22.09.2019

Cum să găsiți cea mai mare valoare a unei funcții fără derivată. Cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un segment

În lecția cu tema „Folosirea derivatei pentru a găsi cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval”, vom lua în considerare probleme relativ simple de găsire a celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval dat. folosind derivatul.

Tema: Derivată

Lecție: Folosirea unei derivate pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue pe un interval

În această lecție, vom lua în considerare o problemă mai simplă și anume, se va da un interval, se va da o funcție continuă pe acest interval. Aflați cele mai mari și cele mai mici valori ale unui dat funcții pe un dat interval.

Nr. 32.1 (b). Dat: , . Să desenăm un grafic al funcției (vezi Fig. 1).

Orez. 1. Graficul unei funcții.

Se știe că această funcție crește pe interval , ceea ce înseamnă că crește și pe interval . Deci, dacă găsiți valoarea funcției în punctele și , atunci limitele de schimbare ale acestei funcții, valoarea ei cea mai mare și cea mai mică, vor fi cunoscute.

Când argumentul crește de la la 8, funcția crește de la la .

Răspuns: ; .

№ 32.2 (a) dat: Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe un interval dat.

Să construim un grafic al acestei funcții (vezi Fig. 2).

Dacă argumentul se schimbă în intervalul , atunci funcția crește de la -2 la 2. Dacă argumentul crește de la , atunci funcția scade de la 2 la 0.

Orez. 2. Graficul unei funcții.

Să găsim derivata.

, . Dacă , atunci această valoare aparține și segmentului dat. Daca atunci . Este ușor de verificat dacă ia alte valori, punctele staționare corespunzătoare trec dincolo de segmentul dat. Să comparăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctele selectate în care derivata este egală cu zero. Sa gasim

;

Răspuns: ;.

Deci, răspunsul este primit. Derivatul în acest caz poate fi folosit, nu îl puteți folosi, aplicați proprietățile funcției care au fost studiate mai devreme. Nu este întotdeauna cazul, uneori utilizarea unui derivat este singura metodă care vă permite să rezolvați astfel de probleme.

Dat: , . Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe segmentul dat.

Dacă în cazul precedent a fost posibil să se facă fără derivată - știam cum se comportă funcția, atunci în acest caz funcția este destul de complicată. Prin urmare, metodologia pe care am menționat-o în sarcina anterioară este pe deplin aplicabilă.

1. Găsiți derivata. Să găsim puncte critice, deci, - puncte critice. Dintre acestea, le selectăm pe cele care aparțin acestui segment: . Să comparăm valoarea funcției la punctele , , . Pentru aceasta găsim

Ilustram rezultatul in figura (vezi Fig. 3).

Orez. 3. Limitele de modificare a valorilor funcției

Vedem că dacă argumentul se schimbă de la 0 la 2, funcția se schimbă de la -3 la 4. Funcția nu se schimbă monoton: fie crește, fie scade.

Răspuns: ;.

Deci, folosind trei exemple, a fost demonstrată o tehnică generală pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un interval, în acest caz, pe un segment.

Algoritm pentru rezolvarea problemei de a găsi cele mai mari și mai mici valori ale funcției:

1. Aflați derivata funcției.

2. Găsiți punctele critice ale funcției și selectați acele puncte care se află pe un segment dat.

3. Găsiți valorile funcției la capetele segmentului și la punctele selectate.

4. Comparați aceste valori și alegeți cea mai mare și cea mai mică.

Să luăm în considerare încă un exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției , .

Anterior, a fost luat în considerare graficul acestei funcții (vezi Fig. 4).

Orez. 4. Graficul unei funcții.

Pe interval, intervalul acestei funcții . Punctul este punctul maxim. Când - funcția crește, când - funcția scade. Din desen se poate observa că , - nu există.

Deci, în lecție am luat în considerare problema celei mai mari și mai mici valori a unei funcții, când un interval dat este un segment; a formulat un algoritm pentru rezolvarea unor astfel de probleme.

