> !}


Λύση Η τετραγωνική ρίζα είναι πάλι μια τετραγωνική συνάρτηση. Η γραφική της παράσταση είναι παραβολή, αλλά οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω, αφού a = 1 Βρείτε τώρα την κορυφή της παραβολής: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 (1)) = 2/(2) = 1 Σημείο x 0 = 1 ανήκει στο τμήμα ODZ και αυτό είναι καλό. Τώρα θεωρούμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x 0, καθώς και στα άκρα του ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Έτσι, πήραμε τους αριθμούς 2 και 0. Μας ζητείται να βρείτε τον μεγαλύτερο αριθμό 2. Απάντηση: 2




Σημειώστε: η ανισότητα είναι αυστηρή, επομένως τα άκρα δεν ανήκουν στο ODZ. Με αυτόν τον τρόπο, ο λογάριθμος διαφέρει από τη ρίζα, όπου τα άκρα του τμήματος μας ταιριάζουν αρκετά. Αναζητούμε την κορυφή της παραβολής: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Επειδή όμως τα άκρα του τμήματος δεν μας ενδιαφέρουν, θεωρούμε την τιμή της συνάρτησης μόνο στο σημείο x 0:


Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Απάντηση: -2


Από πρακτικής άποψης, το πιο ενδιαφέρον είναι η χρήση της παραγώγου για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης. Με τι συνδέεται; Μεγιστοποίηση κερδών, ελαχιστοποίηση κόστους, προσδιορισμός του βέλτιστου φορτίου εξοπλισμού... Με άλλα λόγια, σε πολλούς τομείς της ζωής, πρέπει κανείς να λύσει το πρόβλημα της βελτιστοποίησης κάποιων παραμέτρων. Και αυτό είναι το πρόβλημα της εύρεσης των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών της συνάρτησης.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης αναζητείται συνήθως σε κάποιο διάστημα X , που είναι είτε ολόκληρο το πεδίο της συνάρτησης είτε μέρος του τομέα. Το ίδιο το διάστημα X μπορεί να είναι ένα τμήμα γραμμής, ένα ανοιχτό διάστημα , ένα άπειρο διάστημα .

Σε αυτό το άρθρο, θα μιλήσουμε για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας ρητά δεδομένης συνάρτησης μιας μεταβλητής y=f(x) .

Πλοήγηση στη σελίδα.

Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης - ορισμοί, απεικονίσεις.

Ας σταθούμε εν συντομία στους κύριους ορισμούς.

Η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης , που για οποιαδήποτε η ανισότητα είναι αλήθεια.

Η μικρότερη τιμή της συνάρτησηςΤο y=f(x) στο διάστημα X ονομάζεται τέτοια τιμή , που για οποιαδήποτε η ανισότητα είναι αλήθεια.

Αυτοί οι ορισμοί είναι διαισθητικοί: η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης είναι η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή που γίνεται αποδεκτή στο υπό εξέταση διάστημα με την τετμημένη.

Σταθερά σημείαείναι οι τιμές του ορίσματος στο οποίο εξαφανίζεται η παράγωγος της συνάρτησης.

Γιατί χρειαζόμαστε ακίνητα σημεία όταν βρίσκουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από το θεώρημα του Fermat. Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι εάν μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση έχει ένα άκρο (τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο) σε κάποιο σημείο, τότε αυτό το σημείο είναι ακίνητο. Έτσι, η συνάρτηση παίρνει συχνά τη μέγιστη (μικρότερη) τιμή της στο διάστημα X σε ένα από τα ακίνητα σημεία από αυτό το διάστημα.

Επίσης, μια συνάρτηση μπορεί συχνά να λάβει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές σε σημεία όπου η πρώτη παράγωγος αυτής της συνάρτησης δεν υπάρχει και η ίδια η συνάρτηση ορίζεται.

