Cum să găsiți d într-o progresie aritmetică. Progresie aritmetică

Ce punctul principal formule?

Această formulă vă permite să găsiți orice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Desigur, trebuie să cunoști primul termen a 1 si diferenta de progresie d, ei bine, fără acești parametri, nu puteți nota o anumită progresie.

Nu este suficient să memorezi (sau să înșeli) această formulă. Este necesar să-i asimilezi esența și să aplici formula în diverse probleme. Da, și nu uitați la momentul potrivit, da...) Cum nu uita- Nu stiu. Dar cum să-ți amintești Dacă este nevoie, vă dau un indiciu. Pentru cei care stăpânesc lecția până la sfârșit.)

Deci, să ne ocupăm de formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Ce este o formulă în general - ne imaginăm.) Ce este o progresie aritmetică, un număr de membru, o diferență de progresie - este clar menționat în lecția anterioară. Aruncă o privire dacă nu l-ai citit. Totul este simplu acolo. Rămâne să ne dăm seama ce al-lea membru.

progresie în vedere generala poate fi scris ca o serie de numere:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- denotă primul termen al unei progresii aritmetice, a 3- al treilea membru a 4- al patrulea și așa mai departe. Dacă suntem interesați de al cincilea mandat, să presupunem că lucrăm cu un 5, dacă o sută douăzecea - din un 120.

Cum se definește în general orice membru al unei progresii aritmetice, s orice număr? Foarte simplu! Ca aceasta:

un n

Asta e al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Sub litera n toate numerele de membri sunt ascunse simultan: 1, 2, 3, 4 și așa mai departe.

Și ce ne oferă un astfel de record? Gândește-te, în loc de un număr, au notat o scrisoare...

Această notație ne oferă un instrument puternic pentru a lucra cu progresii aritmetice. Folosind notația un n, putem găsi rapid orice membru orice progresie aritmetică. Și o grămadă de sarcini de rezolvat în progresie. Vei vedea mai departe.

În formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice:

a 1- primul membru al progresiei aritmetice;

n- numarul membrului.

Formula leagă parametrii cheie ai oricărei progresii: un n; a 1; dși n. În jurul acestor parametri, toate puzzle-urile se învârt în progresie.

Formula al n-lea termen poate fi folosită și pentru a scrie o anumită progresie. De exemplu, în problemă se poate spune că progresia este dată de condiția:

a n = 5 + (n-1) 2.

O astfel de problemă poate chiar să încurce... Nu există serie, nicio diferență... Dar, comparând condiția cu formula, este ușor să ne dăm seama că în această progresie a 1 \u003d 5 și d \u003d 2.

Și poate fi și mai supărat!) Dacă luăm aceeași condiție: a n = 5 + (n-1) 2, da, deschide parantezele si da altele asemanatoare? Obținem o nouă formulă:

an = 3 + 2n.

aceasta Numai că nu general, ci pentru o evoluție specifică. Aici se află capcana. Unii oameni cred că primul termen este un trei. Deși în realitate primul membru este un cinci... Puțin mai jos vom lucra cu o astfel de formulă modificată.

În sarcinile pentru progresie, există o altă notație - un n+1. Acesta este, ați ghicit, termenul „n plus primul” al progresiei. Sensul său este simplu și inofensiv.) Acesta este un membru al progresiei, al cărui număr este mai mare decât numărul n cu unul. De exemplu, dacă într-o problemă luăm pentru un n al cincilea termen, atunci un n+1 va fi al șaselea membru. etc.

Cel mai adesea desemnarea un n+1 apare în formule recursive. Nu vă fie frică de acest cuvânt groaznic!) Acesta este doar un mod de a exprima un termen al unei progresii aritmetice prin cea precedentă. Să presupunem că ni se oferă o progresie aritmetică în această formă, folosind formula recurentă:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Al patrulea - prin al treilea, al cincilea - prin al patrulea și așa mai departe. Și cum să numărăm imediat, să spunem al douăzecilea termen, un 20? Dar în niciun caz!) În timp ce al 19-lea termen nu este cunoscut, al 20-lea nu poate fi numărat. Aceasta este diferența fundamentală dintre formula recursivă și formula celui de-al n-lea termen. Recursivul funcționează numai prin anterior termen, iar formula celui de-al n-lea termen - prin primul si permite pe loc găsiți orice membru după numărul său. Nu numărând întreaga serie de numere în ordine.

Într-o progresie aritmetică, o formulă recursivă poate fi ușor transformată într-una obișnuită. Numărați o pereche de termeni consecutivi, calculați diferența d, găsiți, dacă este necesar, primul termen a 1, scrieți formula în forma obișnuită și lucrați cu ea. În GIA, astfel de sarcini sunt adesea găsite.

Aplicarea formulei celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice.

Mai întâi, să ne uităm la aplicarea directă a formulei. La sfârșitul lecției anterioare a apărut o problemă:

Având în vedere o progresie aritmetică (a n). Aflați un 121 dacă a 1 =3 și d=1/6.