1. Algebra și începutul analizei, nota 10 (în două părți). Manual pentru instituții de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra și începutul analizei, nota 10 (în două părți). Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil), ed. A. G. Mordkovici. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebră și analiză matematică pentru clasa a 10-a ( tutorial pentru elevii școlilor și claselor cu studiu aprofundat al matematicii).-M .: Educație, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Un studiu aprofundat al algebrei și al analizei matematice.-M .: Education, 1997.

5. O colecție de sarcini în matematică pentru candidații la universitățile tehnice (sub redacția M.I.Skanavi).-M.: Liceu, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Antrenor algebric.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra și începuturile analizei. 8-11 celule: Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii (materiale didactice) - M .: Drofa, 2002.

8. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Sarcini în algebră și începuturile analizei (manual pentru elevii din clasele 10-11 ai instituțiilor de învățământ general).-M .: Educație, 2003.

9. Karp A.P. Culegere de probleme de algebră și începuturile analizei: manual. alocație pentru 10-11 celule. cu o adâncime studiu matematică.-M.: Educaţie, 2006.

10. Glazer G.I. Istoria matematicii la scoala. Clasele 9-10 (un ghid pentru profesori).-M.: Enlightenment, 1983

Resurse web suplimentare

2. Portal Stiintele Naturii ().

face acasa

Nr. 46.16, 46.17 (c) (Algebra și începuturile analizei, nota 10 (în două părți). Caiet de sarcini pentru instituțiile de învățământ (nivel de profil) editat de A. G. Mordkovich. - M .: Mnemozina, 2007.)

În practică, este destul de comun să se folosească derivata pentru a calcula cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în acele cazuri când este necesar să se determine valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

De obicei definim aceste valori în cadrul unui interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi fie un segment [ a ; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b ] , [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ] , [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

În acest articol, vom descrie modul în care se calculează cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții date explicit cu o variabilă y=f(x) y = f (x).

Definiții de bază

Începem, ca întotdeauna, cu formularea principalelor definiții.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X , care, pentru orice valoare x x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f (x) ) ≤ f (x 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0) , care, pentru orice valoare x ∈ X , x ≠ x 0, face ca inegalitatea f(X f (x) ≥ f(x0) .

Aceste definiții sunt destul de evidente. Poate fi și mai simplu să spunem acest lucru: cea mai mare valoare a unei funcții este valoarea sa cea mai mare într-un interval cunoscut la abscisa x 0, iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată în același interval la x 0.

Definiția 3

Punctele staționare sunt astfel de valori ale argumentului funcției la care derivata sa devine 0.

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este un punct în care se află extremul unei funcții diferențiabile (adică, minimul sau maximul ei local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O altă funcție poate lua cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită, iar derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect este: în toate cazurile, putem determina valoarea maximă sau minimă a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face asta atunci când limitele intervalului dat vor coincide cu limitele domeniului de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție într-un interval dat sau la infinit să ia valori infinit de mici sau infinit de mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste momente vor deveni mai de înțeles după imaginea din grafice:

Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și cele mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe segmentul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6] și obținem că cea mai mare valoare a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa în limita dreaptă a intervalului, iar cea mai mică - în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a funcției date.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6 ; 6) .

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6) , atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Nu vom ști valoarea maximă. Funcția ar putea lua cea mai mare valoare la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acest caz este prezentat în Figura 5.

Pe graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare în marginea dreaptă a intervalului (- 3 ; 2 ] , și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7, vedem că funcția va avea m a x y în punctul staționar, având o abscisă egală cu 1 . Funcția își atinge valoarea minimă la limita intervalului cu partea dreapta. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3 .

Dacă luăm un interval x ∈ 2 ; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua asupra ei nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este cazul prezentat în figura 8.

În acest paragraf, vom oferi o secvență de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit interval.

  1. Mai întâi, să găsim domeniul funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
  2. Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea, ele pot fi găsite în funcțiile al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcțiile de putere, al căror exponent este un număr fracțional rațional.
  3. În continuare, aflăm care puncte staționare se încadrează într-un segment dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să alegeți rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează într-un anumit segment, atunci trecem la pasul următor.
  4. Să determinăm ce valori va lua funcția în punctele staționare date (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b .
  5. 5. Avem o serie de valori ale funcției, dintre care acum trebuie să alegem cea mai mare și cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să o găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Condiție: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică pe segmentele [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - unu ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul acestei funcții. În acest caz, va fi mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui 0. Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Ambele segmente specificate în condiție se vor afla în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a unei fracții:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata funcției va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - unu ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta cu ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [ 1 ; patru ] .

