Valori de tabel sin cos tg ctg. Funcții trigonometrice

În articol, vom înțelege pe deplin cum arată tabel de valori trigonometrice, sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. Luați în considerare valoarea principală funcții trigonometrice, dintr-un unghi de 0,30,45,60,90,...,360 de grade. Și să vedem cum să folosim aceste tabele în calcularea valorii funcțiilor trigonometrice.
Mai întâi luați în considerare tabelul cosinus, sinus, tangente și cotangente dintr-un unghi de 0, 30, 45, 60, 90,.. grade. Definirea acestor mărimi face posibilă determinarea valorii funcțiilor unghiurilor de 0 și 90 de grade:

sin 0 0 \u003d 0, cos 0 0 \u003d 1. tg 00 \u003d 0, cotangenta lui 00 va fi nedefinită
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, tangenta lui 90 0 va fi nedefinită

Dacă luăm triunghiuri dreptunghiulare ale căror unghiuri sunt de la 30 la 90 de grade. Primim:

sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, ctg 60 0 = √3/3

Reprezentăm toate valorile obținute în formular tabel trigonometric:

Tabel de sinusuri, cosinus, tangente și cotangente!

Dacă folosim formula de turnare, tabelul nostru va crește, se vor adăuga valori pentru unghiuri de până la 360 de grade. Va arata ca:

De asemenea, pe baza proprietăților periodicității, tabelul poate fi mărit dacă înlocuim unghiurile cu 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, în care z este un număr întreg. În acest tabel, este posibil să se calculeze valoarea tuturor unghiurilor corespunzătoare punctelor dintr-un singur cerc.

Să vedem clar cum să folosim tabelul în soluție.
Totul este foarte simplu. Deoarece valoarea de care avem nevoie se află în punctul de intersecție al celulelor de care avem nevoie. De exemplu, să luăm cos unui unghi de 60 de grade, în tabel va arăta astfel:

În tabelul final al principalelor valori ale funcțiilor trigonometrice, acționăm în același mod. Dar în acest tabel este posibil să aflăm cât de mult va fi tangenta dintr-un unghi de 1020 de grade, ea = -√3 Să verificăm 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Să găsim masa.

masa Bradis. Pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă.

Tabelele lui Bradys sunt împărțite în mai multe părți, ele constau din tabele de cosinus și sinus, tangentă și cotangentă - care este împărțită în două părți (tg de un unghi de până la 90 de grade și ctg de unghiuri mici).

Sinus și cosinus

unghi tg de la 00 la 760, unghi ctg de la 140 la 900.

tg până la 900 și ctg unghiuri mici.

Să ne dăm seama cum să folosim tabelele Bradis în rezolvarea problemelor.

Să găsim denumirea sin (desemnarea în coloana de la marginea din stânga) 42 de minute (denumirea este pe linia de sus). Prin trecere căutăm o desemnare, aceasta este = 0,3040.

Valorile minutelor sunt indicate cu un interval de șase minute, dacă valoarea de care avem nevoie se încadrează în acest interval. Să luăm 44 de minute și în tabel sunt doar 42. Luăm 42 ca bază și folosim coloane suplimentare în partea dreapta, luăm al 2-lea amendament și adăugăm la 0,3040 + 0,0006 obținem 0,3046.

Cu sin 47 min, luăm 48 min ca bază și scădem 1 corecție din ea, adică 0,3057 - 0,0003 = 0,3054

Când calculăm cos, lucrăm similar cu sin, doar că luăm ca bază rândul de jos al tabelului. De exemplu cos 20 0 = 0,9397

Valorile tg ale unui unghi de până la 90 0 și cot ale unui unghi mic sunt corecte și nu există corecții în ele. De exemplu, găsiți tg 78 0 37min = 4,967


și ctg 20 0 13 min = 25,83

Ei bine, aici am luat în considerare principalele tabele trigonometrice. Sperăm că aceste informații v-au fost extrem de utile. Întrebările tale de pe mese, dacă există, asigurați-vă că scrieți în comentarii!

Notă: Apărătoare de perete - o placă de protecție pentru protejarea pereților. Urmați link-ul pentru aripi fără perete și fără cadru (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) și aflați mai multe.

Tabel cu funcții trigonometrice de bază pentru unghiurile 0, 30, 45, 60, 90, ... grade

Din definițiile trigonometrice ale funcțiilor $\sin$, $\cos$, $\tan$ și $\cot$, se pot găsi valorile lor pentru unghiurile $0$ și $90$ grade:

$\sin⁡0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nedefinit;

$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nu este definit.

La cursul de geometrie școlară, la studierea triunghiurilor dreptunghiulare se găsesc funcțiile trigonometrice ale unghiurilor $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ și $90°$.