Această problemă poate fi rezolvată fără formule, pur și simplu pe baza semnificației progresiei aritmetice. Adăugați, da adăugați... O oră sau două.)

Și conform formulei, soluția va dura mai puțin de un minut. O poți cronometra.) Noi decidem.

Condițiile oferă toate datele pentru utilizarea formulei: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Rămâne de văzut ce n. Nici o problemă! Trebuie să găsim un 121. Aici scriem:

Vă rugam să acordați atentie! În loc de index n a apărut un anumit număr: 121. Ceea ce este destul de logic.) Ne interesează membrul progresiei aritmetice. numărul o sută douăzeci şi unu. Acesta va fi al nostru n. Acesta este sensul n= 121 vom înlocui în continuare în formulă, între paranteze. Înlocuiește toate numerele din formulă și calculează:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Cam despre asta e. La fel de repede s-ar putea găsi al cinci sute al zecelea membru și al miei și al treilea, oricare. punem in schimb n numărul dorit în indexul literei " A"și între paranteze și luăm în considerare.

Permiteți-mi să vă reamintesc esența: această formulă vă permite să găsiți orice termenul unei progresii aritmetice CU NUMĂRUL LUI" n" .

Să rezolvăm problema mai inteligent. Să presupunem că avem următoarea problemă:

Aflați primul termen al progresiei aritmetice (a n) dacă a 17 =-2; d=-0,5.

Dacă aveți dificultăți, vă propun primul pas. Scrieți formula pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice! Da Da. Scrieți de mână, chiar în caiet:

Și acum, privind literele formulei, înțelegem ce date avem și ce lipsește? Disponibil d=-0,5, există un al șaptesprezecelea membru... Totul? Dacă crezi că asta e tot, atunci nu poți rezolva problema, da...

Avem și un număr n! In stare a 17 =-2 ascuns doua variante. Aceasta este atât valoarea celui de-al șaptesprezecelea membru (-2), cât și numărul său (17). Acestea. n=17. Acest „lucru mic” deseori alunecă pe lângă cap, iar fără el, (fără „lucină mică”, nu cap!) Problema nu poate fi rezolvată. Deși... și fără cap.)

Acum putem pur și simplu să substituim datele noastre în formula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

O da, un 17știm că este -2. Bine, hai să-l punem în:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Asta, în esență, este tot. Rămâne să exprimăm primul termen al progresiei aritmetice din formulă și să calculați. Primești răspunsul: a 1 = 6.

O astfel de tehnică - scrierea unei formule și pur și simplu înlocuirea datelor cunoscute - ajută foarte mult în sarcinile simple. Ei bine, trebuie, desigur, să poți exprima o variabilă dintr-o formulă, dar ce să faci!? Fără această abilitate, matematica nu poate fi studiată deloc...

O altă problemă populară:

Aflați diferența progresiei aritmetice (a n) dacă a 1 =2; a 15 =12.

Ce facem? Vei fi surprins, noi scriem formula!)

Luați în considerare ceea ce știm: a 1 =2; a 15 =12; și (evidențiere specială!) n=15. Simțiți-vă liber să înlocuiți în formula:

12=2 + (15-1)d

Să facem aritmetica.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Acesta este răspunsul corect.

Deci, sarcini a n, a 1și d hotărât. Rămâne să înveți cum să găsești numărul:

Numărul 99 este membru al unei progresii aritmetice (a n), unde a 1 =12; d=3. Găsiți numărul acestui membru.

Înlocuim cantitățile cunoscute în formula celui de-al n-lea termen:

a n = 12 + (n-1) 3

La prima vedere, există două cantități necunoscute aici: un n și n. Dar un n este un membru al progresiei cu numărul n... Și acest membru al progresiei îl cunoaștem! Este 99. Nu-i știm numărul. n, deci trebuie găsit și acest număr. Înlocuiți termenul de progresie 99 în formula:

99 = 12 + (n-1) 3

Exprimăm din formulă n, noi gândim. Primim raspunsul: n=30.

Și acum o problemă pe același subiect, dar mai creativ):

Determinați dacă numărul 117 va fi membru al unei progresii aritmetice (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Să scriem din nou formula. Ce, nu există opțiuni? Hm... De ce avem nevoie de ochi?) Vedem primul membru al progresiei? V-om vedea. Acesta este -3,6. Puteți scrie în siguranță: a 1 \u003d -3,6. Diferență d se poate determina din serie? Este ușor dacă știi care este diferența unei progresii aritmetice:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Da, am făcut cel mai simplu lucru. Rămâne de a face cu un număr necunoscut nși un număr de neînțeles 117. În problema anterioară, cel puțin se știa că este termenul progresiei care s-a dat. Dar aici nici nu știm că... Cum să fim!? Ei bine, cum să fii, cum să fii... Porniți-vă abilitățile creative!)

