Türevsiz bir fonksiyonun en büyük değeri nasıl bulunur? Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri

“Bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanma” konulu derste, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmanın nispeten basit problemlerini ele alacağız. türevini kullanarak.

Tema: türev

Ders: Bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türev kullanma

Bu derste daha basit bir problemi ele alacağız, yani bir aralık verilecek, bu aralıkta sürekli bir fonksiyon verilecek. Verilen bir değerin en büyük ve en küçük değerlerini bulun fonksiyonlar verilen bir Aralık.

32.1 (b). Verilen: , . Fonksiyonun bir grafiğini çizelim (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Bir fonksiyonun grafiği.

Bu fonksiyonun aralıkta arttığı, yani aralıkta da arttığı bilinmektedir. Böylece, ve noktalarında fonksiyonun değerini bulursanız, bu fonksiyonun değişim limitleri, en büyük ve en küçük değeri bilinecektir.

Argüman 8'e yükseldiğinde, işlev de artar.

Cevap: ; .

№ 32.2 (a) Verilen: Verilen bir aralıkta fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Bu fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım (bkz. Şekil 2).

Argüman aralıkta değişirse, işlev -2'den 2'ye yükselir. Argüman 'den artarsa, işlev 2'den 0'a düşer.

Pirinç. 2. Bir fonksiyonun grafiği.

Türevini bulalım.

, . ise , bu değer de verilen segmente aittir . Eğer öyleyse . Diğer değerleri alıp almadığını kontrol etmek kolaydır, karşılık gelen durağan noktalar verilen segmentin ötesine geçer. Segmentin uçlarında ve türevin sıfıra eşit olduğu seçili noktalarda fonksiyonun değerlerini karşılaştıralım. Bulalım

;

Cevap: ;.

Yani cevap alındı. Bu durumda türev kullanılabilir, kullanamazsınız, daha önce çalışılan fonksiyonun özelliklerini uygulayın. Bu her zaman böyle değildir, bazen bir türevin kullanılması bu tür sorunları çözmenize izin veren tek yöntemdir.

Verilen: , . Verilen segmentte fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun.

Önceki durumda türev olmadan yapmak mümkün olsaydı - fonksiyonun nasıl davrandığını biliyorduk, o zaman bu durumda fonksiyon oldukça karmaşıktır. Bu nedenle, önceki görevde bahsettiğimiz metodoloji tamamen uygulanabilir.

1. Türevi bulun. Kritik noktaları, dolayısıyla, - kritik noktaları bulalım. Bunlardan bu segmente ait olanları seçiyoruz: . Fonksiyonun değerini , , , noktalarında karşılaştıralım. Bunun için bulduğumuz

Sonucu şekilde gösteriyoruz (bkz. Şekil 3).

Pirinç. 3. Fonksiyon değerlerinin değişim limitleri

Argüman 0'dan 2'ye değişirse, fonksiyonun -3'ten 4'e değiştiğini görüyoruz. Fonksiyon monoton bir şekilde değişmez: ya artar ya da azalır.

Cevap: ;.

Böylece, üç örnek kullanarak, bir fonksiyonun bir aralıkta, bu durumda bir segmentte en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için genel bir teknik gösterildi.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma problemini çözmek için algoritma:

1. Fonksiyonun türevini bulun.

2. Fonksiyonun kritik noktalarını bulun ve verilen bir doğru parçası üzerindeki noktaları seçin.

3. Segmentin uçlarında ve seçilen noktalarda fonksiyonun değerlerini bulun.

4. Bu değerleri karşılaştırın ve en büyük ve en küçüğü seçin.

Bir örnek daha düşünelim.

, fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun.

Önceden, bu fonksiyonun grafiği düşünülmüştü (bkz. Şekil 4).

Pirinç. 4. Bir fonksiyonun grafiği.

Aralıkta, bu fonksiyonun aralığı . Nokta maksimum noktadır. Ne zaman - fonksiyon artar, ne zaman - fonksiyon azalır. Çizimden görülebilir ki , - yok.

Bu yüzden derste, verilen bir aralık bir segment olduğunda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri problemini ele aldık; Bu tür sorunları çözmek için bir algoritma formüle etti.

1. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için ders kitabı (profil seviyesi), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki kısım). Eğitim kurumları için görev kitabı (profil seviyesi), ed. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. 10. sınıf için cebir ve matematiksel analiz ( öğretici derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için).-M.: Eğitim, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Cebir ve matematiksel analiz üzerine derinlemesine bir çalışma.-M.: Eğitim, 1997.