Ας απαντήσουμε αμέσως σε μια από τις πιο συνηθισμένες ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα: «Είναι πάντα δυνατό να προσδιοριστεί η μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή μιας συνάρτησης»; Όχι πάντα. Μερικές φορές τα όρια του διαστήματος X συμπίπτουν με τα όρια του τομέα της συνάρτησης ή το διάστημα X είναι άπειρο. Και ορισμένες συναρτήσεις στο άπειρο και στα όρια του πεδίου ορισμού μπορούν να λάβουν και απείρως μεγάλες και απείρως μικρές τιμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις, δεν μπορεί να ειπωθεί τίποτα για τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Για λόγους σαφήνειας, δίνουμε μια γραφική απεικόνιση. Δείτε τις φωτογραφίες - και πολλά θα γίνουν ξεκάθαρα.

Στο τμήμα


Στο πρώτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y ) και τις μικρότερες (min y ) τιμές σε σταθερά σημεία μέσα στο τμήμα [-6;6] .

Εξετάστε την περίπτωση που φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. Αλλάξτε το τμήμα σε . Σε αυτό το παράδειγμα, η μικρότερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται σε ένα ακίνητο σημείο και η μεγαλύτερη - σε ένα σημείο με τετμημένη που αντιστοιχεί στο δεξιό όριο του διαστήματος.

Στο σχήμα Νο. 3, τα οριακά σημεία του τμήματος [-3, 2] είναι οι τετμημένες των σημείων που αντιστοιχούν στη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης.

Στην ανοιχτή γκάμα


Στο τέταρτο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τις μεγαλύτερες (max y) και τις μικρότερες (min y) τιμές σε σταθερά σημεία εντός του ανοιχτού διαστήματος (-6;6).

Στο μεσοδιάστημα, δεν μπορούν να εξαχθούν συμπεράσματα για τη μεγαλύτερη τιμή.

Στο άπειρο


Στο παράδειγμα που φαίνεται στο έβδομο σχήμα, η συνάρτηση παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή (max y ) σε ένα ακίνητο σημείο με x=1 τετμημένη, και η μικρότερη τιμή (min y ) επιτυγχάνεται στο δεξιό όριο του διαστήματος. Στο μείον άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3 .

Στο διάστημα, η συνάρτηση δεν φτάνει ούτε τη μικρότερη ούτε τη μεγαλύτερη τιμή. Καθώς το x=2 τείνει προς τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο μείον το άπειρο (η ευθεία γραμμή x=2 είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη), και καθώς η τετμημένη τείνει στο συν άπειρο, οι τιμές της συνάρτησης προσεγγίζουν ασυμπτωτικά το y=3 . Μια γραφική απεικόνιση αυτού του παραδείγματος φαίνεται στο Σχήμα 8.

Αλγόριθμος για την εύρεση των μεγαλύτερων και των μικρότερων τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης στο τμήμα.

Γράφουμε έναν αλγόριθμο που μας επιτρέπει να βρούμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.

  1. Βρίσκουμε τον τομέα της συνάρτησης και ελέγχουμε αν περιέχει ολόκληρο το τμήμα .
  2. Βρίσκουμε όλα τα σημεία στα οποία δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος και τα οποία περιέχονται στο τμήμα (συνήθως τέτοια σημεία εμφανίζονται σε συναρτήσεις με όρισμα κάτω από το πρόσημο της μονάδας και σε συναρτήσεις ισχύος με κλασματικό-ορθολογικό εκθέτη). Εάν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε μεταβείτε στο επόμενο σημείο.
  3. Καθορίζουμε όλα τα ακίνητα σημεία που εμπίπτουν στο τμήμα. Για να γίνει αυτό, το εξισώνουμε με το μηδέν, λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει και επιλέγουμε τις κατάλληλες ρίζες. Εάν δεν υπάρχουν σταθερά σημεία ή κανένα από αυτά δεν εμπίπτει στο τμήμα, τότε προχωρήστε στο επόμενο βήμα.
  4. Υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα επιλεγμένα σταθερά σημεία (εάν υπάρχουν), σε σημεία όπου δεν υπάρχει η πρώτη παράγωγος (αν υπάρχει), καθώς και στα x=a και x=b .
  5. Από τις λαμβανόμενες τιμές της συνάρτησης, επιλέγουμε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη - θα είναι οι επιθυμητές μέγιστες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης, αντίστοιχα.

Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο κατά την επίλυση ενός παραδείγματος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης

  • στο τμήμα?
  • στο διάστημα [-4;-1] .

Λύση.

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών, εκτός από το μηδέν, δηλαδή . Και τα δύο τμήματα εμπίπτουν στο πεδίο ορισμού.

Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης ως προς:

Προφανώς, η παράγωγος της συνάρτησης υπάρχει σε όλα τα σημεία των τμημάτων και [-4;-1] .

Τα ακίνητα σημεία προσδιορίζονται από την εξίσωση. Η μόνη πραγματική ρίζα είναι x=2 . Αυτό το ακίνητο σημείο εμπίπτει στο πρώτο τμήμα.

Για την πρώτη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος και σε ένα ακίνητο σημείο, δηλαδή για x=1 , x=2 και x=4 :

Επομένως, η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης επιτυγχάνεται στο x=1 , και η μικρότερη τιμή – σε x=2 .

Για τη δεύτερη περίπτωση, υπολογίζουμε τις τιμές της συνάρτησης μόνο στα άκρα του τμήματος [-4;-1] (καθώς δεν περιέχει ούτε ένα ακίνητο σημείο):

Μερικές φορές στα προβλήματα Β15 υπάρχουν «κακές» συναρτήσεις για τις οποίες είναι δύσκολο να βρεθεί η παράγωγος. Προηγουμένως, αυτό ήταν μόνο σε ανιχνευτές, αλλά τώρα αυτές οι εργασίες είναι τόσο συνηθισμένες που δεν μπορούν πλέον να αγνοηθούν κατά την προετοιμασία για αυτήν την εξέταση.

Σε αυτή την περίπτωση, λειτουργούν άλλα κόλπα, ένα από τα οποία είναι - μονότονη ομιλία.

Η συνάρτηση f (x) ονομάζεται μονότονα αύξουσα στο τμήμα εάν για οποιαδήποτε σημεία x 1 και x 2 αυτού του τμήματος ισχύει το εξής:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Η συνάρτηση f (x) ονομάζεται μονότονα φθίνουσα στο τμήμα εάν για οποιαδήποτε σημεία x 1 και x 2 αυτού του τμήματος ισχύει το εξής:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Με άλλα λόγια, για μια αύξουσα συνάρτηση, όσο μεγαλύτερο είναι το x, τόσο μεγαλύτερο είναι το f(x). Για μια φθίνουσα συνάρτηση, ισχύει το αντίθετο: όσο περισσότερο x , το πιο λιγο f(x).

Για παράδειγμα, ο λογάριθμος αυξάνεται μονότονα αν η βάση a > 1 και μειώνεται μονότονα εάν 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Η αριθμητική τετραγωνική (και όχι μόνο τετραγωνική) ρίζα αυξάνεται μονότονα σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού:

Η εκθετική συνάρτηση συμπεριφέρεται παρόμοια με τον λογάριθμο: αυξάνεται για > 1 και μειώνεται για 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

Τέλος, μοίρες με αρνητικό εκθέτη. Μπορείτε να τα γράψετε ως κλάσμα. Έχουν ένα σημείο διακοπής όπου σπάει η μονοτονία.

Όλες αυτές οι λειτουργίες δεν βρίσκονται ποτέ στην καθαρή τους μορφή. Σε αυτά προστίθενται πολυώνυμα, κλάσματα και άλλες ανοησίες, εξαιτίας των οποίων γίνεται δύσκολος ο υπολογισμός της παραγώγου. Τι συμβαίνει σε αυτή την περίπτωση - τώρα θα αναλύσουμε.