Noi presupune că 117 este, până la urmă, un membru al progresiei noastre. Cu un număr necunoscut n. Și, la fel ca în problema anterioară, să încercăm să găsim acest număr. Acestea. scriem formula (da-da!)) și înlocuim numerele noastre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Din nou exprimăm din formulăn, numărăm și obținem:

Hopa! Numărul s-a dovedit fracționat! O sută și jumătate. Și numere fracționale în progresii nu poate fi. Ce concluzie tragem? Da! Numărul 117 nu este membru al progresiei noastre. Este undeva între al 101-lea și al 102-lea membru. Dacă numărul s-a dovedit a fi natural, de ex. întreg pozitiv, atunci numărul ar fi un membru al progresiei cu numărul găsit. Și în cazul nostru, răspunsul la problemă va fi: Nu.

Sarcină bazată pe o versiune reală a GIA:

Progresia aritmetică este dată de condiția:

a n \u003d -4 + 6,8n

Găsiți primul și al zecelea termen al progresiei.

Aici progresia este stabilită într-un mod neobișnuit. Un fel de formulă... Se întâmplă.) Cu toate acestea, această formulă (cum am scris mai sus) - de asemenea formula celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice! Ea permite, de asemenea găsiți orice membru al progresiei după numărul său.

Căutăm primul membru. Cel care gândește. că primul termen este minus patru, se înșeală fatal!) Pentru că formula din problemă este modificată. Primul termen al unei progresii aritmetice în el ascuns. Nimic, îl vom găsi acum.)

La fel ca în sarcinile anterioare, înlocuim n=1în această formulă:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aici! Primul termen este 2,8, nu -4!

În mod similar, căutăm al zecelea termen:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Cam despre asta e.

Și acum, pentru cei care au citit până la aceste rânduri, bonusul promis.)

Să presupunem că, într-o situație dificilă de luptă a GIA sau a examenului de stat unificat, ați uitat formula utilă a celui de-al n-lea membru al unei progresii aritmetice. Ceva îmi vine în minte, dar cumva nesigur... Fie n acolo, sau n+1 sau n-1... cum sa fii!?

Calm! Această formulă este ușor de obținut. Nu foarte strict, dar cu siguranță suficient pentru încredere și decizia corectă!) Pentru concluzie, este suficient să vă amintiți semnificația elementară a progresiei aritmetice și să aveți câteva minute de timp. Trebuie doar să desenezi o imagine. Pentru claritate.

Desenăm o axă numerică și o marchem pe prima. al doilea, al treilea etc. membrii. Și notează diferența dîntre membri. Ca aceasta:

Ne uităm la imagine și ne gândim: cu ce este egal al doilea termen? Al doilea unu d:

A 2 =a 1 + 1 d

Care este al treilea termen? Al treilea termenul este egal cu primul termen plus Două d.

A 3 =a 1 + 2 d

Ai inteles? Nu pun câteva cuvinte cu caractere aldine degeaba. Bine, încă un pas.)

Care este al patrulea termen? Al patrulea termenul este egal cu primul termen plus Trei d.

A 4 =a 1 + 3 d

Este timpul să ne dăm seama că numărul de lacune, adică. d, mereu cu unul mai puțin decât numărul membrului pe care îl căutați n. Adică până la număr n, numărul de goluri va fi n-1. Deci, formula va fi (fără opțiuni!):

În general, imaginile vizuale sunt de mare ajutor în rezolvarea multor probleme de matematică. Nu neglija pozele. Dar dacă este dificil să desenezi o imagine, atunci ... doar o formulă!) În plus, formula celui de-al n-lea termen vă permite să conectați întregul arsenal puternic al matematicii la soluție - ecuații, inegalități, sisteme etc. Nu poți pune o imagine într-o ecuație...

Sarcini pentru decizie independentă.

Pentru încălzire:

1. În progresia aritmetică (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Găsiți un 3.

Sugestie: conform imaginii, problema este rezolvată în 20 de secunde ... Conform formulei, se dovedește mai dificil. Dar pentru stăpânirea formulei, este mai util.) În Secțiunea 555, această problemă este rezolvată atât prin imagine, cât și prin formulă. Simte diferenta!)

Și aceasta nu mai este o încălzire.)

2. În progresia aritmetică (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Aflați un 3 .

Ce, reticența de a face o imagine?) Totuși! E mai bine in formula, da...

3. Progresia aritmetică este dată de condiția:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Găsiți termenul o sută douăzeci și cinci al acestei progresii.

În această sarcină, progresia este dată în mod recurent. Dar numărând până la al o sută douăzeci și cinci de mandat... Nu oricine poate face o asemenea ispravă.) Dar formula celui de-al n-lea termen este în puterea tuturor!

4. Având în vedere o progresie aritmetică (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Aflați numărul celui mai mic termen pozitiv al progresiei.

5. Conform condiției sarcinii 4, găsiți suma celor mai mici membri pozitivi și cei mai mari negativi ai progresiei.

6. Produsul termenilor al cincilea și al doisprezecelea al unei progresii aritmetice crescătoare este -2,5, iar suma celor trei și al unsprezecelea termeni este zero. Găsiți un 14.

Nu este cea mai ușoară sarcină, da ...) Aici metoda „pe degete” nu va funcționa. Trebuie să scrieți formule și să rezolvați ecuații.

