Kada nema korijena u kvadratnoj jednadžbi. Kvadratne jednadžbe

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratne jednačine

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednačine u Evropi XIII - XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednačine su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. e. Babilonci.

Koristeći modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni.

Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, u klinopisnim tekstovima ne postoji koncept negativnog broja i uobičajene metode rješenja kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih formulisanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov proizvod bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od pola njihove sume, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Rješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, onda ćemo doći do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski učenjak, Brahmagupta (7. vek), je izložio opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim za a, može biti i negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U staroj Indiji javna takmičenja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o ovakvim takmičenjima se kaže: „Kao što sunce svojim sjajem obasjava zvezde, tako naučnik čovek pomračiti slavu drugog na javnim sastancima, predlažući i rješavajući algebarske probleme. Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razžureno jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se...

Osmi dio njih u kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabavljati se na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, on sabira obje strane 32 2 , dobijajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. ax 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimanje. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našim. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što ono nije bitno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim i geometrijske dokaze, koristeći određene numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostane 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobit ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski navedena klasifikacija kvadratnih jednačina i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII vekovima

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu al-Horezmija u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abakusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i Ancient Greece, razlikuje se i po potpunosti i po jasnoći prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abakusa" ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , With je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Izvođenje formule za rješavanje kvadratne jednadžbe u opšti pogled Viet ima, ali Viet je prepoznao samo pozitivne korijene. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. Zahvaljujući radovima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnika, način rješavanja kvadratnih jednačina poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koji nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki AT i jednaki D ».

Da biste razumeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš X), samoglasnici AT, D- koeficijenti za nepoznato. Na jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opšte formule, napisan simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi realnih, višestrukih i složenih korijena. Faktorizacija kvadratnog trinoma. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednačinu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati na sljedeći način:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stepena može predstaviti kao proizvod faktora (faktoriziranih):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Razmislite diskriminanta kvadratne jednačine:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako je diskriminanta nula, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminanta negativna, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je imaginarna jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Onda

.

Grafička interpretacija

Ako grafički prikažemo funkciju
,
što je parabola, tada će tačke presjeka grafa sa osom biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe osu apscise (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-osu u jednoj tački.
Kada je , graf ne prelazi x-osu.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule vezane za kvadratnu jednačinu

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stepena u obliku:
.
Iz ovoga se može vidjeti da je jednačina

izvedeno u
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Rješenje

.
Upoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta pozitivan, jednačina ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobijamo dekompoziciju kvadratnog trinoma na faktore:

.

Grafikon funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prelazi x-osu u dvije tačke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-osu (os) u dvije tačke:
i .
Ove tačke su korijeni originalne jednačine (1.1).

Odgovori

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Rješenje

Kvadratnu jednačinu pišemo u opštem obliku:
.
Upoređujući s originalnom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Pošto je diskriminanta nula, jednačina ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Grafikon funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-osu u jednoj tački.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dodiruje x-osu (os) u jednoj tački:
.
Ova tačka je korijen originalne jednačine (2.1). Pošto se ovaj korijen rastavlja dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višestrukim. To jest, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovori

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Rješenje

Kvadratnu jednačinu pišemo u opštem obliku:
(1) .
Prepišimo prvobitnu jednačinu (3.1):
.
Upoređujući sa (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativan, . Dakle, nema pravih korena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Onda


.

Grafikon funkcije ne prelazi x-osu. Nema pravih korena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne prelazi apscisu (os). Dakle, nema pravih korena.

Odgovori

Nema pravih korena. Složeni korijeni:
;
;
.

Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *Dalje u tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici to može biti lakše od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka Yandex daje po zahtjevu mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi mjesečno traži ovu informaciju, kakve veze ovo ljeto ima s tim i šta će se dogoditi među školske godine- zahtjevi će biti duplo veći. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su odavno završili školu i spremaju se za ispit traže ove informacije, a i školarci se trude da osvježe pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji govore kako da se reši ova jednačina, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetioci dođu na moju stranicu na ovaj zahtjev; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi govor „KU“, daću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi sa proizvoljnim brojevima, sa a≠0.