5. Teknik üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması (M.I.Skanavi editörlüğünde).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel eğitmen.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Cebiri ve analizin başlangıcı. 8-11 hücreler: Derinlemesine matematik çalışması olan okullar ve sınıflar için bir el kitabı (didaktik materyaller). - M.: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebirde Görevler ve Analizin Başlangıcı (genel eğitim kurumlarının 10-11. sınıflarındaki öğrenciler için bir kılavuz).-M .: Education, 2003.

9. Karp A.P. Cebirdeki problemlerin toplanması ve analizin başlangıcı: ders kitabı. 10-11 hücre için ödenek. derin bir ders çalışma matematik.-M.: Eğitim, 2006.

10. Glazer G.I. Okulda matematik tarihi. 9-10. Sınıflar (öğretmenler için bir rehber).-M.: Aydınlanma, 1983

Ek web kaynakları

2. Portal Doğa Bilimleri ().

evde yap

46.16, 46.17 (c) (Cebir ve analizin başlangıcı, 10. sınıf (iki bölümde). A. G. Mordkovich tarafından düzenlenen genel eğitim kurumları (profil seviyesi) için bir görev kitabı. - M.: Mnemozina, 2007.)

Pratikte, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi, maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, üretimdeki optimal yükü nasıl hesaplayacağımızı, vb., yani bir parametrenin optimal değerini belirlemenin gerekli olduğu durumlarda gerçekleştiririz. Bu tür problemleri doğru bir şekilde çözmek için, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin ne olduğunu iyi anlamak gerekir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Genellikle bu değerleri belirli bir x aralığında tanımlarız, bu da işlevin tüm kapsamına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [ a ; b ] , ve açık aralık (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , sonsuz aralık (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞ ) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu yazıda, tek değişkenli y=f(x) y = f(x) ile açıkça verilen bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin nasıl hesaplandığını anlatacağız.

Temel tanımlar

Her zaman olduğu gibi, ana tanımların formülasyonu ile başlıyoruz.

tanım 1

Bazı x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir, bu, herhangi bir x x ∈ X , x ≠ x 0 değeri için f (x) eşitsizliğini yapar ) ≤ f (x 0) .

tanım 2

Bazı x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir, bu, herhangi bir x ∈ X , x ≠ x 0 değeri için f(X) eşitsizliğini yapar f (x) ≥ f(x0) .

Bu tanımlar oldukça açıktır. Bunu söylemek daha da basit olabilir: bir fonksiyonun en büyük değeri, x 0 apsisinde bilinen bir aralıktaki en büyük değeridir ve en küçüğü, aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.

tanım 3

Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu fonksiyon argümanının değerleridir.

Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın, türevlenebilir bir fonksiyonun uç noktasının (yani, yerel minimum veya maksimum) bulunduğu bir nokta olduğu sonucu çıkar. Sonuç olarak, fonksiyon tam olarak durağan noktalardan birinde belirli bir aralıkta en küçük veya en büyük değeri alacaktır.

Başka bir fonksiyon, fonksiyonun kendisinin belirli olduğu ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda en büyük veya en küçük değeri alabilir.

Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru şudur: Her durumda, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerini belirleyebilir miyiz? Hayır, verilen aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla uğraşıyorsak bunu yapamayız. Aynı zamanda, belirli bir aralıktaki veya sonsuzdaki bir fonksiyon, sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler alacaktır. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.

Bu anlar, grafiklerdeki görüntüden sonra daha anlaşılır hale gelecektir:

İlk şekil bize segment [ - 6 ; 6].

İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6] ve fonksiyonun en büyük değerinin, apsisin aralığın sağ sınırında ve en küçük - durağan noktada olduğu noktada elde edileceğini alıyoruz.

Üçüncü şekilde, noktaların apsisleri [ - 3 ; 2]. Verilen fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.

Şimdi dördüncü resme bakalım. İçinde fonksiyon, açık aralıktaki (- 6 ; 6) durağan noktalarda m a x y (en büyük değer) ve m i n y (en küçük değer) alır.

[ 1 ; 6) , o zaman üzerindeki fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. Maksimum değeri bilemeyeceğiz. x = 6 aralığa aitse, fonksiyon x'in 6'ya eşit olduğu en büyük değeri alabilir. Şekil 5'te gösterilen durum budur.