Răspunsuri (în dezordine):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

S-a întâmplat? E dragut!)

Nu merge totul? S-a întâmplat. Apropo, în ultima sarcină există un punct subtil. Va fi necesară atenție la citirea problemei. Și logica.

Soluția la toate aceste probleme este discutată în detaliu în secțiunea 555. Și elementul fantezie pentru al patrulea și momentul subtil pentru al șaselea și abordări generale pentru rezolvarea oricăror probleme pentru formula celui de-al n-lea termen - totul este pictat. Vă recomand.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Suma unei progresii aritmetice.

Suma unei progresii aritmetice este un lucru simplu. Atât în ​​sens, cât și în formulă. Dar există tot felul de sarcini pe această temă. De la elementar la destul de solid.

În primul rând, să ne ocupăm de sensul și formula sumei. Și atunci vom decide. Pentru plăcerea ta.) Sensul sumei este la fel de simplu ca și joasă. Pentru a găsi suma unei progresii aritmetice, trebuie doar să adăugați cu atenție toți membrii acesteia. Dacă acești termeni sunt puțini, puteți adăuga fără formule. Dar dacă există mult, sau mult... adăugarea este enervantă.) În acest caz, formula salvează.

Formula sumei este simplă:

Să ne dăm seama ce fel de litere sunt incluse în formulă. Acest lucru se va clarifica foarte mult.

S n este suma unei progresii aritmetice. Rezultat adaos toate membri, cu primul pe ultimul. Este important. Adunați exact toate membri la rând, fără goluri și sărituri. Și, exact, pornind de la primul.În probleme precum găsirea sumei termenilor al treilea și al optulea sau a sumei termenilor cinci până la al douăzecilea, aplicarea directă a formulei va fi dezamăgitoare.)

a 1 - primul membru al progresiei. Totul este clar aici, e simplu primul numărul rândului.

un n- ultimul membru al progresiei. Ultimul număr al rândului. Nu este un nume foarte familiar, dar, atunci când este aplicat sumei, este foarte potrivit. Atunci vei vedea singur.

n este numărul ultimului membru. Este important să înțelegeți că în formulă acest număr coincide cu numarul de membri adaugati.

Să definim conceptul ultimul membru un n. Întrebare de completare: ce fel de membru va ultimul, dacă este dat fără sfârşit progresie aritmetica?

Pentru un răspuns sigur, trebuie să înțelegeți semnificația elementară a unei progresii aritmetice și ... citiți cu atenție tema!)

În sarcina de a găsi suma unei progresii aritmetice, ultimul termen apare întotdeauna (direct sau indirect), care ar trebui limitată.În caz contrar, o sumă finită, specifică pur si simplu nu exista. Pentru soluție, nu contează ce fel de progresie este dată: finită sau infinită. Nu contează cum este dat: printr-o serie de numere sau prin formula celui de-al n-lea membru.

Cel mai important este să înțelegeți că formula funcționează de la primul termen al progresiei până la termenul cu numărul n. De fapt, numele complet al formulei arată astfel: suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice. Numărul acestor primi membri, adică n, este determinată exclusiv de sarcină. În sarcină, toate aceste informații valoroase sunt adesea criptate, da ... Dar nimic, în exemplele de mai jos vom dezvălui aceste secrete.)

Exemple de sarcini pentru suma unei progresii aritmetice.

În primul rând, Informatii utile:

Principala dificultate în sarcinile pentru suma unei progresii aritmetice este determinarea corectă a elementelor formulei.

Autorii sarcinilor criptează aceste elemente cu o imaginație nemărginită.) Principalul lucru aici este să nu vă fie frică. Înțelegând esența elementelor, este suficient doar să le descifrem. Să aruncăm o privire la câteva exemple în detaliu. Să începem cu o sarcină bazată pe un GIA real.

1. Progresia aritmetică este dată de condiția: a n = 2n-3.5. Aflați suma primilor 10 termeni.

Bună treabă. Ușor.) Pentru a determina cantitatea conform formulei, ce trebuie să știm? Primul membru a 1, ultimul termen un n, da numarul ultimului termen n.

De unde să obțineți ultimul număr de membru n? Da, în același loc, în stare! Spune găsiți suma primii 10 membri. Ei bine, ce număr va fi ultimul, al zecelea membru?) Nu veți crede, numărul lui este al zecelea!) Prin urmare, în loc de un n vom înlocui în formulă un 10, dar în schimb n- zece. Din nou, numărul ultimului membru este același cu numărul membrilor.

Rămâne de stabilit a 1și un 10. Acest lucru este ușor de calculat prin formula celui de-al n-lea termen, care este dată în enunțul problemei. Nu știi cum să o faci? Vizitați lecția anterioară, fără aceasta - nimic.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Am aflat semnificația tuturor elementelor formulei pentru suma unei progresii aritmetice. Rămâne să le înlocuim și să numărăm:

Cam despre asta e. Raspuns: 75.