U školskom kursu gradivo se daje u sledećem obliku - uslovno se vrši podela jednačina na tri razreda:

1. Imati dva korijena.

2. * Imajte samo jedan korijen.

3. Nemate korijene. Ovdje je vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule se moraju znati napamet.

Možete odmah zapisati i odlučiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

Ovom prilikom, kada je diskriminanta nula, školski kurs kaže da se dobija jedan koren, ovde je jednak devet. Tako je, ali...

Ovaj prikaz je donekle netačan. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednaka korijena, a da budemo matematički tačni, u odgovoru treba napisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete zapisati i reći da postoji samo jedan korijen.

Sada slijedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne izdvaja, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo, u jednom od članaka, detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c su dati brojevi, gdje je a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa "y" jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x-osom. Mogu postojati dvije od ovih tačaka (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) ili nijedna (diskriminanta je negativna). Više o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Razmotrimo primjere:

Primjer 1: Odlučite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Možete odmah podijeliti lijevu i desnu stranu jednačine sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračun će biti lakši.

Primjer 2: Odluči se x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Znate li išta o kompleksnim brojevima? Neću ovdje ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici, to je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi je JEDAN BROJ, a ne dodatak.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobiti dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Lako se rješavaju bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina ima oblik:

transformirajmo:

primjer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina ima oblik:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućavaju rješavanje jednačina sa velikim koeficijentima.

ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a + b+ c = 0, onda

— ako za koeficijente jednačine ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a+ sa =b, onda

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir koeficijenata je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost a+ sa =b, znači

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx - c = 0 koeficijent "b" jednako (a 2 – 1), a koeficijent “c” numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuskom matematičaru Francois Vieti. Koristeći Vietin teorem, može se izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u terminima njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sve u svemu, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štaviše, Vietin teorem. zgodno jer nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način (kroz diskriminantu), rezultujući korijeni se mogu provjeriti. Preporučujem da ovo radite stalno.

NAČIN PRENOSA

Ovom metodom koeficijent "a" se množi sa slobodnim pojmom, kao da se "prenosi" na njega, zbog čega se naziva metod prenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako a a± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Prema Vietinoj teoremi u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobijeni korijeni jednadžbe se moraju podijeliti sa 2 (pošto su dva „izbačena“ iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Vidi šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su:

Ako pogledate korijene jednadžbi, onda se dobivaju samo različiti nazivnici, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu na x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako bacamo trojku, onda rezultat dijelimo sa 3, i tako dalje.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-tj i ispit.

Reći ću ukratko o njenoj važnosti - TREBA DA MOŽETE DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanta napamet. Mnogi zadaci koji su dio zadataka USE svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Šta je vredno pažnje!

1. Oblik jednačine može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (da se ne zbunite prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

AT modernog društva sposobnost rada sa jednadžbama koje sadrže kvadratnu varijablu može biti korisna u mnogim područjima aktivnosti i široko se koristi u praksi u naučnom i tehničkom razvoju. To se može dokazati dizajnom morskih i riječnih plovila, aviona i projektila. Uz pomoć ovakvih proračuna, trajektorije kretanja najviše različita tijela, uključujući svemirske objekte. Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi koriste se ne samo u ekonomskom predviđanju, u projektovanju i izgradnji zgrada, već iu najobičnijim svakodnevnim okolnostima. Mogu biti potrebni na kampiranju, na sportskim događajima, u trgovinama prilikom kupovine iu drugim vrlo čestim situacijama.

Podijelimo izraz na faktore komponenti

Stepen jednačine je određen maksimalnom vrijednošću stepena varijable koju dati izraz sadrži. Ako je jednako 2, onda se takva jednadžba naziva kvadratna jednačina.