Συντεταγμένες κορυφής παραβολής

Τις περισσότερες φορές, το όρισμα συνάρτησης αντικαθίσταται με τετράγωνο τριώνυμοτης μορφής y = ax 2 + bx + c . Η γραφική της παράσταση είναι μια τυπική παραβολή, στην οποία μας ενδιαφέρει:

  1. Κλαδιά παραβολής - μπορούν να ανέβουν (για > 0) ή προς τα κάτω (α< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
  2. Η κορυφή της παραβολής είναι το ακραίο σημείο μιας τετραγωνικής συνάρτησης, στο οποίο αυτή η συνάρτηση παίρνει το μικρότερο (για > 0) ή το μεγαλύτερο (α< 0) значение.

Το μεγαλύτερο ενδιαφέρον είναι κορυφή μιας παραβολής, η τετμημένη της οποίας υπολογίζεται με τον τύπο:

Έτσι, βρήκαμε το ακραίο σημείο της τετραγωνικής συνάρτησης. Αλλά αν η αρχική συνάρτηση είναι μονότονη, για αυτήν το σημείο x 0 θα είναι επίσης ένα ακραίο σημείο. Έτσι, διατυπώνουμε τον βασικό κανόνα:

Τα ακραία σημεία του τετραγωνικού τριωνύμου και η μιγαδική συνάρτηση στην οποία εισέρχεται συμπίπτουν. Επομένως, μπορείτε να αναζητήσετε x 0 για ένα τετράγωνο τριώνυμο και να ξεχάσετε τη συνάρτηση.

Από το παραπάνω σκεπτικό, παραμένει ασαφές τι είδους σημείο παίρνουμε: ένα μέγιστο ή ένα ελάχιστο. Ωστόσο, οι εργασίες είναι ειδικά σχεδιασμένες έτσι ώστε να μην έχει σημασία. Κρίνετε μόνοι σας:

  1. Δεν υπάρχει τμήμα στην κατάσταση του προβλήματος. Επομένως, δεν απαιτείται ο υπολογισμός των f(a) και f(b). Απομένει να εξετάσουμε μόνο τα ακραία σημεία.
  2. Αλλά υπάρχει μόνο ένα τέτοιο σημείο - αυτή είναι η κορυφή της παραβολής x 0, οι συντεταγμένες της οποίας υπολογίζονται κυριολεκτικά προφορικά και χωρίς παράγωγα.

Έτσι, η λύση του προβλήματος απλοποιείται σημαντικά και περιορίζεται σε δύο μόνο βήματα:

  1. Γράψτε την εξίσωση της παραβολής y = ax 2 + bx + c και βρείτε την κορυφή της χρησιμοποιώντας τον τύπο: x 0 = −b /2a;
  2. Βρείτε την τιμή της αρχικής συνάρτησης σε αυτό το σημείο: f (x 0). Εάν δεν υπάρχουν πρόσθετες προϋποθέσεις, αυτή θα είναι η απάντηση.

Με την πρώτη ματιά, αυτός ο αλγόριθμος και η αιτιολόγησή του μπορεί να φαίνονται περίπλοκοι. Δεν δημοσιεύω σκόπιμα ένα "γυμνό" σχέδιο λύσης, καθώς η αλόγιστη εφαρμογή τέτοιων κανόνων είναι γεμάτη λάθη.

Εξετάστε τις πραγματικές εργασίες από τη δοκιμαστική εξέταση στα μαθηματικά - εδώ είναι η πιο κοινή αυτή η τεχνική. Παράλληλα, θα φροντίσουμε έτσι πολλά προβλήματα του Β15 να γίνουν σχεδόν λεκτικά.

Κάτω από τη ρίζα είναι μια τετραγωνική συνάρτηση y \u003d x 2 + 6x + 13. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής a \u003d 1\u003e 0.

Κορυφή της παραβολής:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Δεδομένου ότι οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω, στο σημείο x 0 \u003d −3, η συνάρτηση y \u003d x 2 + 6x + 13 παίρνει τη μικρότερη τιμή.

Η ρίζα αυξάνεται μονότονα, επομένως το x 0 είναι το ελάχιστο σημείο ολόκληρης της συνάρτησης. Εχουμε:

Μια εργασία. Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Κάτω από τον λογάριθμο υπάρχει και πάλι μια τετραγωνική συνάρτηση: y \u003d x 2 + 2x + 9. Η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα πάνω, επειδή a = 1 > 0.