O altă sarcină bazată pe GIA. Puțin mai complicat:

2. Având în vedere o progresie aritmetică (a n), a cărei diferență este 3,7; a 1 \u003d 2.3. Aflați suma primilor 15 termeni.

Scriem imediat formula sumei:

Această formulă ne permite să găsim valoarea oricărui membru după numărul său. Căutăm o înlocuire simplă:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Rămâne să înlocuiți toate elementele din formulă pentru suma unei progresii aritmetice și să calculați răspunsul:

Răspuns: 423.

Apropo, dacă în formula sumei în loc de un n doar înlocuiți formula celui de-al n-lea termen, obținem:

Dăm altele similare, obținem o nouă formulă pentru suma membrilor unei progresii aritmetice:

După cum puteți vedea, al n-lea termen nu este necesar aici. un n. În unele sarcini, această formulă ajută foarte mult, da... Vă puteți aminti această formulă. Și îl puteți retrage pur și simplu la momentul potrivit, ca aici. La urma urmei, formula pentru sumă și formula pentru al n-lea termen trebuie amintite în orice fel.)

Acum sarcina sub forma unei criptări scurte):

3. Aflați suma tuturor numerelor pozitive din două cifre care sunt multipli de trei.

Cum! Nici primul membru, nici ultimul, nicio progresie... Cum să trăiești!?

Va trebui să gândești cu capul și să scoți din condiție toate elementele sumei unei progresii aritmetice. Ce sunt numerele din două cifre - știm. Ele constau din două numere.) Ce număr de două cifre va primul? 10, probabil.) ultimul lucru număr de două cifre? 99, desigur! Cei din trei cifre îl vor urma...

Multipli de trei... Hm... Acestea sunt numere care sunt divizibile egal cu trei, aici! Zece nu este divizibil cu trei, 11 nu este divizibil... 12... este divizibil! Deci, ceva iese la iveală. Puteți deja să scrieți o serie în funcție de starea problemei:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Va fi această serie o progresie aritmetică? Desigur! Fiecare termen diferă de cel precedent strict cu trei. Dacă la termen se adaugă 2 sau 4, să zicem rezultatul, adică. un număr nou nu va mai fi împărțit la 3. Puteți determina imediat diferența progresiei aritmetice către grămada: d = 3. Util!)

Deci, putem nota în siguranță câțiva parametri de progresie:

Care va fi numărul n ultimul membru? Oricine crede că 99 se înșală fatal... Numerele - merg mereu la rând, iar membrii noștri sar peste primii trei. Nu se potrivesc.

Există două soluții aici. O modalitate este pentru cei super muncitori. Puteți picta progresia, întreaga serie de numere și puteți număra numărul de termeni cu degetul.) A doua cale este pentru cei gânditori. Trebuie să vă amintiți formula pentru al n-lea termen. Dacă formula se aplică problemei noastre, obținem că 99 este al treizecilea membru al progresiei. Acestea. n = 30.

Ne uităm la formula pentru suma unei progresii aritmetice:

Ne uităm și ne bucurăm.) Am scos tot ce era necesar pentru calcularea sumei din starea problemei:

a 1= 12.

un 30= 99.

S n = S 30.

Ceea ce rămâne este aritmetica elementară. Înlocuiți numerele din formulă și calculați:

Răspuns: 1665

Un alt tip de puzzle-uri populare:

4. Se dă o progresie aritmetică:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Găsiți suma termenilor de la al douăzecilea la al treizeci și patrulea.

Ne uităm la formula sumei și... suntem supărați.) Formula, permiteți-mi să vă reamintesc, calculează suma din prima membru. Și în problemă trebuie să calculați suma din al XX-lea... Formula nu va funcționa.

Puteți, desigur, să pictați întreaga progresie la rând și să puneți membrii de la 20 la 34. Dar ... cumva se dovedește prostesc și pentru mult timp, nu?)

Există o soluție mai elegantă. Să împărțim seria noastră în două părți. Prima parte va de la primul termen până la al nouăsprezecelea. A doua parte - douăzeci până la treizeci şi patru. Este clar că dacă calculăm suma termenilor primei părți S 1-19, să-l adăugăm la suma membrilor din partea a doua S 20-34, obținem suma progresiei de la primul termen la al treizeci și patrulea S 1-34. Ca aceasta:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Aceasta arată că pentru a găsi suma S 20-34 se poate face prin simpla scădere

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Sunt luate în considerare ambele sume din partea dreaptă din prima membru, adică formula sumei standard le este destul de aplicabilă. Începem?

Extragem parametrii de progresie din condiția sarcinii:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Pentru a calcula sumele primilor 19 și primilor 34 de termeni, vom avea nevoie de al 19-lea și al 34-lea termen. Le numărăm după formula celui de-al n-lea termen, ca în problema 2:

un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Nu a mai ramas nimic. Scădeți suma a 19 termeni din suma a 34 de termeni:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Răspuns: 262,5

O notă importantă! Există o caracteristică foarte utilă în rezolvarea acestei probleme. În loc de calcul direct de ce ai nevoie (S 20-34), am numărat ceea ce, s-ar părea, nu este necesar - S 1-19.Și atunci s-au hotărât S 20-34, eliminând ceea ce nu este necesar din rezultatul complet. O astfel de „făcătură cu urechile” salvează adesea în puzzle-uri rele.)