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și la punctul dat, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am obţinut că cea mai mare valoare a funcţiei m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1 , iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2 .

Al doilea segment nu include niciun punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Prin urmare, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:


Înainte de a studia aceasta metoda, vă sfătuim să repetați cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru găsirea acestora. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, parcurgem următorii pași în secvență.

  1. Mai întâi trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
  2. Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. De obicei, ele apar în funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și în funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
  3. Acum determinăm care puncte staționare se încadrează într-un interval dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și găsim rădăcini potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul specificat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.
  • Dacă intervalul arată ca [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
  • Dacă intervalul are forma (a ; b ] , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x) .
  • Dacă intervalul are forma (a ; b) , atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
  • Dacă intervalul arată ca [ a ; + ∞) , atunci este necesar să se calculeze valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
  • Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
  • Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
  • Dacă - ∞ ; + ∞ , atunci considerăm limitele la minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
  1. La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor obținute ale funcției și limitelor. Există multe opțiuni aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cea mai mică și mai mare valoare a funcției. Mai jos vom discuta unul exemplu tipic. Descrieri detaliate te ajută să înțelegi ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.
Exemplul 2

Condiție: dată o funcție y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul funcției. Numitorul fracției este un trinom pătrat, care nu trebuie să meargă la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de aplicare al funcției, căruia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există pe întregul domeniu al definiției acesteia.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ] , precum și limita la minus infinit:

y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1 , atunci m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a funcției. Putem doar concluziona că există o limită sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

O caracteristică a celui de-al doilea interval este că nu are un singur punct staționar și nici o singură limită strictă. Prin urmare, nu putem calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. Prin definirea limitei la minus infinit și deoarece argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar intervalul de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a afla valoarea maximă a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1 . De asemenea, trebuie să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 în partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. știi, este prezența unei limite inferioare la -4.

Pentru intervalul (- 3 ; 2), să luăm rezultatele calculului anterior și să calculăm încă o dată cu ce este egală limita unilaterală atunci când tindem spre 2 din partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Prin urmare, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt mărginite de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am făcut în cele două calcule anterioare, putem afirma că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1 și este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞), funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; +∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce va fi valoarea funcției la x = 4 , aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt prezentate prin linii punctate.

Atât am vrut să vorbim despre găsirea celei mai mari și mai mici valori a unei funcții. Acele secvențe de acțiuni pe care le-am dat vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale va scădea funcția și la ce intervale va crește, după care se pot trage concluzii suplimentare. Deci, puteți determina mai precis valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției și să justificați rezultatele.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Uneori, în problemele B14 există funcții „proaste” pentru care este greu de găsit derivata. Anterior, acest lucru era doar pe sonde, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru acest examen. În acest caz, funcționează și alte trucuri, dintre care unul este monotonitatea. Definiție Funcția f (x) se numește crescătoare monotonă pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabilă următoarele: x 1


Definiție. Funcția f (x) se numește monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este valabil: x 1 f (x 2). Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare, opusul este adevărat: cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mic.


Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1, și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="(!LANG:Exemple Logaritmul este monoton crescător dacă baza a > 1 și monoton descrescător dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Exemple. Logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0 0. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}




Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0: 1 și descrescătoare la 0 0:"> 1 și descrescătoare la 0 0:"> 1 și descrescătoare la 0 0:" title="(!LANG:Exemple. Funcția exponențială se comportă ca un logaritm: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> title="Exemple. Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0 0:"> !}






0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 9 Coordonatele vârfurilor parabolei Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard în care ne interesează ramurile: Ramurile parabolei pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a 0) sau cel mai mare (a 0) sau în jos (a 0) sau în jos (a title="(!LANG: Coordonatele vertexului parabolă) Cel mai adesea, argumentul funcției se înlocuiește cu un trinom pătrat de forma Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează ramurile: Ramurile unei parabole pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a






Nu există niciun segment în starea problemei. Prin urmare, nu este nevoie să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum; Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente verbal și fără derivate.