Valorile găsite ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile specificate în grade și respectiv radiani ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) pentru ușurință de memorare și utilizare sunt introduse într-un tabel numit tabel trigonometric, tabelul valorilor de bază ale funcțiilor trigonometrice etc.

Când utilizați formule de reducere, tabel trigonometric poate fi extins la $360°$ și, respectiv, $2\pi$ radiani:

Aplicând proprietățile de periodicitate ale funcțiilor trigonometrice, fiecare unghi care diferă de cel deja cunoscut cu $360°$ poate fi calculat și înregistrat într-un tabel. De exemplu, funcția trigonometrică pentru unghiul $0°$ va avea aceeași valoare pentru unghiul $0°+360°$ și pentru unghiul $0°+2 \cdot 360°$ și pentru unghiul $0°+3 \ cdot 360°$ și etc.

Folosind un tabel trigonometric, puteți determina valorile tuturor unghiurilor unui cerc unitar.

În cursul de geometrie școlară, se presupune că trebuie să memoreze valorile de bază ale funcțiilor trigonometrice colectate într-un tabel trigonometric pentru comoditatea rezolvării problemelor trigonometrice.

Folosind o masă

În tabel, este suficient să găsiți funcția trigonometrică necesară și valoarea unghiului sau radianului pentru care trebuie calculată această funcție. La intersecția rândului cu funcția și a coloanei cu valoarea, obținem valoarea dorită a funcției trigonometrice a argumentului dat.

În figură puteți vedea cum să găsiți valoarea $\cos⁡60°$ care este egală cu $\frac(1)(2)$.

Tabelul trigonometric extins este utilizat în mod similar. Avantajul utilizării acestuia este, după cum sa menționat deja, calculul funcției trigonometrice a aproape orice unghi. De exemplu, puteți găsi cu ușurință valoarea $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:

Tabele Bradis de funcții trigonometrice de bază

Abilitatea de a calcula funcția trigonometrică a absolut orice valoare a unghiului pentru o valoare întreagă de grade și o valoare întreagă de minute oferă utilizarea tabelelor Bradis. De exemplu, găsiți valoarea $\cos⁡34°7"$. Tabelele sunt împărțite în 2 părți: tabelul cu valorile $\sin$ și $\cos$ și tabelul cu $\tan$ și $\ valorile cot$.

Tabelele Bradis fac posibilă obținerea unei valori aproximative a funcțiilor trigonometrice cu o precizie de până la 4 zecimale.

Utilizarea tabelelor Bradis

Folosind tabelele lui Bradys pentru sinusuri, găsim $\sin⁡17°42"$. Pentru a face acest lucru, în coloana din stânga tabelului sinusurilor și cosinusurilor găsim valoarea gradelor - $17°$, iar în pe linia de sus găsim valoarea minutelor - $42"$. La intersecția lor, obținem valoarea dorită:

$\sin17°42"=0,304$.

Pentru a găsi valoarea $\sin17°44"$, trebuie să utilizați corecția din partea dreaptă a tabelului. În acest caz, la valoarea de $42"$, care se află în tabel, trebuie să adăugați un corecție pentru $2"$, care este egal cu $0,0006$. Obținem:

$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.

Pentru a găsi valoarea lui $\sin17°47"$, folosim și corecția din partea dreaptă a tabelului, doar că în acest caz luăm ca bază valoarea lui $\sin17°48"$ și scădem corecția pentru $1"$:

$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.

Când calculăm cosinusuri, efectuăm actiuni similare, dar ne uităm la grade din coloana din dreapta și la minutele din coloana de jos a tabelului. De exemplu, $\cos20°=0,9397$.

Nu există corecții pentru valorile tangentei de până la $90°$ și cotangentele cu unghiuri mici. De exemplu, să găsim $\tan 78°37"$, care conform tabelului este $4,967$.

Începem studiul nostru de trigonometrie cu un triunghi dreptunghic. Să definim care sunt sinusul și cosinusul, precum și tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Acestea sunt elementele de bază ale trigonometriei.

Amintește-ți asta unghi drept este un unghi egal cu 90 de grade. Cu alte cuvinte, jumătate din colțul desfășurat.

Colt ascutit- sub 90 de grade.

Unghi obtuz- mai mare de 90 de grade. În legătură cu un astfel de unghi, „blunt” nu este o insultă, ci un termen matematic :-)

Să desenăm un triunghi dreptunghic. Un unghi drept este de obicei notat. Rețineți că latura opusă colțului este notă cu aceeași literă, doar mică. Deci, se notează latura opusă unghiului A.

Un unghi este notat cu litera greacă corespunzătoare.