Grafik 6'da bu fonksiyon, aralığın (- 3 ; 2 ] sağ sınırındaki en küçük değeri alır ve en büyük değer hakkında kesin sonuçlar çıkaramayız.

Şekil 7'de, fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan durağan noktada m a x y'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon, aralığın sınırında minimum değerine ulaşır. Sağ Taraf. Eksi sonsuzda, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.

x ∈ 2 aralığı alırsak; + ∞ , o zaman verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. x 2'ye eğilimliyse, x = 2 düz çizgisi dikey bir asimptot olduğundan, fonksiyonun değerleri eksi sonsuz olma eğiliminde olacaktır. Apsis artı sonsuz olma eğilimindeyse, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu, Şekil 8'de gösterilen durumdur.

Bu paragrafta, belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken bir dizi işlem vereceğiz.

1. Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin buna dahil olup olmadığını kontrol edelim.
2. Şimdi birinci türevin bulunmadığı bu segmentte bulunan noktaları hesaplayalım. Çoğu zaman, argümanı modül işaretinin altına yazılan fonksiyonlarda veya üssü kesirli olarak rasyonel bir sayı olan güç fonksiyonlarında bulunabilirler.
3. Ardından, hangi durağan noktaların belirli bir segmente girdiğini buluruz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından 0'a eşitlemeniz ve ortaya çıkan denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Tek bir durağan nokta alamazsak veya belirli bir segmente girmiyorlarsa, bir sonraki adıma geçiyoruz.
4. Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin olmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleyelim veya x = a ve x için değerleri hesaplayalım. = b.
5. 5. Şimdi en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bu, bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacaktır.

Sorunları çözerken bu algoritmayı doğru bir şekilde nasıl uygulayacağımızı görelim.

örnek 1

Şart: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; - bir ] .

Çözüm:

Bu fonksiyonun etki alanını bularak başlayalım. Bu durumda 0 hariç tüm reel sayıların kümesi olacaktır. Diğer bir deyişle, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanının içinde olacaktır.

Şimdi bir kesrin türevi kuralına göre fonksiyonun türevini hesaplıyoruz:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Fonksiyonun türevinin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; - bir ] .

Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemiyle yapalım. Sadece bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Bu, fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve birinci segmente [ 1 ; dört].

İlk segmentin uçlarında ve verilen noktada, yani fonksiyonun değerlerini hesaplayalım. x = 1 , x = 2 ve x = 4 için:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

m a x y x ∈ fonksiyonunun en büyük değerinin [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2'de.

İkinci segment herhangi bir durağan nokta içermez, bu nedenle fonksiyon değerlerini yalnızca verilen segmentin uçlarında hesaplamamız gerekir:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Dolayısıyla, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cevap:[ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Resmi görmek:

çalışmadan önce Bu method, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti doğru bir şekilde nasıl hesaplayacağınızı tekrarlamanızı ve bunları bulmak için temel yöntemleri öğrenmenizi öneririz. Açık veya sonsuz bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla gerçekleştiririz.

1. Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun etki alanının bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
2. Gerekli aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle, argümanın modulo işareti içine alındığı fonksiyonlarda ve kesirli rasyonel üslü güç fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. Bu noktalar eksikse, bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
3. Şimdi hangi durağan noktaların belirli bir aralığa düştüğünü belirleyeceğiz. İlk önce türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri buluyoruz. Tek bir durağan noktamız yoksa veya belirli bir aralığa girmiyorlarsa, hemen sonraki işlemlere geçiyoruz. Aralığın türüne göre belirlenirler.

• Aralık [ a ; b) , o zaman fonksiyonun x = a noktasındaki değerini ve tek taraflı limit lim x → b - 0 f (x) 'i hesaplamamız gerekir.
• Eğer aralık (a ; b ] şeklindeyse, fonksiyonun x = b noktasındaki değerini ve lim x → a + 0 f (x) tek taraflı limitini hesaplamamız gerekir.
• Aralık (a ; b) biçimindeyse, lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) tek taraflı sınırlarını hesaplamamız gerekir.
• Aralık [ a ; + ∞) , o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f (x) sınırını hesaplamak gerekir.
• Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuz lim x → - ∞ f (x)'deki limiti hesaplarız.
• Eğer - ∞ ; b , o zaman tek taraflı limit lim x → b - 0 f (x) ve eksi sonsuz lim x → - ∞ f (x)'deki limiti ele alırız.
• Eğer - ∞ ; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuz lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) sınırlarını dikkate alırız.