Astfel, soluția problemei este mult simplificată și redusă la doar doi pași: Scrieți ecuația parabolei și găsiți vârful acesteia folosind formula: Aflați valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.




0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG: Aflați cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Sub rădăcină este o parabolă cu funcție pătratică se ramifică, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea de sus a parabolei: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3" class="link_thumb"> 18 !} Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Există o funcție pătratică sub rădăcină.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea de sus a parabolei: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2) 1) = 6/2 = 3"> 0. Partea de sus a parabolei: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="(!LANG:Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Sub rădăcină se află o funcție pătratică.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea superioară a parabolei: x 0 \u003d b / ( 2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 \u003d 3"> title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție: Există o funcție pătratică sub rădăcină.Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0. Partea de sus a parabolei: x 0 \ u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 1) \u003d 6/2 = 3"> !}




Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm este din nou o funcție pătratică. a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2) 1) = 2/2 = 1"> 0. Partea de sus a parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="(!LANG:Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm este din nou o funcție pătratică.Grafic al parabolei cu ramuri în sus, deoarece a \u003d 1\u003e 0. Vârful parabolei: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 2 / ( 2 1) \u003d 2/2 \u003d 1"> title="Găsiți cea mai mică valoare a funcției: Soluție Sub logaritm este din nou o funcție pătratică. a = 1 > 0. Vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}


Aflați cea mai mare valoare a funcției: Rezolvare: Exponentul conține o funcție pătratică Să o rescriem în formă normală: Evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = 1



Consecințele din domeniul funcției Uneori, pentru a rezolva problema B14, nu este suficient să găsim vârful parabolei. Valoarea dorită se poate afla la sfârșitul segmentului și deloc în punctul extremum. Dacă un segment nu este specificat deloc în problemă, ne uităm la zona valorilor admisibile a funcției originale. Și anume:


0 2. Aritmetică Rădăcină pătrată există numai printre numerele nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="(!LANG:1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero: 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero: „> 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției fracția nu trebuie să fie egală cu zero:"> 0 2. Aritmetică rădăcina pătrată există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie zero:" title="(!LANG:1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Pătrat aritmetic rădăcina există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> title="1. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Rădăcina pătrată aritmetică există numai din numere nenegative: 3. Numitorul fracției nu trebuie să fie egal cu zero:"> !}


Soluție Rădăcina pătrată este din nou o funcție pătratică. Graficul său este o parabolă, dar ramurile sunt îndreptate în jos, deoarece a = 1 Acum găsiți vârful parabolei: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 (1)) = 2/(2) = 1 Punctul x 0 = 1 aparține segmentului ODZ și acest lucru este bun. Acum luăm în considerare valoarea funcției în punctul x 0, precum și la sfârșitul ODZ: y (3) \u003d y (1) \u003d 0 Deci, am obținut numerele 2 și 0. Suntem întrebați pentru a găsi cel mai mare număr 2. Răspuns: 2




Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. În acest fel, logaritmul diferă de rădăcină, unde ni se potrivesc destul de bine capetele segmentului. Căutăm vârful parabolei: x 0 \u003d b / (2a) \u003d 6 / (2 (1)) \u003d 6 / (2) = 3 Dar din moment ce capetele segmentului nu ne interesează, considerăm valoarea funcției doar în punctul x 0:


Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Răspuns: -2


Din punct de vedere practic, cea mai interesantă este utilizarea derivatei pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Cu ce ​​este legat? Maximizarea profiturilor, minimizarea costurilor, determinarea încărcăturii optime a echipamentelor... Cu alte cuvinte, în multe domenii ale vieții, trebuie rezolvată problema optimizării unor parametri. Și aceasta este problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale funcției.

Trebuie remarcat că cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții este de obicei căutată pe un interval X , care este fie întregul domeniu al funcției, fie o parte a domeniului. Intervalul X însuși poate fi un segment de linie, un interval deschis , un interval infinit .

În acest articol, vom vorbi despre găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții date explicit a unei variabile y=f(x) .