Κορυφή της παραβολής:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Άρα, στο σημείο x 0 = −1, η τετραγωνική συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή. Αλλά η συνάρτηση y = log 2 x είναι μονότονη, άρα:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Ο εκθέτης είναι μια τετραγωνική συνάρτηση y = 1 − 4x − x 2 . Ας το ξαναγράψουμε σε κανονική μορφή: y = −x 2 − 4x + 1.

Προφανώς, η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή, διακλαδίζεται προς τα κάτω (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Η αρχική συνάρτηση είναι εκθετική, είναι μονότονη, επομένως η μεγαλύτερη τιμή θα είναι στο σημείο που βρέθηκε x 0 = −2:

Ένας προσεκτικός αναγνώστης σίγουρα θα παρατηρήσει ότι δεν γράψαμε την περιοχή των επιτρεπόμενων τιμών της ρίζας και του λογάριθμου. Αλλά αυτό δεν ήταν απαραίτητο: μέσα υπάρχουν συναρτήσεις των οποίων οι τιμές είναι πάντα θετικές.

Συνέπειες από το εύρος μιας συνάρτησης

Μερικές φορές, για την επίλυση του προβλήματος Β15, δεν αρκεί μόνο η εύρεση της κορυφής της παραβολής. Η επιθυμητή τιμή μπορεί να βρίσκεται στο τέλος του τμήματος, αλλά όχι στο ακραίο σημείο. Εάν η εργασία δεν προσδιορίζει καθόλου ένα τμήμα, κοιτάξτε εύρος ανοχήςαρχική λειτουργία. Και συγκεκριμένα:

Προσέξτε ξανά: το μηδέν μπορεί κάλλιστα να βρίσκεται κάτω από τη ρίζα, αλλά ποτέ στον λογάριθμο ή στον παρονομαστή ενός κλάσματος. Ας δούμε πώς λειτουργεί με συγκεκριμένα παραδείγματα:

Μια εργασία. Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης:

Κάτω από τη ρίζα υπάρχει και πάλι μια τετραγωνική συνάρτηση: y \u003d 3 - 2x - x 2. Η γραφική παράσταση του είναι παραβολή, αλλά διακλαδίζεται προς τα κάτω αφού a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Καταγράφουμε την περιοχή των επιτρεπόμενων τιμών (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; ένας]

Βρείτε τώρα την κορυφή της παραβολής:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Το σημείο x 0 = −1 ανήκει στο τμήμα ODZ - και αυτό είναι καλό. Τώρα θεωρούμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x 0, καθώς και στα άκρα του ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Έτσι, πήραμε τους αριθμούς 2 και 0. Μας ζητείται να βρούμε τον μεγαλύτερο - αυτός είναι ο αριθμός 2.

Μια εργασία. Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

Μέσα στον λογάριθμο υπάρχει μια τετραγωνική συνάρτηση y \u003d 6x - x 2 - 5. Αυτή είναι μια παραβολή με διακλαδώσεις προς τα κάτω, αλλά δεν μπορούν να υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί στον λογάριθμο, οπότε γράφουμε το ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Σημειώστε: η ανισότητα είναι αυστηρή, επομένως τα άκρα δεν ανήκουν στο ODZ. Με αυτόν τον τρόπο, ο λογάριθμος διαφέρει από τη ρίζα, όπου τα άκρα του τμήματος μας ταιριάζουν αρκετά.

Αναζητώντας την κορυφή της παραβολής:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Η κορυφή της παραβολής ταιριάζει κατά μήκος του ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Επειδή όμως τα άκρα του τμήματος δεν μας ενδιαφέρουν, θεωρούμε την τιμή της συνάρτησης μόνο στο σημείο x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2



1 0 0
Εάν βρείτε κάποιο σφάλμα, επιλέξτε ένα κομμάτι κειμένου και πατήστε Ctrl+Enter.