Ipotenuză Un triunghi dreptunghic este latura opusă unghiului drept.

Picioarele- laturi opuse colțurilor ascuțite.

Piciorul opus colțului se numește opus(față de unghi). Celălalt picior, care se află pe o parte a colțului, se numește adiacent.

Sinusul Unghiul ascuțit într-un triunghi dreptunghic este raportul dintre catetul opus și ipotenuză:

Cosinus unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul catetei adiacente la ipotenuză:

Tangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul opus și cel adiacent:

O altă definiție (echivalentă): tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre sinusul unui unghi și cosinusul său:

Cotangentă unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic - raportul dintre catetul adiacent și opusul (sau, echivalent, raportul dintre cosinus și sinus):

Acordați atenție rapoartelor de bază pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă, care sunt date mai jos. Ne vor fi de folos în rezolvarea problemelor.

Să demonstrăm unele dintre ele.

Bine, am dat definiții și formule scrise. Dar de ce avem nevoie de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă?

Noi stim aia suma unghiurilor oricărui triunghi este.

Știm relația dintre petreceri triunghi dreptunghic. Aceasta este teorema lui Pitagora: .

Se pare că cunoscând două unghiuri într-un triunghi, îl poți găsi pe al treilea. Cunoscând două laturi dintr-un triunghi dreptunghic, o poți găsi pe a treia. Deci, pentru unghiuri - raportul lor, pentru laturi - propriul lor. Dar ce să faci dacă într-un triunghi dreptunghic se cunosc un unghi (cu excepția unuia drept) și o latură, dar trebuie să găsești alte laturi?

Asta s-au confruntat oamenii în trecut, făcând hărți ale zonei și ale cerului înstelat. La urma urmei, nu este întotdeauna posibil să se măsoare direct toate laturile unui triunghi.

Sinus, cosinus și tangentă - se mai numesc și funcțiile trigonometrice ale unghiului- dați raportul dintre petreceriși colțuri triunghi. Cunoscând unghiul, puteți găsi toate funcțiile sale trigonometrice folosind tabele speciale. Și cunoscând sinusurile, cosinusurile și tangentele unghiurilor unui triunghi și a uneia dintre laturile sale, puteți găsi restul.

De asemenea, vom desena un tabel de valori sinus, cosinus, tangentă și cotangentă pentru unghiurile „bune” de la până.

Observați cele două liniuțe roșii din tabel. Pentru valorile corespunzătoare ale unghiurilor, tangenta și cotangenta nu există.

Să analizăm câteva probleme de trigonometrie din sarcinile Băncii de FIPI.

1. Într-un triunghi, unghiul este , . Găsi .

Problema este rezolvată în patru secunde.

Pentru că , .

2. Într-un triunghi, unghiul este , , . Găsi .

Să aflăm după teorema lui Pitagora.

Problema rezolvata.

Adesea în probleme există triunghiuri cu unghiuri și sau cu unghiuri și . Memorează pe de rost rapoartele de bază pentru ei!

Pentru un triunghi cu unghiuri și catetul opus unghiul la este egal cu jumătate din ipotenuză.

Un triunghi cu unghiuri și este isoscel. În ea, ipotenuza este de ori mai mare decât catetul.

Am luat în considerare problemele pentru rezolvarea triunghiurilor dreptunghiulare - adică pentru găsirea laturilor sau unghiurilor necunoscute. Dar asta nu este tot! În variantele examenului la matematică sunt multe sarcini în care apare sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unghiului exterior al triunghiului. Mai multe despre asta în următorul articol.

Date de referință pentru tangentă (tg x) și cotangentă (ctg x). Definiție geometrică, proprietăți, grafice, formule. Tabel de tangente și cotangente, derivate, integrale, expansiuni în serie. Expresii prin variabile complexe. Legătura cu funcțiile hiperbolice.

Definiție geometrică

|BD| - lungimea arcului de cerc centrat în punctul A.
α este unghiul exprimat în radiani.

Tangenta ( tgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetului opus |BC| la lungimea piciorului adiacent |AB| .

Cotangent ( ctgα) este o funcție trigonometrică în funcție de unghiul α dintre ipotenuză și catetul unui triunghi dreptunghic, egal cu raportul dintre lungimea catetei adiacente |AB| la lungimea piciorului opus |BC| .

Tangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, tangenta se notează după cum urmează:
.
;
;
.

Graficul funcției tangente, y = tg x

Cotangentă

Unde n- întreg.

În literatura occidentală, cotangenta se notează după cum urmează:
.
De asemenea, a fost adoptată următoarea notație:
;
;
.