Navigare în pagină.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții - definiții, ilustrații.

Să ne oprim pe scurt asupra principalelor definiții.

Cea mai mare valoare a funcției , care pentru orice inegalitatea este adevărată.

Cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe intervalul X se numește o astfel de valoare , care pentru orice inegalitatea este adevărată.

Aceste definiții sunt intuitive: cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții este cea mai mare (cea mai mică) valoare acceptată în intervalul luat în considerare cu abscisa.

Puncte staționare sunt valorile argumentului la care derivata funcției dispare.

De ce avem nevoie de puncte staționare când găsim cele mai mari și cele mai mici valori? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema lui Fermat. Din această teoremă rezultă că, dacă o funcție diferențiabilă are un extremum (minimum local sau maxim local) la un moment dat, atunci acest punct este staționar. Astfel, funcția își ia adesea cea mai mare (cea mai mică) valoare pe intervalul X la unul dintre punctele staționare din acest interval.

De asemenea, o funcție poate lua adesea cele mai mari și cele mai mici valori în punctele în care prima derivată a acestei funcții nu există, iar funcția în sine este definită.

Să răspundem imediat la una dintre cele mai frecvente întrebări pe această temă: „Este întotdeauna posibil să se determine cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții”? Nu, nu întotdeauna. Uneori, limitele intervalului X coincid cu limitele domeniului funcției, sau intervalul X este infinit. Iar unele funcții la infinit și la limitele domeniului de definiție pot lua atât valori infinit de mari, cât și infinit de mici. În aceste cazuri, nu se poate spune nimic despre valoarea cea mai mare și cea mai mică a funcției.

Pentru claritate, oferim o ilustrare grafică. Priviți imaginile - și multe vor deveni clare.

Pe segment


În prima figură, funcția ia cele mai mari (max y ) și cele mai mici (min y ) valori în punctele staționare din interiorul segmentului [-6;6] .

Luați în considerare cazul prezentat în a doua figură. Schimbați segmentul în . În acest exemplu, cea mai mică valoare a funcției este obținută într-un punct staționar, iar cea mai mare - într-un punct cu o abscisă corespunzătoare limitei drepte a intervalului.

În figura nr. 3, punctele limită ale segmentului [-3; 2] sunt abscisele punctelor corespunzătoare celei mai mari și mai mici valori a funcției.

În domeniul deschis


În a patra figură, funcția ia cele mai mari (max y) și cele mai mici (min y) valori în punctele staționare din intervalul deschis (-6;6).

Pe intervalul , nu se pot trage concluzii despre cea mai mare valoare.

La infinit


În exemplul prezentat în figura a șaptea, funcția ia cea mai mare valoare (max y ) într-un punct staționar cu abscisa x=1 , iar cea mai mică valoare (min y ) este atinsă la limita dreaptă a intervalului. La minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3.

Pe interval, funcția nu atinge nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare. Deoarece x=2 tinde spre dreapta, valorile funcției tind spre minus infinit (linia dreaptă x=2 este o asimptotă verticală), iar pe măsură ce abscisa tinde spre plus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de y=3 . O ilustrare grafică a acestui exemplu este prezentată în Figura 8.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții continue pe segment.

Scriem un algoritm care ne permite să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe un segment.

  1. Găsim domeniul funcției și verificăm dacă conține întregul segment.
  2. Găsim toate punctele în care derivata întâi nu există și care sunt cuprinse în segment (de obicei astfel de puncte apar în funcțiile cu argument sub semnul modulului și în funcțiile de putere cu exponent fracțional-rațional). Dacă nu există astfel de puncte, atunci treceți la punctul următor.
  3. Determinăm toate punctele staționare care se încadrează în segment. Pentru a face acest lucru, îl echivalăm cu zero, rezolvăm ecuația rezultată și alegem rădăcinile potrivite. Dacă nu există puncte staționare sau niciunul dintre ele nu intră în segment, atunci treceți la pasul următor.
  4. Calculăm valorile funcției în punctele staționare selectate (dacă există), în punctele în care derivata întâi nu există (dacă există) și, de asemenea, la x=a și x=b.
  5. Din valorile obținute ale funcției, selectăm cele mai mari și cele mai mici - acestea vor fi valorile maxime și, respectiv, cele mai mici dorite ale funcției.