În această lecție, am examinat probleme pentru care este suficient să înțelegem sensul sumei unei progresii aritmetice. Ei bine, trebuie să știți câteva formule.)

sfaturi practice:

Când rezolvați orice problemă pentru suma unei progresii aritmetice, vă recomand să scrieți imediat cele două formule principale din acest subiect.

Formula celui de-al n-lea termen:

Aceste formule vă vor spune imediat ce să căutați, în ce direcție să gândiți pentru a rezolva problema. Ajută.

Și acum sarcinile pentru o soluție independentă.

5. Aflați suma tuturor numerelor de două cifre care nu sunt divizibile cu trei.

Cool?) Sugestia este ascunsă în nota la problema 4. Ei bine, problema 3 va ajuta.

6. Progresia aritmetică este dată de condiția: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Aflați suma primilor 24 de termeni.

Neobișnuit?) Aceasta este o formulă recurentă. Puteți citi despre asta în lecția anterioară. Nu ignora linkul, astfel de puzzle-uri se găsesc adesea în GIA.

7. Vasya a făcut economii pentru Sărbători. Cât de mult 4550 de ruble! Și am decis să-i ofer celei mai iubite persoane (mie) câteva zile de fericire). Trăiește frumos fără a te nega nimic. Cheltuiește 500 de ruble în prima zi și cheltuiește cu 50 de ruble mai mult în fiecare zi următoare decât în ​​ziua anterioară! Până se epuizează banii. Câte zile de fericire a avut Vasya?

Este dificil?) O formulă suplimentară din sarcina 2 va ajuta.

Răspunsuri (în dezordine): 7, 3240, 6.

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Instruire

O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Pasul numărul d progresii.Evident, totalul unui n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresii are forma: An = A1+(n-1)d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresii, membru progresii si pas progresii, poate fi , adică numărul termenului de progresie. Evident, acesta va fi determinat prin formula n = (An-A1+d)/d.

Să fie cunoscut al-lea termen acum progresiiși un alt membru progresii- n-a, dar n , ca în cazul precedent, dar se știe că n și m nu se potrivesc.Pas progresii poate fi calculată prin formula: d = (An-Am)/(n-m). Atunci n = (An-Am+md)/d.

Dacă suma mai multor elemente ale unei aritmetici progresii, precum și primul și ultimul său , atunci se poate determina și numărul acestor elemente.Suma aritmeticii progresii va fi egal cu: S = ((A1+An)/2)n. Atunci n = 2S/(A1+An) sunt chdenov progresii. Folosind faptul că An = A1+(n-1)d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Din aceasta se poate exprima n prin rezolvare ecuație pătratică.

O secvență aritmetică este un astfel de set ordonat de numere, fiecare membru al căruia, cu excepția primului, diferă de cel precedent cu aceeași cantitate. Această constantă se numește diferența progresiei sau pasul acesteia și poate fi calculată din membrii cunoscuți ai progresiei aritmetice.

Instruire

Dacă din condițiile problemei sunt cunoscute valorile primului și celui de-al doilea sau a oricărei alte perechi de termeni învecinați, pentru a calcula diferența (d), pur și simplu scădeți termenul anterior din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie pozitivă, fie negativă - depinde dacă progresia este în creștere. În formă generală, scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de membri vecini ai progresiei, după cum urmează: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pentru o pereche de membri ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este oricare altul ales arbitrar, se poate face și o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, numărul de serie (i) al unui membru arbitrar ales al secvenței trebuie să fie cunoscut. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul la numărul ordinal al unui termen arbitrar redus cu unu. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Dacă, pe lângă un membru arbitrar al progresiei aritmetice cu numărul ordinal i, se cunoaște un alt membru cu numărul ordinal u, modificați în mod corespunzător formula din pasul anterior. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțită la diferența numerelor lor ordinale: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula de calcul a diferenței (d) devine ceva mai complicată dacă, în condițiile problemei, valoarea primului său membru (a₁) și suma (Sᵢ) unui număr dat (i) a primilor membri ai sunt date succesiuni aritmetice. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de termeni care o compun, scădeți valoarea primului număr din succesiune și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de termeni care au alcătuit suma redusă cu unu. În general, notați formula de calcul a discriminantului după cum urmează: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Mulți au auzit de o progresie aritmetică, dar nu toată lumea este conștientă de ce este aceasta. În acest articol, vom oferi o definiție adecvată și vom lua în considerare, de asemenea, întrebarea cum să găsim diferența unei progresii aritmetice și vom oferi o serie de exemple.

Definiție matematică

Deci, dacă vorbim despre o progresie aritmetică sau algebrică (aceste concepte definesc același lucru), atunci aceasta înseamnă că există o serie de numere care îndeplinește următoarea lege: fiecare două numere adiacente din serie diferă cu aceeași valoare. Din punct de vedere matematic, aceasta este scrisă astfel:

Aici n înseamnă numărul elementului a n din succesiune, iar numărul d este diferența de progresie (denumirea acestuia decurge din formula prezentată).