Graficul funcției cotangente, y = ctg x

Proprietățile tangentei și cotangentei

Periodicitate

Funcțiile y= tg xși y= ctg x sunt periodice cu perioada π.

Paritate

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt impare.

Domenii de definiție și valori, crescător, descendent

Funcțiile tangentă și cotangentă sunt continue pe domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale tangentei și cotangentei sunt prezentate în tabel ( n- întreg).

Formule

Expresii în termeni de sinus și cosinus

; ;
; ;
;

Formule pentru tangente și cotangente a sumei și diferenței

Restul formulelor sunt ușor de obținut, de exemplu

Produsul tangentelor

Formula pentru suma și diferența tangentelor

Acest tabel arată valorile tangentelor și cotangentelor pentru unele valori ale argumentului.

Expresii în termeni de numere complexe

Expresii în termeni de funcții hiperbolice

;
;

Derivate

; .

.
Derivată de ordinul n-a față de variabila x a funcției:
.
Derivarea formulelor pentru tangente > > > ; pentru cotangent >>>

Integrale

Extinderi în serie

Pentru a obține expansiunea tangentei în puterile lui x, trebuie să luați mai mulți termeni ai expansiunii într-o serie de puteri pentru funcții sin xși cos xși împărțiți aceste polinoame unele în altele , . Aceasta are ca rezultat următoarele formule.

La .

la .
Unde B n- Numerele Bernoulli. Ele sunt determinate fie din relația de recurență:
;
;
Unde .
Sau conform formulei Laplace:

Funcții inverse

Funcțiile inverse la tangentă și cotangentă sunt arctangentă și, respectiv, arctangentă.

Arctangent, arctg

, Unde n- întreg.

Arc tangentă, arcctg

, Unde n- întreg.

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru cercetători și ingineri, 2012.

1. Funcții trigonometrice sunt funcţii elementare al căror argument este colţ. Funcțiile trigonometrice descriu relațiile dintre laturile și unghiurile ascuțite dintr-un triunghi dreptunghic. Domeniile de aplicare a funcțiilor trigonometrice sunt extrem de diverse. Deci, de exemplu, orice proces periodic poate fi reprezentat ca o sumă de funcții trigonometrice (seria Fourier). Aceste funcții apar adesea la rezolvarea ecuațiilor diferențiale și funcționale.

2. Funcțiile trigonometrice includ următoarele 6 funcții: sinusurilor, cosinus, tangentă,cotangentă, secantăși cosecant. Pentru fiecare dintre aceste funcții, există o funcție trigonometrică inversă.

3. Este convenabil să se introducă definiția geometrică a funcțiilor trigonometrice folosind cerc unitar. Figura de mai jos prezintă un cerc cu raza r=1. Punctul M(x,y) este marcat pe cerc. Unghiul dintre vectorul rază OM și direcția pozitivă a axei Ox este α.

4. sinusurilor unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și raza r:
sinα=y/r.
Deoarece r=1, atunci sinusul este egal cu ordonata punctului M(x,y).

5. cosinus unghiul α este raportul dintre abscisa x punctului M(x,y) și raza r:
cosα=x/r

6. tangentă unghiul α este raportul dintre ordonata y a punctului M(x,y) și abscisa sa x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangentă unghiul α este raportul dintre abscisa x a punctului M(x,y) și ordonata y:
cotα=x/y,y≠0

8. Secantă unghiul α este raportul dintre raza r și abscisa x a punctului M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosecant unghiul α este raportul dintre raza r și ordonata y a punctului M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. În cercul unitar, proiecțiile x, y ale punctelor M(x,y) și raza r formează un triunghi dreptunghic, în care x,y sunt catete, iar r este ipotenuza. Prin urmare, definițiile de mai sus ale funcțiilor trigonometrice aplicate unui triunghi dreptunghic sunt formulate după cum urmează:
sinusurilor unghiul α este raportul dintre catetul opus și ipotenuză.
cosinus unghiul α este raportul dintre catetul adiacent și ipotenuză.
tangentă unghiul α se numește catet opus celui alăturat.
Cotangentă unghiul α se numește cateta adiacentă opusului.
Secantă unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul adiacent.
Cosecant unghiul α este raportul dintre ipotenuză și catetul opus.

11. graficul funcției sinus
y=sinx, domeniu: x∈R, domeniu: −1≤sinx≤1

12. Graficul funcției cosinus
y=cosx, domeniu: x∈R, interval: −1≤cosx≤1

13. graficul funcției tangente
y=tanx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: −∞

14. Graficul funcției cotangente
y=cotx, domeniu: x∈R,x≠kπ, domeniu: −∞

15. Graficul funcției secante
y=secx, domeniu: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domeniu: secx∈(−∞,−1]∪∪)