1. Sonunda, fonksiyonun ve limitlerin elde edilen değerlerine dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekir. Burada birçok seçenek var. Yani tek taraflı limit eksi sonsuz veya artı sonsuz ise, fonksiyonun en küçük ve en büyük değeri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda bir tanesini tartışacağız tipik örnek. Ayrıntılı açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olur. Gerekirse, malzemenin ilk bölümünde 4 - 8 şekillerine dönebilirsiniz.

Koşul: verilen bir fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . En büyük ve en küçük değerini - ∞ aralığında hesaplayın; - 4 , - ∞ ; - 3 , (-3 ; 1 ] , ( - 3 ; 2) , [1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Çözüm

Öncelikle fonksiyonun tanım kümesini buluyoruz. Kesrin paydası, 0'a gitmemesi gereken kare bir üç terimdir:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu işlevin kapsamını elde ettik.

Şimdi işlevi ayırt edelim ve şunu elde edelim:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri, tanımının tüm alanında bulunur.

Durağan noktaları bulmaya devam edelim. x = - 1 2'de fonksiyonun türevi 0 olur. Bu, (- 3 ; 1 ] ve (-3 ; 2) aralıklarında bulunan durağan bir noktadır.

(- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki fonksiyonun değerini ve eksi sonsuzdaki limiti hesaplayalım:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Bu, fonksiyonun en küçük değerini benzersiz olarak belirlememize izin vermez. Sadece - 1'in altında bir limit olduğu sonucuna varabiliriz, çünkü fonksiyon eksi sonsuzda asimptotik olarak bu değere yaklaşır.

İkinci aralığın bir özelliği, tek bir durağan noktaya ve tek bir katı sınıra sahip olmamasıdır. Bu nedenle, fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini hesaplayamayız. Eksi sonsuzdaki limiti tanımlayarak ve argüman sol tarafta - 3 eğilimi gösterdiğinden, sadece değer aralığını elde ederiz:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 ve 0 - 4 = - 1

Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığında yer alacağı anlamına gelir; +∞

Üçüncü aralıktaki fonksiyonun maksimum değerini bulmak için, x = 1 ise, x = - 1 2 durağan noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca, argümanın sağ tarafta - 3 olma eğiliminde olduğu durum için tek taraflı sınırı da bilmemiz gerekir:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Fonksiyonun m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 durağan bir noktada en büyük değeri alacağı ortaya çıktı. En küçük değere gelince, onu belirleyemiyoruz. bilmek, - 4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.

(- 3 ; 2) aralığı için, bir önceki hesaplamanın sonuçlarını alalım ve bir kez daha soldan 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu hesaplayalım:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Dolayısıyla, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ve en küçük değer belirlenemez ve fonksiyonun değerleri aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırılır.

Önceki iki hesaplamada yaptıklarımıza dayanarak, [ 1 ; 2) fonksiyon x = 1'de en büyük değeri alacaktır ve en küçüğünü bulmak imkansızdır.

(2 ; + ∞) aralığında, fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır, yani. - 1 aralığından değerler alacaktır; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4'te fonksiyonun değerinin neye eşit olacağını hesapladıktan sonra, m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon asimptotik olarak y = - 1 doğrusuna yaklaşacaktır.

Her hesaplamada elde ettiklerimizi verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak hakkında konuşmak istediğimiz tek şey buydu. Verdiğimiz bu işlem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, önce fonksiyonun hangi aralıklarda azalacağını ve hangilerinde artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu unutmayın, ardından daha fazla sonuç çıkarılabilir. Böylece fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve sonuçları doğrulayabilirsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bazen B14 problemlerinde türevi bulmanın zor olduğu "kötü" fonksiyonlar vardır. Önceden bu sadece sondalar üzerindeydi ama artık bu görevler o kadar yaygın ki bu sınava hazırlanırken artık göz ardı edilemezler. Bu durumda, biri monotonluk olan diğer hileler çalışır. Tanım Bu segmentin herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için aşağıdakiler doğruysa, f (x) fonksiyonuna segmentte monoton artan denir: x 1

Tanım. Bu segmentin herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için aşağıdakiler geçerliyse, f (x) fonksiyonuna segmentte monoton azalan denir: x 1 f (x 2). Başka bir deyişle, artan bir fonksiyon için x ne kadar büyükse f(x) o kadar büyük olur. Azalan bir fonksiyon için bunun tersi doğrudur: x ne kadar büyükse f(x) o kadar küçüktür.