Să analizăm algoritmul atunci când rezolvăm un exemplu pentru găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții pe un segment.

Exemplu.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

  • pe segment;
  • pe intervalul [-4;-1] .

Soluţie.

Domeniul funcției este întregul set de numere reale, cu excepția zero, adică . Ambele segmente se încadrează în domeniul definiției.

Găsim derivata funcției în raport cu:

În mod evident, derivata funcției există în toate punctele segmentelor și [-4;-1] .

Punctele staționare sunt determinate din ecuație. Singura rădăcină reală este x=2. Acest punct staționar se încadrează în primul segment.

Pentru primul caz, calculăm valorile funcției la capetele segmentului și într-un punct staționar, adică pentru x=1, x=2 și x=4:

Prin urmare, cea mai mare valoare a funcției este atins la x=1 , iar cea mai mică valoare – la x=2 .

Pentru al doilea caz, calculăm valorile funcției numai la capetele segmentului [-4;-1] (deoarece nu conține niciun punct staționar):

Uneori, în problemele B15 există funcții „proaste” pentru care este greu de găsit derivata. Anterior, acest lucru era doar pe sonde, dar acum aceste sarcini sunt atât de comune încât nu mai pot fi ignorate atunci când se pregătesc pentru acest examen.

În acest caz, funcționează alte trucuri, dintre care unul este - monoton.

Funcția f (x) se numește monoton crescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este adevărat:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).

Funcția f (x) se numește monoton descrescătoare pe segment dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale acestui segment este adevărat:

x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x2).

Cu alte cuvinte, pentru o funcție crescătoare, cu cât x este mai mare, cu atât f(x) este mai mare. Pentru o funcție descrescătoare, opusul este adevărat: cu cât x , cu cât Mai puțin f(x).

De exemplu, logaritmul crește monoton dacă baza a > 1 și scade monoton dacă 0< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Rădăcina pătrată aritmetică (și nu numai pătrată) crește monoton pe întregul domeniu de definiție:

Funcția exponențială se comportă similar cu logaritmul: crește pentru a > 1 și scade pentru 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x) = a x (a > 0)

În cele din urmă, grade cu exponent negativ. Le puteți scrie ca fracție. Au un punct de rupere în care monotonia este întreruptă.

Toate aceste funcții nu se găsesc niciodată în forma lor pură. La acestea se adaugă polinoame, fracții și alte prostii, din cauza cărora devine dificil să se calculeze derivata. Ce se întâmplă în acest caz - acum vom analiza.

Coordonatele vârfurilor parabolei

Cel mai adesea, argumentul funcției este înlocuit cu trinom pătrat de forma y = ax 2 + bx + c . Graficul său este o parabolă standard, în care ne interesează:

  1. Ramuri de parabolă - pot merge în sus (pentru a > 0) sau în jos (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
  2. Vârful unei parabole este punctul extremum al unei funcții pătratice, la care această funcție își ia cea mai mică (pentru a > 0) sau cea mai mare (a< 0) значение.

De cel mai mare interes este vârful unei parabole, a cărei abscisă se calculează cu formula:

Deci, am găsit punctul extremum al funcției pătratice. Dar dacă funcția originală este monotonă, pentru ea punctul x 0 va fi și un punct extremum. Astfel, formulăm regula cheie:

Punctele extreme ale trinomului pătrat și funcția complexă în care intră coincid. Prin urmare, puteți căuta x 0 pentru un trinom pătrat și uitați de funcție.

Din raționamentul de mai sus, rămâne neclar ce fel de punct obținem: un maxim sau un minim. Cu toate acestea, sarcinile sunt concepute special, astfel încât să nu conteze. Judecă singur:

  1. Nu există niciun segment în starea problemei. Prin urmare, nu este necesar să se calculeze f(a) și f(b). Rămâne să luăm în considerare doar punctele extremum;
  2. Dar există un singur astfel de punct - acesta este vârful parabolei x 0, ale cărui coordonate sunt calculate literalmente oral și fără derivate.