Ako govorimo jezikom formula, onda se ovi izrazi, ma kako izgledali, uvijek mogu dovesti u formu kada lijeva strana Izraz ima tri pojma. Među njima: ax 2 (tj. varijabla na kvadrat sa svojim koeficijentom), bx (nepoznata bez kvadrata sa svojim koeficijentom) i c (slobodna komponenta, odnosno običan broj). Sve ovo na desnoj strani jednako je 0. U slučaju kada takav polinom nema jedan od svojih sastavnih članova, izuzev ose 2, naziva se nepotpuna kvadratna jednačina. Prvo treba razmotriti primjere sa rješenjem ovakvih problema, u kojima nije teško pronaći vrijednost varijabli.

Ako izraz izgleda tako da se na desnoj strani izraza nalaze dva člana, tačnije ax 2 i bx, najlakše je pronaći x stavljanjem varijable u zagrade. Sada će naša jednadžba izgledati ovako: x(ax+b). Nadalje, postaje očigledno da je ili x=0, ili se problem svodi na pronalaženje varijable iz sljedećeg izraza: ax+b=0. Ovo je diktirano jednim od svojstava množenja. Pravilo kaže da proizvod dva faktora rezultira 0 samo ako je jedan od njih nula.

Primjer

x=0 ili 8x - 3 = 0

Kao rezultat, dobijamo dva korijena jednadžbe: 0 i 0,375.

Jednačine ove vrste mogu opisati kretanje tijela pod djelovanjem gravitacije, koja su se počela kretati iz određene tačke, uzete kao ishodište. Ovdje matematička notacija poprima sljedeći oblik: y = v 0 t + gt 2 /2. Zamjenom potrebnih vrijednosti, izjednačavanjem desne strane sa 0 i pronalaženjem mogućih nepoznanica, možete saznati vrijeme koje je proteklo od trenutka kada se tijelo diže do trenutka kada pada, kao i mnoge druge veličine. Ali o tome ćemo kasnije.

Faktoriranje izraza

Gore opisano pravilo omogućava rješavanje ovih problema u složenijim slučajevima. Razmotrimo primjere sa rješenjem kvadratnih jednadžbi ovog tipa.

X2 - 33x + 200 = 0

Ovaj kvadratni trinom je potpun. Prvo, transformišemo izraz i dekomponujemo ga na faktore. Ima ih dva: (x-8) i (x-25) = 0. Kao rezultat, imamo dva korijena 8 i 25.

Primjeri sa rješenjem kvadratnih jednadžbi u razredu 9 omogućavaju ovoj metodi da pronađe varijablu u izrazima ne samo drugog, već čak i trećeg i četvrtog reda.

Na primjer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Kada se desna strana rastavlja na faktore s promjenljivom, postoje tri od njih, odnosno (x + 1), (x-3) i (x + 3).

Kao rezultat, postaje očigledno da ova jednadžba ima tri korijena: -3; -jedan; 3.

Izdvajanje kvadratnog korijena

Drugi slučaj nepotpune jednačine drugog reda je izraz napisan jezikom slova na način da desni deo je izgrađen od komponenti ax 2 i c. Ovdje se, da bi se dobila vrijednost varijable, prenosi slobodni termin desna strana, a nakon toga se iz obje strane jednakosti izdvaja kvadratni korijen. Treba napomenuti da u ovom slučaju obično postoje dva korijena jednačine. Jedini izuzetak su jednakosti koje uopće ne sadrže pojam c, gdje je varijabla jednaka nuli, kao i varijante izraza kada se desna strana pokaže kao negativna. U potonjem slučaju uopće nema rješenja, jer se gore navedene radnje ne mogu izvesti s korijenima. Treba razmotriti primjere rješenja kvadratnih jednačina ovog tipa.

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe će biti brojevi -4 i 4.

Obračun površine zemljišta

Potreba za ovakvim proračunima pojavila se još u antičko doba, jer je razvoj matematike u tim dalekim vremenima u velikoj mjeri bio rezultat potrebe da se s najvećom preciznošću odrede površine i perimetri zemljišnih parcela.