Örnekler. Taban a > 1 ise logaritma monoton olarak artar ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1, ve 0 0 ise monotonik olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 ise monotonik olarak azalır ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Örnekler Logaritma şudur: taban a > 1 ise monoton artan ve 0 0 ise monoton azalan. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Örnekler. Taban a > 1 ise logaritma monoton olarak artar ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}

Örnekler. Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 için büyür ve 0 0 için azalır: 1 ve 0'da azalan 0:"> 1 ve 0'da azalan 0:"> 1 ve 0'da azalan 0 0:" title="(!LANG:Örnekler. Üstel fonksiyon bir logaritma gibi davranır: a > 1 için artar ve 0 0 için azalır:"> title="Örnekler. Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 için büyür ve 0 0 için azalır:"> !}

0) veya aşağı (a 0) veya aşağı (a 9 Parabol köşe koordinatları Çoğu zaman, fonksiyon argümanı formun kare trinomu ile değiştirilir Grafiği dallarla ilgilendiğimiz standart bir paraboldür: Parabol dalları yukarı (a > 0) veya aşağı (a 0) veya en büyük (a 0) veya aşağı (a 0) veya aşağı (a 0) veya en büyük (a 0) veya aşağı (a 0) veya aşağı (a title="(!LANG: Parabol köşe koordinatları) Çoğu zaman, işlev argümanı şeklinde bir kare trinom ile değiştirilir Grafiği, dallarla ilgilendiğimiz standart bir paraboldür: Bir parabolün dalları yukarı (a > 0 için) veya aşağı (a) gidebilir.

Sorunun durumunda herhangi bir segment yok. Dolayısıyla f(a) ve f(b) hesaplamasına gerek yoktur. Geriye sadece uç noktaları dikkate almak kalıyor; Ancak böyle bir nokta var - bu, koordinatları kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak ve herhangi bir türev olmadan hesaplanan parabol x 0'ın tepesidir.

Böylece, problemin çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiş ve sadece iki adıma indirgenmiştir: Parabolün denklemini yazın ve aşağıdaki formülü kullanarak köşesini bulun: Bu noktada orijinal fonksiyonun değerini bulun: f (x 0). Ek bir koşul yoksa, cevap bu olacaktır.

0. Parabolün başı: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon parabol, katsayısı a \u003d 1\u003e 0 olduğundan dallanır. Parabolün üstü: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon var Bu fonksiyonun grafiği, katsayısı a \u003d 1\u003e 0 olduğundan, dalları yukarı olan bir paraboldür. Parabolün tepesi: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:En küçük değeri bulun fonksiyonun: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyondur.Bu fonksiyonun grafiği, a \u003d 1\u003e 0 katsayısı olduğundan, dalları yukarıda olan bir paraboldür. Parabolün tepesi: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon var Bu fonksiyonun grafiği, katsayısı a \u003d 1\u003e 0 olduğundan, dalları yukarı olan bir paraboldür. Parabolün tepesi: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}

Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm Logaritmanın altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon var. a = 1 > 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolün başı: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:En küçük değeri bulun fonksiyonun: Çözüm Logaritma altında yine ikinci dereceden bir fonksiyondur.A \u003d 1\u003e 0 olduğu için parabolün dalları yukarı doğru olan grafiği. Parabolün tepe noktası: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm Logaritmanın altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon var. a = 1 > 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}

Fonksiyonun en büyük değerini bulun: Çözüm: Üs ikinci dereceden bir fonksiyon içeriyor Onu normal formda yeniden yazalım: Açıkçası, bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür, dallara ayrılır (a = 1

Fonksiyonun etki alanından sonuçlar Bazen, B14 problemini çözmek için sadece parabolün tepe noktasını bulmak yeterli değildir. İstenen değer, segmentin sonunda olabilir ve uç noktada olmayabilir. Problemde bir segment hiç belirtilmemişse, orijinal fonksiyonun kabul edilebilir değerlerinin alanına bakarız. Yani:

0 2. Aritmetik Kare kök sadece negatif olmayan sayılar arasında bulunur: 3. Kesrin paydası sıfır olmamalıdır:" title="(!LANG:1. Logaritma argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası sıfıra eşit olmamalıdır:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası şuna eşit olmamalıdır sıfır: 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası sıfıra eşit olmamalıdır: "> 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası kesir sıfıra eşit olmamalıdır:"> 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası sıfır olmamalıdır:" title="(!LANG:1. Logaritma argümanı şu şekilde olmalıdır: pozitif: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Kökün aritmetik karesi yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası sıfıra eşit olmamalıdır:"> title="1. Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan bulunur: 3. Kesrin paydası şuna eşit olmamalıdır sıfır:"> !}