Astfel, soluția problemei este mult simplificată și redusă la doar doi pași:

  1. Scrieți ecuația parabolei y = ax 2 + bx + c și găsiți vârful acesteia folosind formula: x 0 = −b /2a;
  2. Găsiți valoarea funcției inițiale în acest punct: f (x 0). Dacă nu există condiții suplimentare, acesta va fi răspunsul.

La prima vedere, acest algoritm și justificarea lui pot părea complicate. Nu postez în mod deliberat o schemă de soluții „nudă”, deoarece aplicarea necugetă a unor astfel de reguli este plină de erori.

Luați în considerare sarcinile reale de la examenul de probă la matematică - aici este cea mai comună tehnică. În același timp, ne vom asigura că în acest fel multe probleme ale B15 devin aproape verbale.

Sub rădăcină se află o funcție pătratică y \u003d x 2 + 6x + 13. Graficul acestei funcții este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece coeficientul a \u003d 1\u003e 0.

Partea de sus a parabolei:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3

Deoarece ramurile parabolei sunt îndreptate în sus, în punctul x 0 \u003d −3, funcția y \u003d x 2 + 6x + 13 ia cea mai mică valoare.

Rădăcina crește monoton, deci x 0 este punctul minim al întregii funcții. Avem:

O sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Sub logaritm se află din nou o funcție pătratică: y \u003d x 2 + 2x + 9. Graficul este o parabolă cu ramuri în sus, deoarece a = 1 > 0.

Partea de sus a parabolei:

x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1

Deci, în punctul x 0 = −1, funcția pătratică ia cea mai mică valoare. Dar funcția y = log 2 x este monotonă, deci:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

Exponentul este o funcție pătratică y = 1 − 4x − x 2 . Să o rescriem în formă normală: y = −x 2 − 4x + 1.

În mod evident, graficul acestei funcții este o parabolă, ramificate în jos (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2

Funcția originală este exponențială, este monotonă, deci cea mai mare valoare va fi în punctul găsit x 0 = −2:

Un cititor atent va observa cu siguranță că nu am scris zona valorilor permise ale rădăcinii și logaritmului. Dar acest lucru nu a fost necesar: în interior există funcții ale căror valori sunt întotdeauna pozitive.

Consecințele din sfera unei funcții

Uneori, pentru a rezolva problema B15, nu este suficient să găsim vârful parabolei. Valoarea dorită poate fi la sfârșitul segmentului, dar nu la punctul extremum. Dacă sarcina nu specifică deloc un segment, priviți interval de toleranță functia originala. Și anume:

Fiți atenți din nou: zero poate fi sub rădăcină, dar niciodată în logaritmul sau numitorul unei fracții. Să vedem cum funcționează cu exemple specifice:

O sarcină. Găsiți cea mai mare valoare a funcției:

Sub rădăcină se află din nou o funcție pătratică: y \u003d 3 - 2x - x 2. Graficul său este o parabolă, dar se ramifică în jos deoarece a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Scriem zona valorilor permise (ODZ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; unu]

Acum găsiți vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1

Punctul x 0 = −1 aparține segmentului ODZ - și acest lucru este bun. Acum luăm în considerare valoarea funcției în punctul x 0, precum și la sfârșitul ODZ:

y(−3) = y(1) = 0

Deci, am primit numerele 2 și 0. Ni se cere să găsim cel mai mare - acesta este numărul 2.

O sarcină. Găsiți cea mai mică valoare a funcției:

y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)

În interiorul logaritmului există o funcție pătratică y \u003d 6x - x 2 - 5. Aceasta este o parabolă cu ramuri în jos, dar nu pot exista numere negative în logaritm, așa că scriem ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Vă rugăm să rețineți: inegalitatea este strictă, astfel încât capetele nu aparțin ODZ. În acest fel, logaritmul diferă de rădăcină, unde ni se potrivesc destul de bine capetele segmentului.

Căutând vârful parabolei:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3

Vârful parabolei se potrivește de-a lungul ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Dar din moment ce capetele segmentului nu ne interesează, considerăm valoarea funcției doar în punctul x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2



1 0 0
Dacă găsiți o eroare, selectați o bucată de text și apăsați Ctrl+Enter.