Treba razmotriti i primjere sa rješenjem kvadratnih jednadžbi sastavljenih na osnovu problema ove vrste.

Dakle, recimo da postoji pravougaoni komad zemlje čija je dužina 16 metara veća od širine. Trebali biste pronaći dužinu, širinu i obim lokacije, ako je poznato da je njegova površina 612 m 2.

Prelazeći na posao, prvo ćemo napraviti potrebnu jednačinu. Označimo širinu presjeka sa x, tada će njegova dužina biti (x + 16). Iz napisanog proizilazi da je površina određena izrazom x (x + 16), koji je, prema uslovu našeg zadatka, 612. To znači da je x (x + 16) = 612.

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi, a ovaj izraz je upravo to, ne može se uraditi na isti način. Zašto? Iako njegova lijeva strana još uvijek sadrži dva faktora, njihov proizvod uopće nije 0, pa se ovdje koriste druge metode.

Diskriminantno

Prije svega, onda vršimo potrebne transformacije izgled ovaj izraz će izgledati ovako: x 2 + 16x - 612 = 0. To znači da smo dobili izraz u obliku koji odgovara prethodno navedenom standardu, gdje je a=1, b=16, c=-612.

Ovo može biti primjer rješavanja kvadratnih jednačina preko diskriminanta. Ovdje se vrše potrebni proračuni prema šemi: D = b 2 - 4ac. Ova pomoćna vrijednost ne samo da omogućava pronalaženje željenih vrijednosti u jednadžbi drugog reda, već i određuje broj opcije. U slučaju D>0, postoje dva; za D=0 postoji jedan korijen. U slučaju D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korijenima i njihovoj formuli

U našem slučaju, diskriminant je: 256 - 4(-612) = 2704. Ovo ukazuje da naš problem ima odgovor. Ako znate, do, rješavanje kvadratnih jednadžbi mora se nastaviti pomoću formule u nastavku. Omogućava vam izračunavanje korijena.

To znači da je u prikazanom slučaju: x 1 =18, x 2 =-34. Druga opcija u ovoj dilemi ne može biti rešenje, jer se veličina parcele ne može meriti negativnim vrednostima, što znači da je x (odnosno širina parcele) 18 m. Odavde izračunavamo dužinu: 18+16=34, a obod 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primjeri i zadaci

Nastavljamo proučavanje kvadratnih jednadžbi. Primjeri i detaljna rješenja nekoliko njih bit će dati u nastavku.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prebacimo sve na lijevu stranu jednakosti, izvršimo transformaciju, odnosno dobijemo oblik jednačine, koji se obično naziva standardnim, i izjednačimo ga sa nulom.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Dodavanjem sličnih, određujemo diskriminanta: D = 49 - 48 = 1. Dakle, naša jednadžba će imati dva korijena. Računamo ih prema gornjoj formuli, što znači da će prvi od njih biti jednak 4/3, a drugi 1.

2) Sada ćemo otkriti zagonetke druge vrste.

Hajde da saznamo da li ovde uopšte postoje koreni x 2 - 4x + 5 = 1? Da bismo dobili iscrpan odgovor, dovodimo polinom u odgovarajući poznati oblik i izračunavamo diskriminanta. U ovom primjeru nije potrebno rješavati kvadratnu jednačinu, jer suština problema uopće nije u tome. U ovom slučaju, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, što znači da zaista nema korijena.

Vietin teorem

Kvadratne jednadžbe je prikladno rješavati preko gornjih formula i diskriminanta, kada se kvadratni korijen izvuče iz vrijednosti potonjeg. Ali to se ne dešava uvek. Međutim, u ovom slučaju postoji mnogo načina da se dobiju vrijednosti varijabli. Primjer: rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme. Ime je dobio po čovjeku koji je živio u Francuskoj u 16. vijeku i imao briljantnu karijeru zahvaljujući svom matematičkom talentu i vezama na dvoru. Njegov portret se može vidjeti u članku.

Obrazac koji je slavni Francuz uočio bio je sljedeći. On je dokazao da je zbir korijena jednadžbe jednak -p=b/a, a njihov proizvod odgovara q=c/a.