Çözüm Karekök yine ikinci dereceden bir fonksiyondur. Grafiği bir paraboldür, ancak dallar aşağıya doğru yönlendirilmiştir, çünkü a = 1 Şimdi parabolün tepesini bulun: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 (1)) = 2/(2) = 1 Nokta x 0 = 1 ODZ segmentine aittir ve bu iyidir. Şimdi fonksiyonun değerini x 0 noktasında ve ODZ'nin uçlarında göz önünde bulunduruyoruz: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Yani, 2 ve 0 sayılarını aldık. en büyük sayıyı bulmak için 2. Cevap: 2

Lütfen dikkat: eşitsizlik katıdır, bu nedenle uçlar ODZ'ye ait değildir. Bu şekilde logaritma, segmentin uçlarının bize oldukça uygun olduğu kökten farklıdır. Parabolün tepesini arıyoruz: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Ancak segmentin uçları bizi ilgilendirmediği için, fonksiyonun değerini sadece x 0 noktasında ele alıyoruz:

Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Cevap: -2

Pratik açıdan en ilginç olanı, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmak için türevin kullanılmasıdır. Neyle bağlantılı? Kârları maksimize etmek, maliyetleri minimize etmek, en uygun ekipman yükünü belirlemek... Yani hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme problemini çözmek gerekiyor. Ve bu, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma problemidir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin, genellikle, fonksiyonun tüm etki alanı veya etki alanının bir parçası olan bazı X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir doğru parçası, açık bir aralık olabilir. , sonsuz bir aralık .

Bu yazıda, bir değişkenin y=f(x) açıkça verilen bir fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma hakkında konuşacağız.

Sayfa gezintisi.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlar üzerinde duralım.

Fonksiyonun en büyük değeri , herhangi biri için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x) böyle bir değer olarak adlandırılır. , herhangi biri için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsis ile ele alınan aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar fonksiyonun türevinin kaybolduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden durağan noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada ekstremumu (yerel minimum veya yerel maksimum) varsa, bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, fonksiyon genellikle maksimum (en küçük) değerini X aralığında bu aralıktaki durağan noktalardan birinde alır.

Ayrıca bir fonksiyon genellikle bu fonksiyonun birinci türevinin olmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda en büyük ve en küçük değerleri alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: "Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?" Hayır her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım kümesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda, fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında hiçbir şey söylenemez.

Netlik için grafik bir örnek veriyoruz. Resimlere bakın - ve çok şey netleşecek.

segmentte

İlk şekilde fonksiyon, segment [-6;6] içindeki durağan noktalarda en büyük (max y ) ve en küçük (min y ) değerleri almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirin. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri durağan bir noktada ve en büyüğü - aralığın sağ sınırına karşılık gelen bir apsisi olan bir noktada elde edilir.

Şekil No. 3'te, [-3; 2] segmentinin sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

açık aralıkta

Dördüncü şekilde, fonksiyon açık aralık (-6;6) içindeki durağan noktalarda en büyük (max y ) ve en küçük (min y ) değerleri almaktadır.

Aralıkta, en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzda

Yedinci şekilde gösterilen örnekte, fonksiyon apsisi x=1 olan durağan bir noktada en büyük değeri (max y ) alır ve en küçük değere (min y ) aralığın sağ sınırında ulaşılır. Eksi sonsuzda, fonksiyonun değerleri asimptotik olarak yaklaşır y=3 .

Aralıkta, işlev en küçük veya en büyük değere ulaşmaz. x=2 sağa doğru meylettiği için fonksiyon değerleri eksi sonsuz olma eğilimindedir (düz çizgi x=2 dikey bir asimptottur) ve apsis artı sonsuz olma eğiliminde olduğu için fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. . Bu örneğin grafik bir gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Segment üzerindeki sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için algoritma.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazıyoruz.