Ce înseamnă a cunoaște diferența d? Cam cât de departe sunt numerele adiacente. Cu toate acestea, cunoașterea lui d este necesară, dar nu condiție suficientă pentru a determina (restaura) întreaga progresie. Trebuie să știți încă un număr, care poate fi absolut orice element al seriei luate în considerare, de exemplu, un 4, a10, dar, de regulă, se folosește primul număr, adică un 1.

Formule pentru determinarea elementelor progresiei

În general, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a trece la rezolvarea unor probleme specifice. Cu toate acestea, înainte de a se da o progresie aritmetică și va fi necesar să găsim diferența acesteia, prezentăm câteva formule utile, facilitând astfel procesul ulterior de rezolvare a problemelor.

Este ușor de arătat că orice element al șirului cu număr n poate fi găsit după cum urmează:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Într-adevăr, toată lumea poate verifica această formulă cu o enumerare simplă: dacă înlocuiți n = 1, atunci obțineți primul element, dacă înlocuiți n = 2, atunci expresia dă suma primului număr și diferența și așa mai departe .

Condițiile multor probleme sunt compilate în așa fel încât pentru o pereche cunoscută de numere, ale căror numere sunt și ele date în succesiune, este necesar să se restabilească întreaga serie de numere (găsiți diferența și primul element). Acum vom rezolva această problemă într-un mod general.

Deci, să presupunem că ni se dau două elemente cu numere n și m. Folosind formula obținută mai sus, putem compune un sistem de două ecuații:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Pentru a găsi cantități necunoscute, folosim o metodă simplă binecunoscută pentru rezolvarea unui astfel de sistem: scădem părțile din stânga și din dreapta în perechi, în timp ce egalitatea rămâne valabilă. Avem:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Astfel, am eliminat o necunoscută (a 1). Acum putem scrie expresia finală pentru determinarea d:

d = (a n - a m) / (n - m), unde n > m

Am obținut o formulă foarte simplă: pentru a calcula diferența d în conformitate cu condițiile problemei, este necesar doar să luăm raportul dintre diferențele dintre elementele în sine și numerele lor de serie. Ar trebui să se concentreze pe unul punct important notă: diferențele sunt luate între membrii „mai înalt” și „inferior”, adică n > m („mai mare” înseamnă a sta mai departe de începutul secvenței, valoarea sa absolută poate fi fie mai mare, fie mai mică decât cea „mai tânără”. "element).

Expresia diferenței d a progresiei ar trebui înlocuită în oricare dintre ecuațiile de la începutul soluției problemei pentru a obține valoarea primului termen.

În epoca noastră a dezvoltării tehnologiei informatice, mulți școlari încearcă să găsească soluții pentru sarcinile lor pe Internet, așa că apar adesea întrebări de acest tip: găsiți diferența unei progresii aritmetice online. La o astfel de solicitare, motorul de cautare va afisa un numar de pagini web, accesand la care, va trebui sa introduceti datele cunoscute din conditie (pot fi fie doi membri ai progresiei, fie suma unora dintre ei) și obțineți imediat un răspuns. Cu toate acestea, o astfel de abordare a rezolvării problemei este neproductivă în ceea ce privește dezvoltarea elevului și înțelegerea esenței sarcinii care i-a fost atribuită.

Soluție fără a folosi formule

Să rezolvăm prima problemă, în timp ce nu vom folosi niciuna dintre formulele de mai sus. Să fie date elementele seriei: a6 = 3, a9 = 18. Aflați diferența progresiei aritmetice.

Elementele cunoscute sunt apropiate unele de altele la rând. De câte ori trebuie adăugată diferența d la cea mai mică pentru a obține cea mai mare? De trei ori (prima dată adăugând d, obținem al 7-lea element, a doua oară - a opta, în sfârșit, a treia oară - a noua). Ce număr trebuie adăugat la trei de trei ori pentru a obține 18? Acesta este numărul cinci. Într-adevăr:

Astfel, diferența necunoscută este d = 5.

Desigur, soluția se putea face folosind formula adecvată, dar acest lucru nu a fost făcut intenționat. O explicație detaliată a soluției problemei ar trebui să devină un exemplu clar și viu a ceea ce este o progresie aritmetică.

O sarcină similară celei anterioare

Acum să rezolvăm o problemă similară, dar să schimbăm datele de intrare. Deci, ar trebui să aflați dacă a3 = 2, a9 = 19.

Desigur, puteți recurge din nou la metoda de rezolvare „pe frunte”. Dar, deoarece sunt date elementele seriei, care sunt relativ îndepărtate, o astfel de metodă nu devine foarte convenabilă. Dar folosirea formulei rezultate ne va conduce rapid la răspuns:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2,83

Aici am rotunjit numărul final. Cât de mult a condus această rotunjire la o eroare poate fi judecat verificând rezultatul:

a 9 \u003d a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Acest rezultat diferă doar cu 0,1% de valoarea dată în condiție. Prin urmare, rotunjirea la sutimile utilizate poate fi considerată o alegere bună.

Sarcini pentru aplicarea formulei pentru un membru

Să luăm în considerare un exemplu clasic al problemei determinării necunoscutului d: găsiți diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 12, a5 = 40.

Când sunt date două numere dintr-o secvență algebrică necunoscută, iar unul dintre ele este elementul a 1 , atunci nu trebuie să vă gândiți mult, dar ar trebui să aplicați imediat formula pentru un membru. În acest caz avem:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Am obținut numărul exact la împărțire, așa că nu are sens să verificăm acuratețea rezultatului calculat, așa cum sa făcut în paragraful anterior.

Să rezolvăm o altă problemă similară: ar trebui să găsim diferența progresiei aritmetice dacă a1 = 16, a8 = 37.

Folosim o abordare similară cu cea anterioară și obținem:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Ce altceva ar trebui să știi despre progresia aritmetică

Pe lângă problemele de găsire a unei diferențe necunoscute sau a elementelor individuale, este adesea necesar să se rezolve problemele sumei primilor termeni ai unei secvențe. Luarea în considerare a acestor probleme depășește domeniul de aplicare al subiectului articolului; cu toate acestea, pentru caracterul complet al informațiilor, vă prezentăm formula generala pentru suma n numere ale seriei:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Problemele de progresie aritmetică au existat încă din cele mai vechi timpuri. Au apărut și au cerut o soluție, pentru că aveau o nevoie practică.

Deci, într-unul dintre papirusurile Egiptului Antic, care are un conținut matematic - papirusul Rhind (sec. XIX î.Hr.) - conține următoarea sarcină: împărțiți zece măsuri de pâine în zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie una. a opta dintr-o măsură.

Și în lucrările de matematică ale grecilor antici există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Așadar, Hypsicles din Alexandria (secolul al II-lea, care a compilat multe probleme interesante și a adăugat cartea a XIV-a la „Elementele” lui Euclid), a formulat ideea: „Într-o progresie aritmetică cu un număr par de membri, suma membrilor jumătății a 2-a. este mai mare decât suma membrilor primului cu pătratul 1/2 membri.

Se notează secvența an. Numerele secvenței se numesc membrii ei și sunt de obicei notate cu litere cu indici care indică numărul de serie al acestui membru (a1, a2, a3 ... se citește: „a 1st”, „a 2nd”, „a 3rd”. ” și așa mai departe).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Ce este o progresie aritmetică? Se înțelege obținut prin adăugarea termenului anterior (n) cu același număr d, care este diferența de progresie.

Dacă d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, atunci o astfel de progresie este considerată a fi în creștere.

Se spune că o progresie aritmetică este finită dacă sunt luați în considerare doar câțiva dintre primii termeni. Cu un număr foarte mare de membri, aceasta este deja o progresie infinită.

Orice progresie aritmetică este dată de următoarea formulă:

an =kn+b, în ​​timp ce b și k sunt niște numere.

Afirmația, care este opusă, este absolut adevărată: dacă succesiunea este dată de o formulă similară, atunci aceasta este exact o progresie aritmetică, care are proprietățile:

1. Fiecare membru al progresiei este media aritmetică a membrului anterior și a celui următor.
2. Opusul: dacă, începând de la al 2-lea, fiecare termen este media aritmetică a termenului anterior și următorul, i.e. dacă condiția este îndeplinită, atunci succesiunea dată este o progresie aritmetică. Această egalitate este, de asemenea, un semn al progresiei, deci este de obicei numită o proprietate caracteristică a progresiei.
   În același mod, teorema care reflectă această proprietate este adevărată: o secvență este o progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre membrii șirului, începând cu a 2-a.

Proprietatea caracteristică pentru oricare patru numere ale unei progresii aritmetice poate fi exprimată prin formula an + am = ak + al dacă n + m = k + l (m, n, k sunt numerele progresiei).

Într-o progresie aritmetică, orice termen necesar (al N-lea) poate fi găsit prin aplicare următoarea formulă:

De exemplu: primul termen (a1) dintr-o progresie aritmetică este dat și este egal cu trei, iar diferența (d) este egală cu patru. Trebuie să găsiți al patruzeci și cincilea termen al acestei progresii. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) vă permite să determinați al n-lea membru al unei progresii aritmetice prin oricare din al-lea membru al său, cu condiția să fie cunoscut.

Suma membrilor unei progresii aritmetice (presupunând primii n membri ai progresiei finale) se calculează după cum urmează:

Sn = (a1+an) n/2.

Dacă primul termen este de asemenea cunoscut, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Suma unei progresii aritmetice care conține n termeni se calculează după cum urmează:

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile sarcinilor și de datele inițiale.

Serii naturale ale oricăror numere precum 1,2,3,...,n,...- cel mai simplu exemplu progresie aritmetică.

Pe lângă progresia aritmetică, există și una geometrică, care are proprietăți și caracteristici proprii.