Pogledajmo sada konkretne zadatke.

3x2 + 21x - 54 = 0

Radi jednostavnosti, transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Koristeći Vietinu teoremu, ovo će nam dati sljedeće: zbir korijena je -7, a njihov proizvod je -18. Odavde dobijamo da su korijeni jednadžbe brojevi -9 i 2. Nakon provjere, uvjerit ćemo se da se ove vrijednosti varijabli zaista uklapaju u izraz.

Grafikon i jednadžba parabole

Koncepti kvadratne funkcije i kvadratne jednadžbe su usko povezani. Primjeri za to su već navedeni ranije. Pogledajmo sada neke matematičke zagonetke malo detaljnije. Bilo koja jednačina opisanog tipa može se vizualno prikazati. Takva zavisnost, nacrtana u obliku grafa, naziva se parabola. Njegove različite vrste prikazane su na donjoj slici.

Svaka parabola ima vrh, odnosno tačku iz koje izlaze njene grane. Ako je a>0, idu visoko do beskonačnosti, a kada je a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuelni prikazi funkcija pomažu u rješavanju svih jednadžbi, uključujući i one kvadratne. Ova metoda se naziva grafička. A vrijednost varijable x je koordinata apscise u tačkama gdje se linija grafikona seče sa 0x. Koordinate vrha se mogu naći po formuli koja je upravo data x 0 = -b / 2a. I, zamjenom rezultirajuće vrijednosti u originalnu jednadžbu funkcije, možete saznati y 0, odnosno drugu koordinatu vrha parabole koji pripada y-osi.

Presjek grana parabole sa osom apscise

Postoji mnogo primjera sa rješenjem kvadratnih jednadžbi, ali postoje i opći obrasci. Hajde da ih razmotrimo. Jasno je da je presjek grafa sa 0x osom za a>0 moguć samo ako y 0 ima negativne vrijednosti. I za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inače D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole možete odrediti i korijene. I obrnuto je tačno. To jest, ako nije lako dobiti vizualni prikaz kvadratne funkcije, možete izjednačiti desnu stranu izraza sa 0 i riješiti rezultirajuću jednadžbu. A znajući tačke preseka sa 0x osom, lakše je crtati.

Iz istorije

Uz pomoć jednadžbi koje sadrže kvadratnu varijablu, u starim danima, nisu samo vršili matematičke proračune i određivali površinu geometrijskih oblika. Drevnima su takvi proračuni bili potrebni za grandiozna otkrića u oblasti fizike i astronomije, kao i za pravljenje astroloških prognoza.

Kao što sugerišu savremeni naučnici, stanovnici Babilona bili su među prvima koji su rešili kvadratne jednačine. Desilo se to četiri veka pre dolaska naše ere. Naravno, njihovi proračuni su se suštinski razlikovali od onih koji su trenutno prihvaćeni i ispostavili se da su mnogo primitivniji. Na primjer, mesopotamski matematičari nisu imali pojma o postojanju negativnih brojeva. Takođe nisu bili upoznati sa drugim suptilnostima koje su poznate bilo kom studentu našeg vremena.

Možda čak i ranije od babilonskih naučnika, mudrac iz Indije, Baudhajama, preuzeo je rješenje kvadratnih jednačina. To se dogodilo oko osam vekova pre dolaska Hristove ere. Istina, jednačine drugog reda, metode za rješavanje koje je on dao, bile su najjednostavnije. Pored njega, za slična pitanja u stara vremena su se zanimali i kineski matematičari. U Evropi su kvadratne jednačine počele da se rešavaju tek početkom 13. veka, ali su ih kasnije u svom radu koristili veliki naučnici kao što su Newton, Descartes i mnogi drugi.

Nadam se da ćete nakon proučavanja ovog članka naučiti kako pronaći korijene potpune kvadratne jednadžbe.

Uz pomoć diskriminanta rješavaju se samo potpune kvadratne jednadžbe, a za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi koriste se druge metode koje ćete pronaći u članku "Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi".

Koje se kvadratne jednačine nazivaju potpunim? to jednadžbe oblika ax 2 + b x + c = 0, pri čemu koeficijenti a, b i c nisu jednaki nuli. Dakle, da biste riješili potpunu kvadratnu jednačinu, potrebno je izračunati diskriminanta D.

D \u003d b 2 - 4ac.

U zavisnosti od toga koju vrijednost diskriminanta ima, zapisaćemo odgovor.

Ako je diskriminant negativan broj (D< 0),то корней нет.

Ako je diskriminant nula, tada je x = (-b) / 2a. Kada je diskriminant pozitivan broj (D > 0),

tada je x 1 = (-b - √D)/2a, i x 2 = (-b + √D)/2a.

Na primjer. riješiti jednačinu x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Odgovor: 2.

Riješite jednačinu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Odgovor: nema korijena.

Riješite jednačinu 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odgovor: - 3,5; jedan.

Dakle, zamislimo rješenje potpune kvadratne jednadžbe po shemi na slici 1.

Ove formule se mogu koristiti za rješavanje bilo koje potpune kvadratne jednadžbe. Samo treba biti oprezan jednačina je napisana kao polinom standardni pogled

a x 2 + bx + c, inače možete pogriješiti. Na primjer, u pisanju jednačine x + 3 + 2x 2 = 0, možete pogrešno odlučiti da

a = 1, b = 3 i c = 2. Tada

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 i tada jednadžba ima dva korijena. A to nije istina. (Vidi primjer 2 rješenje iznad).

Dakle, ako jednačina nije napisana kao polinom standardnog oblika, prvo se kompletna kvadratna jednačina mora napisati kao polinom standardnog oblika (na prvom mjestu treba biti monom sa najvećim eksponentom, tj. a x 2 , zatim sa manje – bx, a zatim slobodni termin With.

Prilikom rješavanja gornje kvadratne jednačine i kvadratne jednadžbe s parnim koeficijentom za drugi član mogu se koristiti i druge formule. Hajde da se upoznamo sa ovim formulama. Ako je u punoj kvadratnoj jednadžbi sa drugim članom koeficijent paran (b = 2k), onda se jednačina može riješiti pomoću formula prikazanih na dijagramu na slici 2.

Potpuna kvadratna jednadžba naziva se redukovanom ako je koeficijent at x 2 jednako jedinstvu i jednačina poprima oblik x 2 + px + q = 0. Takva jednadžba se može dati za rješavanje ili se dobije dijeljenjem svih koeficijenata jednačine sa koeficijentom a stoji na x 2 .

Slika 3 prikazuje dijagram rješenja redukovanog kvadrata
jednačine. Razmotrimo primjer primjene formula o kojima se govori u ovom članku.

Primjer. riješiti jednačinu

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Rešimo ovu jednačinu koristeći formule prikazane na slici 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1 + √ (3))) / 6 = -1 + √ 3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3

Možete vidjeti da je koeficijent na x u ovoj jednadžbi paran broj, odnosno b ​​= 6 ili b = 2k, odakle je k = 3. Zatim pokušajmo riješiti jednadžbu koristeći formule prikazane na dijagramu slike D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3. Uočivši da su svi koeficijenti u ovoj kvadratnoj jednadžbi djeljivi sa 3 i dijeljenjem, dobijamo redukovanu kvadratnu jednačinu x 2 + 2x - 2 = 0 Ovu jednačinu rješavamo koristeći formule za redukovanu kvadratnu jednačinu
jednadžbe na slici 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 = (2 (-1 + √ (3))) / 2 = - 1 + √ 3

Odgovor: -1 - √3; –1 + √3.

Kao što vidite, rješavajući ovu jednačinu koristeći različite formule, dobili smo isti odgovor. Stoga, nakon što ste dobro savladali formule prikazane na dijagramu slike 1, uvijek možete riješiti bilo koju potpunu kvadratnu jednačinu.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.