1. Fonksiyonun etki alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altındaki argümanlı fonksiyonlarda ve kesirli-rasyonel üslü güç fonksiyonlarında görülür). Böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya gidin.
3. Segmente giren tüm durağan noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Sabit nokta yoksa veya hiçbiri segmente girmiyorsa, bir sonraki adıma geçin.
4. Fonksiyonun değerlerini seçilen durağan noktalarda (varsa), birinci türevin olmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyük ve en küçüğü seçiyoruz - sırasıyla fonksiyonun istenen maksimum ve en küçük değerleri olacaklar.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir örnek çözerken algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulun

• segmentte;
• [-4;-1] aralığında.

Çözüm.

Fonksiyonun alanı, sıfır hariç, yani . Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini şuna göre buluruz:

Açıkçası, fonksiyonun türevi segmentlerin tüm noktalarında bulunur ve [-4;-1] .

Durağan noktalar denklemden belirlenir. Tek gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda, fonksiyonun değerlerini segmentin uçlarında ve durağan bir noktada hesaplıyoruz, yani x=1 , x=2 ve x=4 için:

Bu nedenle, fonksiyonun en büyük değeri x=1'de ulaşılır ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, işlevin değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü herhangi bir durağan nokta içermediğinden):

Bazen B15 problemlerinde türevi bulmanın zor olduğu "kötü" fonksiyonlar vardır. Önceden bu sadece sondalar üzerindeydi ama artık bu görevler o kadar yaygın ki bu sınava hazırlanırken artık göz ardı edilemezler.

Bu durumda, diğer hileler işe yarar, bunlardan biri - monoton.

Bu segmentin herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için aşağıdakiler doğruysa, f (x) işlevine segmentte monoton artan denir:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Bu segmentin herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için aşağıdakiler doğruysa, f (x) fonksiyonuna segmentte monoton azalan denir:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).

Başka bir deyişle, artan bir fonksiyon için x ne kadar büyükse, f(x) o kadar büyüktür. Azalan bir fonksiyon için bunun tersi doğrudur: daha fazla x, az f(x).

Örneğin, a tabanı > 1 ise logaritma monoton olarak artar ve 0 ise monoton olarak azalır.< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Aritmetik kare (yalnızca kare değil) kök, tüm tanım alanı boyunca monoton olarak artar:

Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 için artar ve 0 için azalır< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = bir x (a > 0)

Son olarak, negatif üslü dereceler. Bunları kesir olarak yazabilirsiniz. Monotonluğun kırıldığı bir kırılma noktaları vardır.

Bütün bu işlevler asla saf formlarında bulunmaz. Polinomlar, kesirler ve diğer saçmalıklar bunlara eklenir, çünkü türevi hesaplamak zorlaşır. Bu durumda ne olur - şimdi analiz edeceğiz.

Parabol tepe koordinatları

Çoğu zaman, işlev argümanı ile değiştirilir kare üç terimli y = ax 2 + bx + c biçiminde. Grafiği, ilgilendiğimiz standart bir paraboldür:

1. Parabol dalları - yukarı (a > 0 için) veya aşağı (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Bir parabolün tepe noktası, bu fonksiyonun en küçüğünü (a > 0 için) veya en büyüğünü (a için) aldığı ikinci dereceden bir fonksiyonun uç noktasıdır.< 0) значение.

En büyük ilgi bir parabolün tepesi, apsisi aşağıdaki formülle hesaplanır:

Böylece, ikinci dereceden fonksiyonun uç noktasını bulduk. Ancak orijinal fonksiyon monoton ise, onun için x 0 noktası da bir ekstremum noktası olacaktır. Böylece, anahtar kuralı formüle ediyoruz:

Kare üç terimlinin uç noktaları ile girdiği karmaşık fonksiyon çakışır. Bu nedenle, bir kare üç terimli için x 0'ı arayabilir ve işlevi unutabilirsiniz.

Yukarıdaki akıl yürütmeden, ne tür bir nokta elde ettiğimiz belirsizliğini koruyor: maksimum veya minimum. Bununla birlikte, görevler önemli olmayacak şekilde özel olarak tasarlanmıştır. Kendiniz için yargıç:

1. Sorunun durumunda herhangi bir segment yok. Bu nedenle f(a) ve f(b)'nin hesaplanmasına gerek yoktur. Geriye sadece uç noktaları dikkate almak kalıyor;
2. Ancak böyle bir nokta var - bu, koordinatları kelimenin tam anlamıyla sözlü ve türevsiz olarak hesaplanan parabol x 0'ın tepesidir.

Böylece, sorunun çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiş ve sadece iki adıma indirgenmiştir:

1. y = ax 2 + bx + c parabol denklemini yazın ve aşağıdaki formülü kullanarak köşesini bulun: x 0 = −b /2a;
2. Bu noktada orijinal fonksiyonun değerini bulun: f (x 0). Ek bir koşul yoksa, cevap bu olacaktır.

İlk bakışta, bu algoritma ve gerekçesi karmaşık görünebilir. Bu tür kuralların düşüncesizce uygulanması hatalarla dolu olduğundan, kasıtlı olarak "çıplak" bir çözüm planı göndermiyorum.

Matematikte deneme sınavındaki gerçek görevleri düşünün - bu tekniğin en yaygın olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda, B15'in birçok sorununun bu şekilde neredeyse sözlü olmasını sağlayacağız.

Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon y \u003d x 2 + 6x + 13 bulunur. Bu fonksiyonun grafiği, a \u003d 1\u003e 0 katsayısı olduğundan, dalları yukarı olan bir paraboldür.

Parabolün tepesi:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirildiğinden, x 0 \u003d −3 noktasında, y \u003d x 2 + 6x + 13 işlevi en küçük değeri alır.

Kök monoton olarak artıyor, bu nedenle x 0, tüm fonksiyonun minimum noktasıdır. Sahibiz:

Bir görev. Fonksiyonun en küçük değerini bulun:

y = günlük 2 (x 2 + 2x + 9)

Logaritmanın altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon var: y \u003d x 2 + 2x + 9. Grafik, dalları yukarıda olan bir paraboldür, çünkü a = 1 > 0.

Parabolün tepesi:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Böylece x 0 = -1 noktasında ikinci dereceden fonksiyon en küçük değeri alır. Ancak y = log 2 x işlevi monotondur, yani:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Üs, ikinci dereceden bir fonksiyondur y = 1 − 4x − x 2 . Normal biçimde yeniden yazalım: y = −x 2 − 4x + 1.

Açıkçası, bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür, dallara ayrılır (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Orijinal fonksiyon üsteldir, monotondur, dolayısıyla en büyük değer x 0 = −2 bulunan noktada olacaktır:

Dikkatli bir okuyucu, kök ve logaritmanın izin verilen değerlerinin alanını yazmadığımızı kesinlikle fark edecektir. Ancak bu gerekli değildi: içeride değerleri her zaman pozitif olan fonksiyonlar var.

Bir işlevin kapsamından elde edilen sonuçlar

Bazen B15 problemini çözmek için sadece parabolün tepe noktasını bulmak yeterli değildir. İstenen değer yalan olabilir segmentin sonunda, ancak uç noktada değil. Görev hiç bir segment belirtmiyorsa, şuna bakın: tolerans aralığı orijinal işlev. Yani:

Tekrar dikkat edin: sıfır kökün altında olabilir, ancak asla bir kesrin logaritması veya paydasında değil. Belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:

Bir görev. Fonksiyonun en büyük değerini bulun:

Kökün altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon var: y \u003d 3 - 2x - x 2. Grafiği bir paraboldür, ancak a = -1 olduğu için dallara ayrılır< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

İzin verilen değerlerin alanını (ODZ) yazıyoruz:

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; bir]

Şimdi parabolün tepe noktasını bulun:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

x 0 = -1 noktası ODZ segmentine aittir - ve bu iyidir. Şimdi fonksiyonun değerini x 0 noktasında ve ODZ'nin uçlarında ele alıyoruz:

y(−3) = y(1) = 0

Böylece 2 ve 0 sayılarını aldık. En büyüğünü bulmamız isteniyor - bu 2 sayısı.

Bir görev. Fonksiyonun en küçük değerini bulun:

y = günlük 0,5 (6x - x 2 - 5)

Logaritma içinde ikinci dereceden bir y \u003d 6x - x 2 - 5 işlevi vardır. Bu, dalları aşağı olan bir paraboldür, ancak logaritmada negatif sayılar olamaz, bu yüzden ODZ'yi yazıyoruz:

6x - x 2 - 5 > 0 ⇒ x 2 - 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Lütfen dikkat: eşitsizlik katıdır, bu nedenle uçlar ODZ'ye ait değildir. Bu şekilde logaritma, segmentin uçlarının bize oldukça uygun olduğu kökten farklıdır.

Parabolün tepe noktası aranıyor:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Parabolün tepesi ODZ boyunca oturur: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ancak segmentin uçları bizi ilgilendirmediği için, fonksiyonun değerini sadece x 0 noktasında ele alıyoruz:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = -2